高考数学一轮复习39空间几何体的表面积和体积教学案理

专题39空间几何体的表面积和体积

考情解读，

1.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.

'重点知识梳理，

1.柱、锥、台和球的表面积和体积

称

表面积体积

几何体

柱体（棱柱和圆柱）S表面积=S侧+2s底V=Sh

1

锥体（棱锥和圆锥）S表面积=S侧+S底K=-SZ?

，=!（S上+5下+小瓦）右

台体（棱台和圆台）S表面积=5侧+S上+S下

J

4弋

球5=4几口

卜高频考点突破

高频考点一求空间几何体的表面积

例1、（1）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）

A.1+^3

C.2+4D.2y[2

（2）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正

视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20口，则r等于（）

--2r—

Ox

<J\

正视图1

I

T—T

_L2Lr

俯视图

A.1B.2

C.4D.8

⑶一个六棱锥的体积为2/，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的

侧面积为.

【答案】（DC（2）B⑶12

【解析】（1）由几何体的三视图可知空间几何体的直观图如图所示.

B

.•.其表面积工=2，物'1+2'*<（卷2=2+而，故选C.

（2）由正视图与俯视图想象出其直观图，然后进行运算求解.如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组

合体，球的半径为〃圆柱的底面半径为〃高为2r,则表面积S=*4端+加+4/+m2/=（5兀+4）户.又5

=16+2g

「.（5兀+4）K=16+2SE,「M=4,『2,故选B

（3）设正六棱锥的高为人侧面的斜高为分.

由题意，得§义6义5*2*/义力=2#,

：.h=1,

・,・斜高分+小2=2,

1

二・S侧=6><]><2><2=12.

【感悟提升】空间几何体表面积的求法

(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位

置关系及数量.

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.

(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.

【变式探究】(•全国III卷)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面

体的三视图，则该多面体的表面积为()

B.54+18m

C.90D.81

【答案】B

【解析】由几何体的三视图可知，该几何体是底面为正方形的斜平行六面体.

由题意可知该几何体底面边长为3,高为6,

所以侧棱长为"3a+&=3近

故该几何体的表面积5=32X2+(3X6)X2+(3X3^5)X2=54+18^5.

高频考点二求空间几何体的体积

例2、(1)(•山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体

积为()

俯视图

11

-B-+n

Ac.33

1

-1+

3D.31

（2）正三棱柱/8C—4笈G的底面边长为2,侧棱长为噂，D为BC中点,则三棱锥4—6防。的体

积为（）

3A/3

A.3B.-C.1D.g-

【答案】（DC（2）C

【解析】（D由三视图知该四棱锥是底面边长为1,高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为李,

从而该几何体的体积为/xVx1+*如x（坐）二上+坐兀

（2）由题意可知，31平面SLDCI,即加为三棱锥

/-Bg的高,且㈤=乎X2=S,

易求得5A5LDCI=*2XS=S,

所以四一BiDCi=/xSx仍=1.

【变式探究】（•课标全国II）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右

图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）

1

8-

Ac.1

6-

D

如

图

由题意知，该几何体是正方体285-4台04被过三点2、Bi、〃的平面所截剩余部分，截去的

部分为三棱锥/T心〃，设正方体的棱长为1,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为

V

v匕—4孙

A-\B{DX

V

y〃用GABCD用。

BXCXDX-ABCDA——%-41

-1x-1xi2xi

o乙

~~i~i2―=?选D-

13--X-X12X1

OLt

高频考点三求简单几何体的体积

JI

例3、在梯形46（力中，ZABC=~,AD//BC,6。=2/小2/6=2.将梯形46切绕所在的直线

旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）

2兀4兀

A.B.

5兀

C.­T-D.2兀

O

【答案】c

【解析】过点c作CE垂直血所在直线于点E,梯形"CD绕加所在直线施转一周而形成的旋转体是

由以线段AB的长为底面圆半径，线段EC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，也为高的圆锥,

如图所示,

该几何体的体积为勺，圆柱一，瞰=口•AS•BC~^•Ji••DE^JiX12X2-|JIX12X1=

5JI

故选c.

