新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）15 平面向量中的最值（范围）问题（含解析）

素养拓展15平面向量中的最值（范围）问题（精讲+精练）一、知识点梳理一、知识点梳理一、平面向量中的最值（范围）问题平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，解题思路通常有两种：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决．二、极化恒等式设a，b是平面内的两个向量，则有SKIPIF1<0证明：SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0，②将两式相减可得SKIPIF1<0，这个等式在数学上我们称为极化恒等式．①几何解释1（平行四边形模型）以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为一组邻边构造平行四边形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的SKIPIF1<0”．②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由SKIPIF1<0变形为SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型．注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．二、题型精讲精练二、题型精讲精练【典例1】（极化恒等式的应用）已知SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0上任意一点，求SKIPIF1<0的最小值．解：令SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0三点共线（如图），从而SKIPIF1<0的几何意义表示点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，这说明SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0上的高，故SKIPIF1<0．取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，则由向量极化恒等式可得SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为点SKIPIF1<0到边SKIPIF1<0的距离．即当点SKIPIF1<0在垂足SKIPIF1<0（非端点）处时，SKIPIF1<0达到最小值．【典例2】（数量积的最值（范围））已知SKIPIF1<0SKIPIF1<0，若点M是SKIPIF1<0所在平面内的一点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】以SKIPIF1<0为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，依题意SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.【典例3】（模的最值（范围））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，最小值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】A【解析】在SKIPIF1<0中，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为等边三角形，以SKIPIF1<0为邻边作平行四边形SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的起点为SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0的终点SKIPIF1<0的轨迹为以点SKIPIF1<0为圆心，半径为SKIPIF1<0的圆，如图，当点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的延长线与圆SKIPIF1<0的交点SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0；当点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的交点SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0.故选：A.【典例4】（夹角的最值（范围））平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的余弦值的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由SKIPIF1<0两边平方得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时取等号.则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的余弦值的最大值SKIPIF1<0.故选：A.【题型训练-刷模拟】1.极化恒等式的应用1．如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，，则SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为圆半径为1SKIPIF1<0是直径，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0根据向量加法和减法法则知：SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0是直径，所以SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选B2．如图，在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点是线段SKIPIF1<0上一动点.若以SKIPIF1<0为圆心､半径为1的圆与线段SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由题意，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，易知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最小，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．故选B3．如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，且，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则的值是A． B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】B【解析】过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0.因为M是AC的中点，故SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，故SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位线，故SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.SKIPIF1<0化简得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选A4．已知SKIPIF1<0的斜边SKIPIF1<0的长为4，设SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则SKIPIF1<0的取值范围是（）．A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如图所示，在SKIPIF1<0上，不妨取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．设圆的半径为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则：SKIPIF1<0．因此SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．故选C5．已知图中正六边形SKIPIF1<0的边长为6，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为4，若点P在正六边形的边上运动，SKIPIF1<0为圆O的直径，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为正六边形SKIPIF1<0的边长为6，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为4，所以正六边形SKIPIF1<0的内切圆的半径为SKIPIF1<0，外接圆的半径SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：D6．已知边长为2的正方形ABCD内接于圆O，点P是正方形ABCD四条边上的动点，MN是圆O的一条直径，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】设圆的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.如图，根据向量加法的三角形法则可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.由已知可得，正方形上的点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D.7．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为钝角，SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0上的两个动点，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________．【解析】取SKIPIF1<0的中点，取SKIPIF1<0，，SKIPIF1<0，因为的最小值SKIPIF1<0，所以．作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，如图，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为，所以由正弦定理得：SKIPIF1<0，，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案为：.8．如图，圆SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的内切圆，已知SKIPIF1<0，过圆心SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0的取值范围是_________．【解析】圆O的半径为1，考虑到P、Q两点都是动点，不妨将SKIPIF1<0，这样一转化，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．若Q在SKIPIF1<0的投影为SKIPIF1<0的中点时，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．2.数量积的最值（范围）问题一、单选题1．（2023·河南安阳·统考三模）已知菱形SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为菱形的中心，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的动点，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】设SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0、SKIPIF1<0用基底SKIPIF1<0表示，再利用平面向量数量积的运算性质可求得SKIPIF1<0的最小值.【详解】设SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，由平面向量数量积的定义可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为菱形SKIPIF1<0的中心，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：C.2．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）如图，已知SKIPIF1<0是半径为2，圆心角为SKIPIF1<0的扇形，点SKIPIF1<0分别在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是圆弧SKIPIF1<0上的动点（包括端点），则SKIPIF1<0的最小值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴建立平面直角坐标系，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，利用平面向量的坐标运算得SKIPIF1<0，结合基本不等式即可求得最值.【详解】如图，以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴建立平面直角坐标系

