新高考数学一轮复习 第8章 立体几何（综合检测）（含解析）

第八章立体几何章末检测（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角的余弦值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．2或SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据SKIPIF1<0，解得即可得出答案.【详解】解：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：C.2．已知空间两不同直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，两不同平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列命题正确的是（

）A．若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0不垂直于SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0不垂直于SKIPIF1<0【答案】C【分析】A选项，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0可能平行、相交或异面，B选项，有SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，C选项，由面面垂直的判定定理可知正确.D选项，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有可能垂直.【详解】对于A选项，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0可能平行、相交或异面，故A错误.对于B选项，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故B错误.对于C选项，因为SKIPIF1<0，所以由线面平行的性质可得SKIPIF1<0内至少存在一条直线SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由面面垂直的判定定理可知SKIPIF1<0，故C正确.对于D选项，若SKIPIF1<0不垂直于SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有可能垂直，故D错误.故选:C.3．在马致远的《汉宫秋》楔子中写道：“毡帐秋风迷宿草，穹庐夜月听悲笳.”毡帐是古代北方游牧民族以为居室、毡制帷幔.如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4，侧面积为SKIPIF1<0，圆柱的侧面积为SKIPIF1<0，则该毡帐的体积为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】直接利用圆锥侧面积公式以及母线、底面半径和高的关系得到方程组即可解出圆锥底面半径，再利用圆柱侧面积公式即可求圆柱的高，最后再根据相关体积公式即可得到答案.【详解】设圆柱的底面半径为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，圆锥的母线长为SKIPIF1<0，因为圆锥的侧面积为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以联立解得SKIPIF1<0（负舍）.因为圆柱的侧面积为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以该毡帐的体积为SKIPIF1<0.故选：A.4．如图，SKIPIF1<0是直三棱柱，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】以SKIPIF1<0为原点，建立空间直角坐标系，然后坐标运算即可.【详解】以SKIPIF1<0为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值是SKIPIF1<0.故选：A5．如图，在正四棱台SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，则下列结论中一定不成立的是（

）

A．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用线面平行的性质可判断A选项；利用线面垂直的性质可判断B选项；取棱SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，推导出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0相交，可判断C选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断D选项.【详解】对于A选项，连接SKIPIF1<0，如下图所示：

在正四棱台SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以，四边形SKIPIF1<0为平行四边形，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由正四棱台的几何性质可知，四边形SKIPIF1<0为正方形，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，A对；对于B选项，将正四棱台SKIPIF1<0补成正四棱锥SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，

因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，又因为四边形SKIPIF1<0为正方形，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，B对；对于C选项，取棱SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，

在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，所以，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故四边形SKIPIF1<0为梯形，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为两腰，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0相交，又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，从而直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0有公共点，即SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0不平行，C错；对于D选项，连接SKIPIF1<0，如下图所示：

因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故四边形SKIPIF1<0为平行四边形，所以，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在平面SKIPIF1<0内，以点SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，过点SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0的直线为SKIPIF1<0轴建立如图所示的平面直角坐标系，

设点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即当点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，D对.故选：C.6．圆锥的高为1，体积为SKIPIF1<0，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】A【分析】首先根据题意，确定出圆锥的底面圆半径和母线长，从而确定出轴截面的顶角，结合三角形的面积公式可确定其为直角三角形时面积最大.【详解】圆锥的高为1，体积为SKIPIF1<0，则底面圆的半径为SKIPIF1<0，母线长为2，轴截面的顶角为SKIPIF1<0，当截面为直角三角形时，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积最大，最大值为SKIPIF1<0，故选：A．【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关过圆锥定点截面面积的最值问题，正确解题的关键是要明确圆锥轴截面顶角的大小以及三角形面积公式.7．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0绕AB旋转至SKIPIF1<0处，使平面SKIPIF1<0平面ABC，则在旋转的过程中，点C的运动轨迹长度至少为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据题意，将三棱锥正方体中，结合条件可得点C的运动轨迹四分之一圆，即可得到结果.【详解】