【变式探究】（1）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球,

则能得到的最大球的体积等于（）

E

T

8

I

-

俯视图

（2）如图，在多面体力阅班F中，已知力及力是边长为1的正方形，且应，均为正三角

形，EF//AB,EF=2,则该多面体的体积为（）

【答案】（DB（2）A

【解析】（1）由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，底面为直角三角形，高为12,如图所

其中/C=6,BC=8,ZACB=9Q°,则48=10.

由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径

最大.

即r=6+「°=2,故能得到的最大球的体积为故选B.

(2)如图，分别过点幺，B作即1的垂线，垂足分别为G,H,连接DG,CH,

容易求得EG=M=*AG=GD=BH=HC=^,

1也

-XX

22

业

11也

-1选A

-X_X+XL-

342X24

【感悟提升】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略

(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.

(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法

进行求解.

(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求

解.

高频考点四与球有关的切、接问题

例4、已知直三棱柱46C—46C的6个顶点都在球。的球面上，若26=3,AC=4,ABLAC,

44=12,则球。的半径为()

N.B.2710

C.yD.3710

【答案】C

【解析】如图所示，由球心作平面/回的垂线，

则垂足为a1的中点〃

r15

又AM=~BC=~,

1

OM=~AA\=&,

所以球。的半径7?=。｝=、/12+62=Y.

【感悟提升】空间几何体与球接、切问题的求解方法

(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为

平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.

(2)若球面上四点RA,B,C构成的三条线段以，PB,尸C两两互相垂直，且用=a,PB=b,

PC=c,■般把有关元素“补形”成为■个球内接长方体，利用求解.

【变式探究】如图，直三棱柱/8C—4笈G的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB=AC,侧

面比1G61是半球底面圆的内接正方形，则侧面/阳4的面积为()

A.看B.1

C.y[2D.小

【答案】C

【解析】由题意知，球心在侧面BCC1B1的中心。上述C为AtBC所在圆面的直径,m

的外接圆圆心N是BC的中点，同理—151。的外心科是&G的中点.设正方形BCWSi的边长为x,

yY

R1A0A©中，QW二本鼠C1昔,0clm=1(五为球的半径),

/+(/1,即了=4，贝lJ/6=/C=l,

S矩形4初4=/义1=$.

真题感悟

1.【高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂

直的半径.若该几何体的体积是——，则它的表面积是（）

3

(A)17兀(B)181(C)20万(D)28万

【答案】A

【解析】该几何体直观图如图所示:

是一个球被切掉左上角的设球的半径为R贝JV=：X：殂3=挛，解得R=2,所以它的表面积是Z的

Bo338

球面面积和三个扇形面积之和

71

S=—x4^乂2"+3乂彳双乂2”=17再故选A.

2.【高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表

面积为（）

(C)28〃(D)327r

【答案】C

【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为Si=2*2.4=l&t,圆锥的侧面积为$2=-2-4=版，圆柱的底

2

面面积为S-3=K2=4K,故该几何体的表面积为S=S1+S1+S3=^Kf故选C.

3.【高考北京理数】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()

【答案】A

【解析】分析三视图可知，该几何体为一三棱锥尸-ABC,其体积V=1•工•1・1・1=工，故

326

选A.

4.【高考新课标3理数】如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实现画出的是某多面体

的三视图，则该多面体的表面积为(

(A)18+36百(B)54+18^5(C)90(D)81

【答案】B

【解析】由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积

S=2x3x6+2x3x3+2x3x3岔=54+186,故选B.

5.【高考山东理数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体

积为()

侧（左）视图

J,2

coL当(D)1+^TT

3333366

【答案】C

【解析】由三视图可知，上面是半径为《的半球，体积为匕=[x?兀x（£尸=，兀,下面是底面积为1,

22326

高为1的四棱锥，体积匕=lx1x1=!,故选c.

33

6.【高考四川理数】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如

图所示，则该三棱锥的体积是

正视图

【答案】—

3

【解析】由三棱锥的正视图知，三棱锥的高为，底面边长为2J5,2,2,所以，该三棱锥的体

积为丫=工义」_义2义2义正义1=且.