则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立则SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：A.3．（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】设SKIPIF1<0，利用余弦定理可求得SKIPIF1<0，根据向量数量积定义可得SKIPIF1<0，利用三角形三边关系可求得SKIPIF1<0的范围，结合二次函数性质可求得结果.【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由余弦定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故选：D.4．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）已知半径为1的圆O上有三个动点A，B，C，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】建立平面直角坐标系，求出相关点和向量的坐标，用数量积的坐标运算.SKIPIF1<0，转化为直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0有公共点求参数最值问题.【详解】因为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴建立平面直角坐标系：

则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，依题意直线SKIPIF1<0与圆有公共点，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.

故选：A5．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由题设易知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，进而求SKIPIF1<0即可得答案.【详解】由圆O是△ABC的外接圆，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，仅当SKIPIF1<0时等号成立.故选：A6．（2023·全国·高三专题练习）已知边长为2的菱形SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一动点，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据SKIPIF1<0，根据线性运算进行变换可求得SKIPIF1<0；以菱形对角线交点为原点，对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，利用坐标表示出SKIPIF1<0，得到关于SKIPIF1<0的二次函数，求得二次函数最小值即为结果.【详解】由题意知：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0

SKIPIF1<0以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交点为原点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴建立如下图所示的平面直角坐标系：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0本题正确选项：SKIPIF1<0【点睛】本题考查向量数量积的运算问题，涉及到利用定义的运算和数量积的坐标运算，解题关键是能够通过线性运算进行变换，通过数量积运算的定义求得夹角；再通过建立平面直角坐标系的方式，将问题转化为坐标运算，通过函数关系求解得到最值.7．（2023·全国·高三专题练习）已知菱形ABCD的边长为2，SKIPIF1<0，点E在边BC上，SKIPIF1<0，若G为线段DC上的动点，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．2 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．4【答案】B【分析】利用向量的数量积的定义及数量积的运算，结合向量的线性运算即可求解.【详解】由题意可知，如图所示因为菱形ABCD的边长为2，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故选：B.【点睛】关键点睛：解决此题的关键是利用向量的线性运算求出SKIPIF1<0，结合向量数量积定义和运算即可.8．（2023·全国·高三专题练习）圆SKIPIF1<0为锐角SKIPIF1<0的外接圆，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】把SKIPIF1<0转化为SKIPIF1<0，由余弦定理、数量积的定义得SKIPIF1<0，讨论SKIPIF1<0的位置得SKIPIF1<0，结合锐角三角形SKIPIF1<0恒成立，即可得范围.【详解】由SKIPIF1<0为锐角三角形，则外接圆圆心在三角形内部，如下图示，又SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，若外接圆半径为r，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，对于SKIPIF1<0且SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，当SKIPIF1<0为直径时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0重合时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0，锐角三角形中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0恒成立，综上，SKIPIF1<0.故选:C二、填空题9．（2023·江苏盐城·统考三模）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是.【答案】SKIPIF1<0【分析】利用正弦定理和向量数量积的定义得SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0的范围和正切函数的值域即可求出其范围.【详解】根据正弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范围SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.10．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为点B，则SKIPIF1<0的取值范围是.【答案】SKIPIF1<0【分析】由向量的数量积公式得出SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的最大值和最小值即可得出结果.【详解】由线段EF的中点为点B，得出SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0.当点P位于点A或点C时，SKIPIF1<0取最大值8.当点P位于SKIPIF1<0的中点时，SKIPIF1<0取最小值，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.11．（2023·全国·高三专题练习）如图，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0为圆心为SKIPIF1<0、半径为1的圆的动直径，则SKIPIF1<0的取值范围是.【答案】SKIPIF1<0【分析】由向量的运算得出SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0的范围得出SKIPIF1<0的取值范围.【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<012．（2023·全国·高三专题练习）如图，在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，点D，E分别在边AB，AC上，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0，点F为线段DE上的动点，则SKIPIF1<0的取值范围是．【答案】SKIPIF1<0【分析】设SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为基底，将SKIPIF1<0分别用SKIPIF1<0表示，再结合数量积的运算律把SKIPIF1<0用SKIPIF1<0表示，再结合二次函数的性质即可得解.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，对于SKIPIF1<0，其开口向上，对称轴为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【点睛】关键点睛：本题考查了平面向量的线性运算及数量积的运算，以SKIPIF1<0为基底，将SKIPIF1<0分别用SKIPIF1<0表示，是解决本题的关键.13．