关于大一高数的练习题

大一高数练习题一、极限与连续1.计算下列极限：(1)$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$(2)$\lim_{x\to1}\frac{x^21}{x1}$(3)$\lim_{x\to\infty}\frac{\lnx}{x}$(4)$\lim_{x\to0}\frac{e^x1}{x}$2.判断下列函数在指定点的连续性：(1)$f(x)=\sqrt{x^2+1}$在$x=0$处(2)$f(x)=\frac{1}{x}$在$x=1$处(3)$f(x)=|x|$在$x=0$处3.讨论函数$f(x)=\frac{\sinx}{x}$在$x=0$处的连续性。二、导数与微分1.求下列函数的导数：(1)$y=x^33x+2$(2)$y=\ln(x^2+1)$(3)$y=\sqrt{1x^2}$(4)$y=\frac{1}{x^2}$2.求下列函数的微分：(1)$y=e^{2x}$(2)$y=\arctanx$(3)$y=\sin^2x$3.求曲线$y=x^33x$在点$(2,2)$处的切线方程。三、积分与不定积分1.计算下列不定积分：(1)$\int(3x^22x+1)\,dx$(2)$\int\frac{1}{x}\,dx$(3)$\inte^x\,dx$(4)$\int\cosx\,dx$2.计算下列定积分：(1)$\int_{0}^{1}(x^2+1)\,dx$(2)$\int_{1}^{e}\lnx\,dx$(3)$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sinx\,dx$3.计算由曲线$y=x^2$与直线$y=2x$所围成的图形的面积。四、多元函数微分学1.求下列函数的一阶偏导数：(1)$z=x^2+y^2$(2)$z=\ln(xy)$(3)$z=\frac{x}{y}$2.求函数$z=x^2+2xy+y^2$在点$(1,1)$处的梯度。3.判断函数$f(x,y)=x^2+y^2$在点$(0,0)$处的极值。五、无穷级数1.判别下列级数的收敛性：(1)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$(2)$\sum_{n=1}^{\infty}(1)^n$(3)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$(4)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$2.求幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}x^n$的收敛区间。3.求函数$f(x)=e^x$在$x=0$处的泰勒展开式。六、常微分方程1.求解下列一阶微分方程：(1)$\frac{dy}{dx}=3x^2+2y$(2)$\frac{dy}{dx}+y=e^x$(3)$(x+2y)\frac{dy}{dx}=y$2.求解下列可降阶的二阶微分方程：(1)$y''=6x+2$(2)$y''2y'+y=e^x$3.求解下列线性微分方程组：\[\begin{cases}\frac{dx}{dt}=2x+y\\\frac{dy}{dt}=x+3y\end{cases}\]七、空间解析几何与向量代数1.计算向量$\mathbf{a}=(2,1,1)$和$\mathbf{b}=(1,1,2)$的点积和叉积。2.求直线$L:\frac{x1}{2}=\frac{y+3}{1}=\frac{z2}{3}$与平面$P:xy+z=4$的交点。3.写出经过点$(1,2,3)$且平行于平面$2xy+z=0$的直线的方程。八、线性代数1.解下列线性方程组：\[\begin{cases}x+2yz=4\\2xy+3z=6\\x+y+2z=7\end{cases}\]2.求矩阵$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$的逆矩阵。3.计算行列式$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$。九、复变函数1.计算复数$z=1+i$的模和辐角。2.将复数$z=3+4i$表示为三角形式和指数形式。3.求解复变函数$f(z)=z^2+2z+1$在$z=1+i$处的导数。十、概率论与数理统计1.计算从一副52张的标准扑克牌中随机抽取4张牌，抽到至少一张红桃的概率。2.已知随机变量$X$服从正态分布$N(0,1)$，求$P(X<1.96)$。3.某电子元件的使用寿命$X$（以小时计）服从参数为$\lambda=0.01$的指数分布，求该元件使用超过100小时的概率。答案一、极限与连续1.(1)1(2)2(3)0(4)12.(1)连续(2)不连续(3)连续3.连续二、导数与微分1.(1)$y'=3x^23$(2)$y'=\frac{2x}{x^2+1}$(3)$y'=\frac{x}{\sqrt{1x^2}}$(4)$y'=\frac{2}{x^3}$2.(1)$dy=2e^{2x}dx$(2)$dy=\frac{1}{1+x^2}dx$(3)$dy=2\sinx\cosxdx$3.$y2=3(x2)$或$y=3x4$三、积分与不定积分1.(1)$\frac{x^3}{3}x^2+x+C$(2)$\ln|x|+C$(3)$e^x+C$(4)$\sinx+C$2.(1)$\frac{5}{6}$(2)1(3)03.$\frac{4}{3}$四、多元函数微分学1.(1)$z_x=2x$,$z_y=2y$(2)$z_x=\frac{1}{x}$,$z_y=\frac{1}{y}$(3)$z_x=\frac{1}{y}$,$z_y=\frac{x}{y^2}$2.$\nablaf(1,1)=(2,4)$3.极小值五、无穷级数1.(1)发散(2)发散(3)收敛(4)收敛2.$(1,1)$3.$1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$六、常微分方程1.(1)$y=Ce^{x^2}x^22x$(2)$y=\frac{1}{2}e^x+Ce^{x}$(3)$y=Cx^2e^xx$2.(1)$y=x^3+x+C$(2)$y=(Ax+B)e^x+Ce^{x}$3.$x=C_1e^{2t}C_2e^t$,$y=C_1e^{2t}+C_2e^t$七、空间解析几何与向量代数1.点积：$3$,叉积：$(5,5,5)$2.交点：$(1,2,3)$3.直线方程：$\frac{x1}{2}=\frac{y2}{1}=\frac{z3}{3}$八、线性代数1.$x=2,y=1,z=3$2.$\begin{pmatrix}2&1\\\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}$3.0九、复变函数1.模：$\sqrt{2}$,辐角：$\frac{\pi}{4}$2.三角形式：$