3223

7.【高考浙江理数】某几何体的三视图如图所示(单位：cm),则该几何体的表面积是cm2,

体积是cm3.

【答案】7232

【解析】几何体为两个相同长方体组合，长方体的长宽高分别为422,所以体积为2x(2x2x4)=32,由

于两个长方体重彘部分为一个边长为2的正方形,所以表面积为2(2x2x2+2x4x4)-2(2x2)=72

1.【高考陕西，理5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()

A.3万B.47rC.2»+4D.3»+4

主提田左视图

【答案】D

【解析】由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为，母线长为2,所以该几何

体的表面积是5x2"xlx(l+2)+2x2=37r+4,故选D.

2.【高考新课标1,理11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为力组成一个几何体，

该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20万，则广()

(A)1(B)2(C)4(D)8

【答案】B

【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球的半径都为「，圆柱

........._1.□--一.

的图力其表回积为-x4"+;zrx2r+W+2rx2r=5析,+41=16+20",解得片2,故选B.

2

3.【高考重庆，理5】某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为

ZOI幽CJ

p-l2-*

正视图左视图的视图

题(5)图

12

A、—F71B、—I-71

33

1c2。

C、—F2%D、—F27r

33

【答案】A

【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，v=—^xl2x2+—x(—xxlx2)xl=^-+—,

2323

选A.

4.【高考北京，理5】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(

A.2+逐B.4+gC.2+2百D.5

【答案】C

【解析】根据三视图恢复成三棱锥「一皿5其中产C_L平面ABC,取AB棱的中点D,连接CD、PD,有

工耻@±底面为等腰三角形底边上的高为

PDAB)ABCABCD2,AD=BD=1,PO1,

pnRw=-x2x2=2S=Lx2x或=卡:

PD=gS皿2,*2v,AC=BC=忐，

S尔=}x店xl=j_S表=2点+2_

'2,二棱键表面积表，故选C

P

5.【高考安徽，理7】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()

(A)1+6(B)2+73

(C)1+20(D)20

侧（左）视图

（7）题图

【答案】B

【解析】由题意，该四面体的直观图如下，是等股直角三角形，ASCAXCD是等边三角

形,则S.D=,5^0=—Xy/2xj2=1,S=.5^°=彳x&x&sin6(F=£

AJBC,所以四面体的表面积

S=Sr+S^gD+Sc+SUCD=2x1+2x=2+出，故选B.

AzfTlC:rDji、"z.A.<4.tj_、r

6.【高考新课标2,理9］已知A,B是球。的球面上两点，/A0B=90,C为该球面上的动点，

若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球。的表面积为（）

A.36nB.64nC.144nD.256n

【答案】C

【解析】如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥ABC的体积最大,

111,

273

VoABC=VCAOB=-x-7?x7?=-7?=36

设球。的半径为R,此时326，故氏=6,则球。的

表面积为S=4万火2=144万，故选c.

c

jr

7.【高考山东，理7】在梯形ABC。中，ZABC=-,AD//BC,BC=2AD=2AB=2.

2

将梯形ABC。绕A。所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()

，、27，、4万，、57

(A)—(B)——(C)—z(D)In

333

【答案】C

【解析】直角梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1,

母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为：

V=。住一%埼=^xl2x2--x^xl2xl=1^,故选C.

8.【高考浙江，理2】某几何体的三视图如图所示(单位：cm),则该几何体的体积是()

3240

A.8cm3B.12cm3C.一cm3D.——cm3

俯视图

【答案】C.

【解析】由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合，如下图所示，•••体积

V=23+“F号

故选c.

L（•湖南卷）一块石材表示的几何体的三视图如图1-2所示，将该石材切削、打磨，加工

成球，则能得到的最大球的半径等于（）

正视图侧视图

7

12

2L

俯视图

图1-2

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

E解析】由三视图可知，石材为一个三棱柱。目对应的长方体的一半），故可知能得到的最大球为三棱柱的内

切球.由题意可知正视图三角形的内切圆的半径即为球的半径，可得.