如图所示，将三棱锥SKIPIF1<0放到正方体模型中，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则正方体的棱长为2，在旋转过程中，C点的轨迹是以D点为圆心，DC为半径的圆的四分之一，其长度为SKIPIF1<0.故选：A.8．四棱锥SKIPIF1<0中，底面ABCD为边长为4的正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，Q为正方形ABCD内一动点且满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的体积的最小值为（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】B【分析】判断三角形全等，从而推出SKIPIF1<0，通过线面垂直得到SKIPIF1<0，确定点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为直径的半圆上，从而确定当点SKIPIF1<0是正方形SKIPIF1<0的中心时，三棱锥SKIPIF1<0的体积最小，从而利用三棱锥的体积公式计算即可.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,故点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为直径的半圆上，所以当点SKIPIF1<0是正方形SKIPIF1<0的中心时，三棱锥SKIPIF1<0的体积最小，即三棱锥SKIPIF1<0的体积的最小值为SKIPIF1<0.故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知向量SKIPIF1<0则下列命题中，正确的是（

）A．若SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为邻边的平行四边形的面积是SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间的夹角为钝角 D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间的夹角为锐角【答案】BD【分析】利用空间向量的垂直的坐标表示可判断A，利用平行四边形的面积与向量之间的关系可求面积判断B，根据向量的夹角与数量积之间的关系可判断CD.【详解】选项A，设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即A错误；选项B，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为邻边的平行四边形的面积SKIPIF1<0，即B正确；选项C，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共线反向，故C错误；选项D，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间的夹角为锐角，故D正确，故选:BD.10．如图，在正方体SKIPIF1<0中，P是正方形SKIPIF1<0的中心，E是PC的中点，则以下结论（

）A．SKIPIF1<0平面BDE B．平面SKIPIF1<0平面BDEC．SKIPIF1<0 D．异面直线PC与AB所成的角为SKIPIF1<0【答案】ABC【分析】利用线面平行判定定理即可证得选项A正确；利用面面垂直判定定理即可证得选项B正确；利用线面垂直性质定理即可证得选项C正确；求得异面直线PC与AB所成的角判断选项D.【详解】选项A：设AC与BD交于点SKIPIF1<0，连接OE，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面BDE，SKIPIF1<0平面BDE，所以SKIPIF1<0平面BDE，故A正确；选项B：连接PO，因为SKIPIF1<0平面ABCD，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面PAC，又SKIPIF1<0平面BDE，所以平面SKIPIF1<0平面BDE，故B正确；选项C：因为SKIPIF1<0平面PAC，SKIPIF1<0平面PAC，所以SKIPIF1<0，故C正确；选项D：因为SKIPIF1<0，所以异面直线PC与AB所成的角为SKIPIF1<0或其补角，设正方体的棱长为1，连接PD，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以异面直线PC与AB所成的角不等于SKIPIF1<0，故D错误．故选：ABC．11．如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，底面是边长为2的正三角形，SKIPIF1<0，点M在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，P为线段SKIPIF1<0上的点，则(

)A．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．当P为SKIPIF1<0的中点时，直线AP与平面ABC所成角的正切值为SKIPIF1<0C．存在点P，使得SKIPIF1<0D．存在点P，使得三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0【答案】BD【分析】A：假设SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则可得AC⊥平面SKIPIF1<0，∠ACB=90°与已知矛盾，从而判断假设不成立；B：取BC中点为N，可证PN⊥平面ABC，∠PAN为AP与平面ABC所成角，解△ANP即可；C：假设CP⊥AM，可得CP⊥平面AMN，CP⊥MN，几何图形即可判断假设不成立；D：假设SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，求出△CPM的面积，判断△CPM面积是否小于或等于△SKIPIF1<0面积即可．【详解】对于A，假设SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0AC，易知SKIPIF1<0⊥AC，SKIPIF1<0∩SKIPIF1<0，故AC⊥平面SKIPIF1<0，故AC⊥BC，这与∠ACB=60°矛盾，故假设不成立，故A错误；对于B，当P为SKIPIF1<0的中点时，取BC中点为N，连接PN、AN，易知PN∥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0⊥平面ABC，则PN⊥平面ABC，故∠PAN即为AP与平面ABC所成角，则tan∠PAN=SKIPIF1<0，故B正确；对于C，取BC中点为N，连接AN、NM，由AN⊥BC，AN⊥SKIPIF1<0知AN⊥平面SKIPIF1<0，故AN⊥CP，若SKIPIF1<0，∵AN∩AM=A，则CP⊥平面AMN，则CP⊥MN，过C作CG∥MN交SKIPIF1<0于G，则CP⊥CG，即∠PCG=90°，易知∠PCG不可能为90°，故不存在P使得SKIPIF1<0，故C错误；对于D，取BC中点为N，连接AN，易知AN⊥平面SKIPIF1<0，AN=SKIPIF1<0，若三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故存在P使SKIPIF1<0时，三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，故D正确．故选：BD．【点睛】本题充分考察空间里面的点线面位置关系，判断选项ACD时都可以采用假设存在P点满足条件，然后结合几何关系推出与已知条件矛盾或不矛盾的结论，从而作出判断；选项B考察空间里面直线和平面的夹角，根据几何关系可作出辅助线解决问题即可．12．如图，在棱长为a的正方体SKIPIF1<0中，M，N分别是AB，AD的中点，P为线段SKIPIF1<0上的动点（不含端点），则下列结论中正确的是（

