导数的概念及其意义练习-高二年级下册数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1导数的概念及其意义练习

一、单选题

1.函数〃尤）=-^+1在区间11,2］上的平均变化率为（）

A.3B.2C.-2D.-3

2.一个物体做直线运动，位移S（单位：m）与时间r（单位：s）之间的函数关系为

s«）=6/+’%且这一物体在1W2这段时间内的平均速度为2（）m/s,则实数加的值

为（）

A.2B.1C.-1D.-2

3.在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度/?（单位：

m）与起跳后的时间r（单位：s）存在函数关系〃⑴=-4.9/+4&+11.该运动员在r=ls

时的瞬时速度（单位：m/s）为（）

A.10.9B.-10.9C.5D.-5

4.已知/（x）是函数/（*）的导函数，若尸（%）=4,则1加〃血二2尸）-）.）=（）

A—oAx

A.-2B.2C.-8D.8

5.已知〃x）是定义在R上的可导函数，若则,八"8二/（3+竭=4,则/⑶=（）

A.0B.-2C.1D.--

2

6.设为可导函数，且满足他/（2）［（2i）=T,则曲线y=f（x）在点（2,/（2））

处的切线的斜率是（）

A.2B.—2C.—D.7"

22

7.函数y=〃x）的图象如图所示，/'（X）是函数f（x）的导函数，令。=/'（2）,。=r（4）,

c=f（4）1Q）,则下列数值排序正确的是（）

X

A.b<a<cB.a<b<cC.a<c<bD.c<b<a

8.函数的定义域为R,/（3x-l）为奇函数，且〃x-l）的图像关于x=l对称.若

曲线）（x）在x=l处的切线斜率为2,则曲线/（X）在x=2023处的切线方程为（）

A.y=-2x+4046B,y=2x+4046

C.y=2x-4046D.y=-2x-4046

二、多选题

9.物体自由落体的运动方程为S（r）=4.9/（单位：m）,当4-0时，

SU△‘b5⑴.98m/s,则下列说法错误的是（）

加

A.9.8m/s是物体从0s到Is这段时间内的速度

B.9.8m/s是物体从1s到（1+Af）s这段时间内的速度

C.9.8m/s是物体在f=ls这一时刻的速度

D.9.8m/s是物体从1s到（l+4）s这段时间内的平均速度

10.如图所示物体甲、乙在时间0至此范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（）

A.在0到，。范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度

B.在4时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度

C.在，。至此范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度

D.在0至此范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度

11.已知函数”X）的定义域为R,其导函数（（X）的图象如图所示，则对于任意X226R

（占工々），下列结论正确的是（）

A.（3-&）［/（芭）-/（々）］＜。B.&-々）［/（占）-/（々）］＞。

C（一+4）＞/（占）+/（占）

fD小+.）

11-|,V

12.已知反双曲正切函数f（x）=Rn二一则（）

2\-x

A.，(x)是奇函数

B./(x)的定义域是［T』］

c.曲线y=/(x)在点(OJ(O))处的切线方程为y=x

D.函数g(x)=/(x)-sinx有且仅有3个零点

三、填空题

13.函数/(x)=x+J设〃x)在区间［1,2］与［3,5］的平均变化率为“，h,则a,人的大

小关系为.

14.如图，已知曲线y=Y,P(0.4,0.16)是曲线上的一点，。是曲线上点P附近的一个

13

16-已知曲线尸产与尸胪X的两条公切线的夹角正切值为“则心—

四、解答题

17.若一物体运动方程如下(位移单位：〃?，时间单位：$)

3"+2"..3„

s=f。)=«,求:

29+3(r-3)2,0,,t<3

⑴物体在/耳3,5］内的平均速度;

(2)物体的初速度%;

(3)物体在t=1时的瞬时速度.

18.(1)求函数/(x)=—f+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数;

(2)求函数y=3/在x=l处的导数.

19.蜥蜴的体温与阳光的照射有关，已知关系式为7«)=广+15,其中7(f)为体温(单

位：。C),r为太阳落山后的时间(单位：min).

(1)求从/=0至f=10,蜥蜴的体温下降了多少？

(2)从r=o到f=io,蜥蜴的体温下降的平均变化率是多少？它表示什么实际意义？

(3)求7'。)并解释它的实际意义.

20.已知曲线)，=2x-V上的两点A(2,0)和8(1,1),求:

(1)割线AB的斜率心B；

(2)过点A的切线的斜率人.；

(3)点A处的切线的方程.

2

21.已知三个函数力(x)=2x,f2(x')—x,f3(x)—2x.

(1)指出三个函数在[0,+8)上的单调性；

(2)取x/=0,X2=2,X3=4,X4=6,』x=2.求三个函数分别在区间[xi,xi+/x](i=l,2,3,4)

上的平均变化率(列成表格即可)；

(3)分析三个函数在㈤•，xi+/x](i=1,2,3,4,…)上随自变量的增加，其平均变化率的

变化情况.

