课标专用5年高考3年模拟A版2024高考数学专题六数列3等比数列及其前n项和试题理

PAGEPAGE12等比数列及其前n项和挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预料热度考题示例考向关联考点1.等比数列的通项公式与前n项和公式①理解等比数列的概念.②驾驭等比数列的通项公式与前n项和公式.③能在详细的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关学问解决相应的问题.④了解等比数列与指数函数的关系.2024课标Ⅲ,17,12分等比数列的通项公式及前n项和公式指数的运算★★★2024课标Ⅱ,3,5分等比数列的前n项和公式数学文化为背景的应用问题2024课标Ⅰ,15,5分等比数列的通项公式最值问题2.等比数列的性质2024课标Ⅲ,17,12分等比数列的判定由an与Sn的关系求数列的通项公式2024课标Ⅱ,4,5分等比数列的通项公式数列的概念及其表示分析解读本节是高考的考查热点,主要考查等比数列的基本运算和性质,等比数列的通项公式和前n项和公式,尤其要留意以数学文化为背景的数列题,题型既有选择题、填空题,也有解答题.考查学生的数学运算和逻辑推理实力以及学生对函数与方程、转化与化归和分类探讨思想的应用.破考点【考点集训】考点一等比数列的通项公式与前n项和公式1.(2024河南开封一模,5)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且9S3=S6,a2=1,则a1=()A.12B.22C.答案A2.(2024陕西延安黄陵中学(重点班)第一次大检测,10)已知公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn,且满意a2,2a5,3a8成等差数列,则3SA.134B.1312C.9答案C3(2024天津滨海新区七所重点学校联考,11)等比数列{an}中,各项都是正数,且a1,12a3,2a2成等差数列,则a13+答案2-1考点二等比数列的性质1.(2024安徽马鞍山其次次教学质量监测,5)已知等比数列{an}满意a1=1,a3·a5=4(a4-1),则a7的值为()A.2B.4C.92答案B2.(2024福建4月模拟,6)已知递增的等比数列{an}的公比为q,其前n项和Sn<0,则()A.a1<0,0<q<1B.a1<0,q>1C.a1>0,0<q<1D.a1>0,q>1答案A3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S6S3A.2B.73C.8答案B 炼技法【方法集训】方法等比数列的判定与证明1.下列结论正确的是()A.若数列{an}的前n项和Sn=n2+n+1,则{an}为等差数列B.若数列{an}的前n项和Sn=2n-2,则{an}为等比数列C.非零实数a,b,c不全相等,若a,b,c成等差数列,则1a,1b,D.非零实数a,b,c不全相等,若a,b,c成等比数列,则1a,1b,1答案D2.(2024河南信阳模拟,17)已知数列{an}满意a1=1,an+1=2an+λ(λ为常数).(1)摸索究数列{an+λ}是不是等比数列,并求an;(2)当λ=1时,求数列{n(an+λ)}的前n项和Tn.解析(1)因为an+1=2an+λ,所以an+1+λ=2(an+λ).又a1=1,所以当λ=-1时,a1+λ=0,数列{an+λ}不是等比数列,此时an+λ=an-1=0,即an=1;当λ≠-1时,a1+λ≠0,所以an+λ≠0,所以数列{an+λ}是以1+λ为首项,2为公比的等比数列,此时an+λ=(1+λ)2n-1,即an=(1+λ)2n-1-λ.(2)由(1)知an=2n-1,所以n(an+1)=n×2n,Tn=2+2×22+3×23+…+n×2n①,2Tn=22+2×23+3×24+…+n×2n+1②,①-②得:-Tn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=2(1-2n)1-2所以Tn=(n-1)2n+1+2.过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一等比数列的通项公式与前n项和公式1.(2024课标Ⅱ,3,5分)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏答案B2.(2024课标Ⅱ,4,5分)已知等比数列{an}满意a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=()A.21B.42C.63D.84答案B3.(2024课标Ⅲ,17,12分)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.(1)求{an}的通项公式;(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m.解析(1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,则Sn=1-(-由Sm=63得(-2)m=-188.此方程没有正整数解.若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.考点二等比数列的性质(2024课标Ⅰ,15,5分)设等比数列{an}满意a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为.