）A．三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值B．异面直线BC与MP所成的最大角为45°C．不存在点P使得SKIPIF1<0D．当点P为SKIPIF1<0中点时，过M、N、P三点的平面截正方体所得截面面积为SKIPIF1<0【答案】AD【分析】对于A，点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0为定值，利用体积公式即可判断；对于B，利用异面直线所成角的求法即可判断；对于C，利用线面垂直证明线线垂直即可判断；对于D，先做出截面，再求其面积即可.【详解】点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0为定值，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值，故SKIPIF1<0正确；设SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即为异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0所以异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的最小角为45°，故SKIPIF1<0不正确；若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0不正确；取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，所以过SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点的平面截正方体所得截面为正六边形，面积为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正确．故选：SKIPIF1<0．第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．《九章算术》中将正四梭台（上､下底面均为正方形）称为“方亭”.现有一方亭，高为2，上底面边长为2，下底面边长为4，则此方亭的表面积为.【答案】SKIPIF1<0【分析】先利用勾股定理求出正四棱台侧面的高，再根据多面体的表面积公式即可得解.【详解】如图所示，SKIPIF1<0分别是正四梭台不相邻两个侧面的高，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即为正四梭台的高，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以此方亭的表面积为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.

14．在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，点Q为侧面SKIPIF1<0内一动点（含边界），若SKIPIF1<0，则点Q的轨迹长度为．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据题设描述确定Q的轨迹，即可求其长度.【详解】由题意，SKIPIF1<0在面SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为圆心，半径为SKIPIF1<0的四分之一圆弧，

所以轨迹长度为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<015．已知三棱锥，若，，两两垂直，且，，则三棱锥的内切球半径为．【答案】SKIPIF1<0【详解】试题分析：由题意，设三棱锥SKIPIF1<0的内切球的半径为SKIPIF1<0，球心为SKIPIF1<0，则由等体积SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．考点：1．球的体积和表面积；2．棱锥的结构特征．16．如图，在棱长为2的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别是棱SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上运动，给出下列四个结论：

①当点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点时，直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；②平面SKIPIF1<0截正方体SKIPIF1<0所得的截面图形是六边形；③SKIPIF1<0不可能为直角三角形；④SKIPIF1<0面积的最小值是SKIPIF1<0.其中所有正确结论的序号是.【答案】①④【分析】根据中位线的性质证线线平行后可得线面平行来判定①，利用平面的性质构造相交线可判定②，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量的数量积可判定③，利用空间中点到直线的距离可判定④【详解】对①，如图所示，因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0也是SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，①正确；对②，如图直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的延长线分别交于SKIPIF1<0连接SKIPIF1<0，分别交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则五边形SKIPIF1<0即为所得的截面图形，故②错误；