（2023·全国·高三专题练习）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是其外心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上分别有两动点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0恰好将SKIPIF1<0分为面积相等的两部分.则SKIPIF1<0的最大值为.【答案】SKIPIF1<0【分析】利用余弦定理求出SKIPIF1<0，再由正弦定理求出外接圆半径SKIPIF1<0，利用外心定义及数量积定义计算出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的值，又SKIPIF1<0，利用数量积运算表示SKIPIF1<0，利用基本不等式即可求出最值.【详解】在SKIPIF1<0中，由余弦定理即SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，因为线段SKIPIF1<0恰好将SKIPIF1<0分为面积相等的两部分，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是其外心，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由正弦定理SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时即SKIPIF1<0，等号成立，此时SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<014．（2023·河北·统考模拟预测）如图，在边长为2的正方形SKIPIF1<0中．以SKIPIF1<0为圆心，1为半径的圆分别交SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当点SKIPIF1<0在劣弧SKIPIF1<0上运动时，SKIPIF1<0的最小值为．【答案】SKIPIF1<0【分析】以点SKIPIF1<0为坐标原点建立平面直角坐标系，设SKIPIF1<0，利用平面向量数量积的坐标表示结合三角函数的性质即可得解.【详解】如图，以点SKIPIF1<0为坐标原点建立平面直角坐标系，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.3.模的最值（范围）问题一、单选题1．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由向量的数量积与模的关系消元化简计算即可.【详解】设向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：D.2．（2023·新疆·统考二模）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（θ为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角），则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．2【答案】C【分析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模长的计算公式求解即可.【详解】因为向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（θ为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角），则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，即SKIPIF1<0的最小值为1，即SKIPIF1<0的最小值为1.故选：C.3．（2023·北京海淀·校考三模）已知SKIPIF1<0为单位向量，向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】C【分析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，最后根据向量模的坐标表示及二次函数的性质计算可得.【详解】依题意设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，即SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故选：C4．（2023·全国·高三专题练习）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是单位向量，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据数量积的运算律得到SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0的范围，即可得解.【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0．故选：C．5．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】在平面内一点SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，计算出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值，利用向量三角不等式可求得SKIPIF1<0的最大值.【详解】在平面内一点SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为等腰直角三角形，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.当且仅当SKIPIF1<0、SKIPIF1<0同向时，等号成立，故SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故选：B.6．（2023·浙江·模拟预测）已知在三角形ABC中，SKIPIF1<0，点M，N分别为边AB，AC上的动点，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，点P，Q分别为MN，BC的中点，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据SKIPIF1<0，再计算SKIPIF1<0，得到函数SKIPIF1<0，最后根据二次函数在区间最值的求法即可求解.【详解】SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0的对称轴为SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故选：B7．（2023·全国·高三专题练习）在长方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上运动，点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上运动，且保持SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】建立坐标系，设SKIPIF1<0，表示出各点的坐标，根据向量的模和三角函数的图象和性质即可求出．【详解】解：如图，以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0所在的直线为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0所在的直线为SKIPIF1<0轴，建立平面直角坐标系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值，最大值为SKIPIF1<0．故选：A．8．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据已知条件可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得点SKIPIF1<0的轨迹为圆，由圆的性质即可求解.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为圆心，半径SKIPIF1<0的圆上，SKIPIF1<0表示圆SKIPIF1<0上的点SKIPIF1<0与定点SKIPIF1<0的距离，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，故选：D.9．（2023·全国·高三专题练习）已知单位向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0垂直，若向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由题意不妨设SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由模的坐标表示得点SKIPIF1<0在圆上，由SKIPIF1<0的几何意义，只要求得圆心到原点的距离后可得结论．【详解】由题意不妨设SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0