答案64B组自主命题·省(区、市)卷题组考点一等比数列的通项公式与前n项和公式1.(2024北京,4,5分)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从其次个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122A.32fB.322fC.12答案D2.(2024江苏,9,5分)等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=74,S6=634,则a8=答案32考点二等比数列的性质1.(2024天津,5,5分)设{an}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对随意的正整数n,a2n-1+a2n<0”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件答案C2.(2024广东,13,5分)若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=.

答案50C组老师专用题组考点一等比数列的通项公式与前n项和公式1.(2024重庆,2,5分)对随意等比数列{an},下列说法肯定正确的是()A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列答案D2.(2013课标Ⅱ,3,5分,0.859)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()A.13B.-13C.1答案C3.(2012课标Ⅰ,5,5分)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=()A.7B.5C.-5D.-7答案D4.(2024北京,10,5分)若等差数列{an}和等比数列{bn}满意a1=b1=-1,a4=b4=8,则a2b2答案15.(2024湖南,14,5分)设Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=.

答案3n-16.(2024天津,11,5分)设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为.

答案-17.(2024安徽,12,5分)数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=.

答案18.(2024四川,19,12分)已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N*.(1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列{an}的通项公式;(2)设双曲线x2-y2an2=1的离心率为en,且e2=53,证明:e1+e2解析(1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,两式相减得到an+2=qan+1,n≥1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故an+1=qan对全部n≥1都成立.所以,数列{an}是首项为1,公比为q的等比数列.从而an=qn-1.由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,由已知,q>0,故q=2.所以an=2n-1(n∈N*).(2)证明:由(1)可知,an=qn-1.所以双曲线x2-y2an2=1的离心率en=由e2=1+q2=53因为1+q2(k-1)>q2(k-1),所以1+q2(k-于是e1+e2+…+en>1+q+…+qn-1=qn故e1+e2+…+en>4n9.(2024江苏,20,16分)设a1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列.(1)证明:2a1,2a2,(2)是否存在a1,d,使得a1,a22,a3(3)是否存在a1,d及正整数n,k,使得a1n,a2n+解析(1)证明:因为2an+12an=2an+1-a(2)令a1+d=a,则a1,a2,a3,a4分别为a-d,a,a+d,a+2d(a>d,a>-2d,d≠0).假设存在a1,d,使得a1,a22,a3则a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4.令t=da,则1=(1-t)(1+t)3且(1+t)6=(1+2t)4-1化简得t3+2t2-2=0(*),且t2=t+1.将t2=t+1代入(*)式,得t(t+1)+2(t+1)-2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0,则t=-14明显t=-14不是方程t2=t+1的解,冲突因此不存在a1,d,使得a1,a22,a3(3)假设存在a1,d及正整数n,k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次构成等比数列,则a1n(a1+2d)n+2k=(a分别在两个等式的两边同除以a12(并令t=da则(1+2t)n+2k=(1+t)2(n+k),且(1+t)n+k(1+3t)n+3k=(1+2t)2(n+2k).将上述两个等式两边取对数,得(n+2k)ln(1+2t)=2(n+k)·ln(1+t),且(n+k)ln(1+t)+(n+3k)ln(1+3t)=2(n+2k)ln(1+2t).化简得2k[ln(1+2t)-ln(1+t)]=n[2ln(1+t)-ln(1+2t)],且3k[ln(1+3t)-ln(1+t)]=n[3ln(1+t)-ln(1+3t)].再将这两式相除,化简得ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t)=4ln(1+3t)ln(1+t)(**).令g(t)=4ln(1+3t)ln(1+t)-ln(1+3t)ln(1+2t)-3ln(1+2t)·ln(1+t),则g'(t)=2[(令φ(t)=(1+3t)2ln(1+3t)-3(1+2t)2ln(1+2t)+3(1+t)2·ln(1+t),则φ'(t)=6[(1+3t)ln(1+3t)-2(1+2t)ln(1+2t)+(1+t)·ln(1+t)].令φ1(t)=φ'(t),则φ'1(t)=6[3ln(1+3t)-4ln(1+2t)+ln(1+t)].令φ2(t)=φ'1(t),则φ'2(t)=12(由g(0)=φ(0)=φ1(0)=φ2(0)=0,φ'2(t)>0,知φ2(t),φ1(t),φ(t),g(t)在-1故g(t)只有唯一零点t=0,即方程(**)只有唯一解t=0,故假设不成立.所以不存在a1,d及正整数n,k,使得a1n,a2n+评析本题考查等差数列的定义、等比数列的运算和综合应用,考查演绎推理、干脆证明、间接证明等逻辑思维实力.10.(2024山东,18,12分)设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn=3n+3.(1)求{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满意anbn=log3an,求{bn}的前n项和Tn.解析(1)因为2Sn=3n+3,所以2a1=3+3,故a1=3,当n>1时,2Sn-1=3n-1+3,此时2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1,即an=3n-1,所以an=3(2)因为anbn=log3an,所以b1=13当n>1时,bn=31-nlog33n-1=(n-1)·31-n.所以T1=b1=13当n>1时,Tn=b1+b2+b3+…+bn=13+[1×3-1+2×3-2+…+(n-1)×31-n所以3Tn=1+[1×30+2×3-1+…+(n-1)×32-n],两式相减,得2Tn=23+(30+3-1+3-2+…+32-n)-(n-1)×3=23+1-31-n1所以Tn=1312-6经检验,n=1时也适合.综上可得Tn=1312-6n+311.(2024课标Ⅱ,17,12分,0.299)已知数列{an}满意a1=1,an+1=3an+1.(1)证明an+1(2)证明1a1+1a2+…+解析(1)由an+1=3an+1得an+1+12=3a又a1+12=3所以an+1an+12=3n2,因此{an}的通项公式为an(2)由(1)知1an=因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以13n-于是1a1+1a2+…+1an≤1+13所以1a1+1a2+…+评析本题考查了等比数列的定义、数列求和等问题,放缩法求和是本题的难点.考点二等比数列的性质1.(2024浙江,10,4分)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,则()A.a1<a3,a2<a4B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4D.a1>a3,a2>a4答案B2.(2024大纲全国,10,5分)等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lgan}的前8项和等于()A.6B.5C.4D.3答案C3.(2024安徽,14,5分)已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前n项和等于.