以SKIPIF1<0为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，

对③，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，故存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0可能为直角三角形，③错误；对④，由③得SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的投影为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面积为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值为SKIPIF1<0，④正确.故答案为：①④.四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点.（1）求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离.【答案】(1)证明见解析；(2)SKIPIF1<0【分析】（1）连接SKIPIF1<0，证明平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即可说明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）先计算出SKIPIF1<0，再利用等体积法SKIPIF1<0，即可求出点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离.【详解】（1）证明：连接SKIPIF1<0，∵在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0是平行四边形，∴SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）解：法一：∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.过SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内，作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0长是点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离.在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0.法二：设SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0.【点睛】本题考查利用面面平行的性质定理证明线面平行、利用等体积法求点到平面的距离，属于基础题．18．如图，正三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是侧棱SKIPIF1<0上一点，设平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(1)证明：SKIPIF1<0；(2)当SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点时，平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的锐二面角的大小为30°，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）先根据正三棱柱的结构特征得到SKIPIF1<0，进而得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，然后利用线面平行的性质定理即可得证；（2）先寻找垂直关系建立空间直角坐标系，然后根据平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的锐二面角的大小为30°，求得三棱柱的底面边长和侧棱长之间的关系，最后求解线面角的正弦值即可.【详解】（1）解：（1）在正三棱柱SKIPIF1<0中，易知SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）（2）取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0是正三角形，所以SKIPIF1<0.又三棱柱SKIPIF1<0是正三棱柱，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以以SKIPIF1<0为坐标原点，过点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行的直线为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直线分别为SKIPIF1<0轴､SKIPIF1<0轴建立如图所示的空间直角坐标系.设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，易知平面SKIPIF1<0的一个法向量SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的锐二面角的大小为30°，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的大小为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.19．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)在线段SKIPIF1<0上是否存在一点F，使直线CF与平面PBC所成角的正弦值等于SKIPIF1<0？【答案】(1)证明见解析(2)存在【分析】（1）利用勾股定理证得SKIPIF1<0，结合线面垂直的判定定理即可证得结论；（2）以A为原点建立空间直角坐标系，设点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求得平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，利用已知条件建立关于SKIPIF1<0的方程，进而得解.【详解】（1）取SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0（2）存在点F是SKIPIF1<0的中点，使直线CF与平面PBC所成角的正弦值等于SKIPIF1<0．以A为坐标原点，以SKIPIF1<0为x轴，SKIPIF1<0为y轴，SKIPIF1<0为z轴建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，因为点F在线段SKIPIF1<0上，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0设直线CF与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），SKIPIF1<0，此时点F是SKIPIF1<0的中点，所以存在点F．20．如图1，已知矩形ABCD，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，线段AD，BC的中点分别为点E，F，现将SKIPIF1<0沿着BE折叠，使点A到达点P，得到四棱锥SKIPIF1<0，如图2.(1)求证：SKIPIF1<0；(2)当四棱锥SKIPIF1<0体积最大时，求二面角SKIPIF1<0的大小.【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）要证明线线垂直，需先证明线面垂直，首先作辅助线，取BE的中点O，连接PO，OF，证明SKIPIF1<0平面PFO；（2）首先确定点SKIPIF1<0的位置，法一，利用坐标法，求二面角；法二，几何法，根据二面角的定义，得二面角SKIPIF1<0的平面角就是SKIPIF1<0，即可求解.【详解】（1）取BE的中点O，连接PO，OF，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，线段AD，BC的中点分别为点E，F，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在等腰直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面PFO，因为SKIPIF1<0平面PFO，所以SKIPIF1<0.（2）当四棱锥SKIPIF1<0体积最大时，点P在平面BCDE的射影即为点O，即SKIPIF1<0平面BCDE.法一：以OB，OF，OP方向为x轴，y轴和z轴分别建立空间直角坐标系SKIPIF1<0.如图3.则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设平面PEC的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0易得平面ECB的一个法向量SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0因为二面角SKIPIF1<0是锐角，所以二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0.法二：在SKIPIF1<0中，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由二面角的定义可知，二面角SKIPIF1<0的平面角就是SKIPIF1<0.所以二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0.21．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面是边长为SKIPIF1<0的菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的一点，且SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0．(1)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)试确定SKIPIF1<0的值，并求出平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0；平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成二面角的正弦值为SKIPIF1<0【分析】（1）取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，利用等腰三角形