22.已知两曲线尸丁+狈和ynf+fer+c•都经过点尸(1,2),且在点P处有公切线.

⑴求a,b,c的值;

(2)求公切线所在的直线方程；

(3)若抛物线＞=丁+泣+。上的点M到直线y=4x-5的距离最短，求点例的坐标和最短

距离.

答案

D

2.A

3.D

4.C

5.B

6.B

7.C

8.A

9.ABD

10.CD

11.AD

12.AC

13.a<h

14.x+0.4

15.5x+y-2=0

16.4

e

17.(1)解：由已知在，e[3,5]B寸，其时间变化量为加=2,

其位移变化量为f⑸-〃3)=3x25+2-(3x9+2)=48,

故所求平均速度为y=f=24m/s；

Af2

(2)解：求物体的初速度%,即求物体在，=0时的瞬时速度.

因为物体在f=0附近位移的平均变化率为

M/(0+A/)-/(0)29+3(0+Ar-3)z-29-3(0-3)2

——=-------------------------=----------------------------------------------------=—1o

所以物体在f=0处位移的瞬时变化率为lim—=lim(3Af-18)=-18,

即物体的初速度%=T8m/s.

(3)解：因为物体在，=1附近位移的平均变化率为

屈/(1+Ar)-/(1)29+3(]+Ar-3)2-29-3(1-3)2

----===-12,

ArAz-------------------------------------Z

故物体在t=l时的瞬时速度为Iim—=lim(34-12)=-12,即物体在t=l时的瞬时速度为

A3)X°

-12m/s.

18.(1)VAy=X-l+Ax)-X-l)=-(-l+Ax)2+(-l+Ax)+2

=3AJV—(AJV)2,

,Ay=3Ar-(W=3_M.

AxAx

二.((-1)=lim包=lim(3-Ax)=3.

4t->()ArAr->0

(2)VA)?=^1+Ax)-/(1)=3(1+Ar)2-3=6Ar+3(Ax)2,

.•.包=6+3Ax

Ax

(⑴=lim”=lim(6+3Ac)=6.

加T°Ax&CTO

19.(1)T(IO)-r(O)=黑+15—(黑+15]=-16,即从f=O到/=1O,蜥蜴的体温下降

10+510+5J

了16℃.

(2)蜥蜴的体温下降的平均变化率为7(⑼一,⑼=-1.6(°C/min),

它表示从f=0到f=10这段时间内，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6℃.

120,(120,1

(3)•••7(5+加)-7(5)5+加+5+-〔示一人12,

△fAr10+Az

...当加趋于0时，丁5+V⑸趋于-1.2,即T'(5)=—1.2°C/min,

它表示太阳落山后5min时，蜥蜴的体温下降的速度为L2°C/min.

20.(1)由已知可得，kAB=-——=—1.

(2)令y=/(x),包=〃x+©)〃x)=2(x+Ar)_(x+Ar)2_(2…2)

ArAx-Ax

2Ax-2xAx-(Ax)2

=2-2x-Ax,

Ax

根据导数的定义可得，r(x)=lim竺=lim(2-2x-M=2-2x.

①当切点为A点时，根据导数的几何意义知原产r(2)=2-2x2=—2；

②当切点不是A点时.

设切点坐标为(xo^Xo-Xo)(%。2),则如•=2-2X(),

又怎T=2/f90=T。,所以有2-2%=-x°,解得/=2,

与一2

因为毛K2,所以此时无解.

综上所述，过点A的切线的斜率2.

(3)由(2)知，曲线在点A处的切线的斜率%.=-2,

代入点斜式方程有，y=-2(x-2),整理可得切线的方程为2x+y-4=0.

21.⑴根据一次函数、二次函数和指数函数性质可知.函数力(x)=2r,及(x)=f,/Xx)=2x在

[0,+8)上都是增函数.

⑵列表：

包

[0,2][2,4][4,6][6,8]

函数Ar区间

fi(x)=2x2222

及(x)=/261014

3

fi(x)=2x62496

2

(3)由上表可知：函数力(x)=2x随着自变量的增大，在自变量增量/x的条件下，各区间上的

函数平均变化率都相等，这说明函数呈匀速增长状态；

函数及(x)=/在各区间上的平均变化率不相等，并且越来越大，这说明函数值随自变量增长

的速度越来越快；

函数力(x)=2x在各区间上的平均变化率不相等，并且越来越大，这说明力(x)的函数值随自

变量增长的速度越来越快，并且比及(x)的增长速度快的多.

22.(1)根据导函数定义可知，两个函数的导函数分别是

邸(x+Ax)3+«(x+Ax)-(x3+ar)

y.=hm——=hm----------------------------=3x+Q•

Ax->oA-Ax->oA,

Ay(x+Ax)"+Z?(x+++6X+C)

=lim—=lim--------------------------------=2x+b-

—Ax-Ar

将P(l,