答案2n-14.(2024江苏,7,5分)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是.

答案4【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2025届山东济南第一中学高三期中考试,7)在等比数列{an}中,若a3,a7是方程x2+4x+2=0的两根,则a5的值是()A.-2B.-2C.±2D.2答案B2.(2025届安徽黄山11月“八校联考”,7)设Sn是等比数列{an}的前n项和,S4=5S2,则a5A.±12B.±2C.±2或-1D.±1答案D3.(2024河南新乡二模,6)在公比为q的正项等比数列{an}中,a4=4,则当2a2+a6取得最小值时,log2q=()A.14B.-14C.1答案A4.(2024福建厦门模拟,8)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2n+1+λ,则λ=()A.-2B.-1C.1D.2答案A5.(2024山东试验中学诊断测试,7)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主子要求赔偿5斗粟.羊主子说:“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主子说:“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”准备按此比例偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主子应偿还a升,b升,c升,1斗为10升,则下列推断正确的是()A.a,b,c依次成公比为2的等比数列,且a=50B.a,b,c依次成公比为2的等比数列,且c=50C.a,b,c依次成公比为12的等比数列,且a=D.a,b,c依次成公比为12的等比数列,且c=答案D6.(2024湖北六校联合体4月模拟,10)在数列{an}中,a1=1,an+1=2an,则Sn=a12-a22+a32-A.13(2n-1)B.15(1-2C.13(4n-1)D.13(1-2答案B7.(2024湖南湘潭三模,9)已知等比数列{an}的前n项积为Tn,若a1=-24,a4=-89,则当TnA.2B.3C.4D.6答案C二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2025届河北衡水中学高三第一次摸底考试,14)已知数列{an},若数列{3n-1an}的前n项和Tn=15×6n-15,则a5的值为答案169.(2025届广东化州高三第一次模拟考试,16)已知函数f(x)=exex+1,数列{an}为等比数列,an>0,a1010=1,则f(lna1)+f(lna3)+…+f(lna答案201910.(2024江西仿真模拟,16)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满意:a1=1,a2=2,Sn+1=an+2-an+1(n∈N*),若不等式λSn>an恒成立,则实数λ的取值范围是.

答案(1,+∞)三、解答题(共25分)11.(2025届江西九江高三第一次十校联考,20)已知数列{an}满意an+1-an-1=2(an+an-1)(n≥2),a1=1,a2=7,令bn=an+1+an.(1)求证数列{bn}为等比数列,并求{bn}的通项公式;(2)求数列{an}的前n项和Sn.解析(1