2.（•全国卷）正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该

球的表面积为（）

81兀27兀

L——B.16JiC.9兀D.——

44

【答案】A

【解析】如图所示，因为正四棱锥的底面边长为2,所以设球心为。，球的半

径为此则施'=4—尼OA=R,又知为直角三角形，根据勾股定理可得，〃2=*+/庆

9，9、28］兀

即用=（4一而?+2,解得A=?所以球的表面积S=4兀4=4兀x|jJ=丁.

3.（•陕西卷）已知底面边长为1,侧棱长为隹的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则

该球的体积为（）

【答案】D【解析】设该球的半径为此根据正四棱柱的外接球的直径长为正四棱柱的体对

角线长，可得（2面2=（明”+俨+匕解得斤=1,所以该球的体积为勺

4.（高考重庆卷）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

正（主）视图侧（左）视图

2

俯视图

560580

A.B.C.200D.240

【答案】：c

【解析】：由三视图可得该几何体是上、下底面均为矩形，左、右侧面均为等腰梯形的多面体，如图所示,

5.（高考广东卷）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（）

14

A.4B.—

O

16

C.-D.6

0

【答案】：B

【解析】：由四棱台的三视图可知，台体上底面积S=1X1=1,下底面积S=2X2=4,高力

=2,代入台体的体积公式K=-（SI+^/STS+^）/?=-X（l+*\/lX4+4）X2=—

«J0J

6.（高考全国新课标卷I）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A.16+8兀

B.8+8兀

C.16+16H

D.8+16兀

【答案】：A

【解析】：根.据三视图可以判断该几何体由上、下两部分组成,其中上面部分为长方体，下面部分为半个圆

柱，所以组合体的体积为2x2x4+炉22兀x4=16+8兀，选择A.

7.（高考陕西卷）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为

俯视图

【答案】：3n

【解析】：由三视图可知，该几何体为半径r=l的半球体，表面积为底面圆面积加上半球面

的面积，所以S=Ji合+2n/=3m.

押题专练

1.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3,则主视图中的x的值是（）

211

主视图左视图

俯视图

93

A.2B."C.~D.3

【答案】D

【解析】由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S底=；（1+2）X2=3.，

=gx・3=3,解得x=3.

2.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）

A.1+73B.2+^3C.1+272D.2^2

【答案】B

【解析】四面体的直观图如图所示.

恻面酎C1底面>15C,且AMC与均为腰长是S的等腰直角三角形，SA=BC=AB=BC=&AC=

2.

设/C的中点为0,连接5。，B0,贝IJ50L1C,又50u平面MC,平面以6平面

.•.501平面4BC,又BOu平面4BC,：.S01B0.

又05=05=1,：.SB=&

故△夕国与均是边长为噌的正三角形，故该四面体的表面积为2xgx/></+2xW

X（隹）2=2+小

3.如图，四棱锥夕一46切的底面26切为平行四边形，NB=2PN,则三棱锥h序，与三棱锥，

一阳。的体积比为（

P

C.1：6D.1：3

【答案】D

【解析】设点P,N在平面ABCD内的投影分别为点P\M,则PP1平面ABCD,1平面ABCD?

所以

则在ABPP中，由皮U2/W得加1二彳

V=^»N-PAC=VV=^»N-ABC

—•PPf一寺SjflC'iWy

二聂皿.（PPr-MV尸骨《BC•gpP，

=§5AJBC,PP',V=»«ij-a«c—r=«（（p-^co—•PP',

又：四边形HBCD是平行四边形，.•.S）BC=SICD,

二六回4故选D.

心榭叩-JMCJ

4.若某一几何体的主视图与左视图均为边长是1的正方形，且其体积为g,则该几何体的俯

视图可以是（）

ABCD

【答案】C

【解析】若俯视图为A,则该几何体为正方体，其体积为1,不满足条件.若俯视图为B,则

该几何体为圆柱，其体积为“（22乂1=亍，不满足条件.若俯视图为C,则该几何体为三棱柱,

1111JI

其体积为］X1X1X1=",满足条件.若俯视图为D,则该几何体为圆柱的山体积为*nXl=w，

不满足条件.

5.