河南省周口市郸城县2023-2024学年九年级下学期4月期中考试数学试题【含答案解析】

2024年河南省中考模拟第一次调研测试数学试题卷注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．1.的相反数是（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可．【详解】解：的相反数是2，故选：B．2.据中科院国家天文台，基于我国郭守敬望远镜和美国APOGEE巡天的观测数据，我国天文学家精确测量了距离银河系中心1.6万光年至8.1万光年范围内的恒星运动速度，并估算出银河系的“体重”约为8050亿个太阳质量，其中数据“8050亿”用科学记数法可表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法表示方法：为整数，进行表示即可．【详解】解：8050亿；故选C．3.下列扑克牌中，牌面是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查中心对称图形，根据中心对称图形的定义：一个图形绕一点旋转180度后，能与自身完全重合，这个图形叫做中心对称图形，进行判断即可．【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、是中心对称图形，符合题意；故选D．4.如图，直线相交于点O，，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查几何图形中角度的计算，对顶角相等，根据垂直，得到，进而求出的度数，根据对顶角相等，即可得出的度数．【详解】解：∵，∴，∴，∴．故选A．5.化简的结果为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查分式的乘法运算，根据乘法法则，约分化简即可．【详解】解：原式；故选C．6.下列说法中，正确的是（）A.不可能事件发生的概率是0B.经过旋转，对应线段平行且相等C.长方体的截面形状一定是长方形D.任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定是50次【答案】A【解析】【分析】本题考查等可能事件的概率，旋转的性质，截一个几何体，根据相关知识点，逐一进行判断即可．【详解】解：A、不可能事件发生的概率是0，故原说法正确；B、经过旋转，对应线段相等但不一定平行，故原说法错误；C、长方体的截面形状不一定是长方形，故原说法错误；D、任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数不一定是50次，故原说法错误；故选A．7.如图所示，在坡角为的山坡上栽树，每相邻两棵树之间的水平距离为4米，那么这两棵树在坡面上的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，在中，利用锐角三角函数进行求解即可．【详解】解：由题意，得：，∴在中，，∴；故选A．8.一次函数图象如图所示，则二次函数的图象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的综合判断，先根据一次函数图象所过象限，判断的符号，进而判断出二次函数的图象即可．【详解】解：∵直线过一，三，四象限，∴，∵，∴抛物线的开口向上，对称轴为轴，与轴交于负半轴，故符合题意的只有选项C；故选C．9.定义新运算：，例如：，则关于x的一元二次方程的根的情况是（）A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有实数根 D.没有实数根【答案】B【解析】【分析】本题考查根的判别式，根据新运算的法则，列出一元二次方程，根据判别式的符号，进行判断即可．【详解】解：由题意，得：，整理，得：，∴，∴方程有两个不相等的实数根；故选B．10.在矩形中（），为对角线，一动点P以每秒1个单位长度，沿方向运动，设动点P的运动时间为x秒，线段的长度为y，则y随x变化的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A. B.C.曲线呈反比例函数模型 D.线段呈一次函数模型【答案】C【解析】【分析】本题考查动点的函数图象问题，从函数图象中有效的获取信息，逐一进行判断即可．【详解】解：由题意和图象得：当点在上运动时，，为正比例函数，当点在上运动时，随的增大而减小，当点到达点时，，即：，此时共用了16秒，∴点运动的总路程为，设长为，则：的长为，∵矩形，∴，∴，∴，解得：，∴，∴，∴，∵，，∴曲线不是双曲线模型，当点在上运动时，此时，∴线段呈一次函数模型；综上，错误的是选项C；故选C．二、填空题（每小题3分，共15分）11.若二次根式有意义，则x的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可．【详解】解：∵二次根式有意义，∴，∴，故答案为：．12.二十四节气是中华民族农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”成如图，小鹏购买了四张形状、大小、质地均相同的“二十四节气”主题邮票，正面分别印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同的图案，背面完全相同，他将四张邮票洗匀后正面朝下放在桌面上．从中随机抽取一张，不放回再从中随机抽取一张，抽到的两张邮票恰好是“立夏”和“秋分”的概率是_________．【答案】【解析】【分析】本题考查列表法或画树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，正确列出表格或画出树状图．根据题意，可以画出相应的树状图表示出所有等可能的结果，再找到抽到的两张邮票恰好是“立夏”和“秋分”的结果，最后根据概率公式计算即可．【详解】解：设立春用A表示，立夏用B表示，秋分用C表示，大暑用D表示，画树状图如下，由图可得，一共有12种等可能性的结果，其中小鹏抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性有2种，∴小鹏抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是．故答案为：．13.如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙角距离CE=5米，窗口高AB=2米，那么窗口底边离地面的高BC=__________米.【答案】####【解析】【分析】【详解】解：∵光是沿直线传播的，

∴AD∥BE，∴△BCE∽△ACD，

∴，即，

解得：BC=．

故答案为．【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，求解即可．14.如图，矩形内接于，分别以为直径向外作半圆，若，则阴影部分的面积为____________．【答案】12【解析】【分析】本题考查求不规则图形的面积，连接，勾股定理求出的长，利用四个半圆的面积加上矩形的面积减去的面积，求解即可．【详解】解：连接，∵矩形内接于，∴，，∴为的直径，，∴阴影部分的面积；故答案为：12．15.在边长为1的等边三角形中，D为直线上一点，，点E在直线上，且，则的长为________．【答案】或3【解析】【分析】分点在线段的延长线和反向延长线上，两种情况进行讨论求解即可，当点在线段的延长线上时，推出为等腰三角形，三角形外角的性质求出，根据等边对等角，推出为含30度角的直角三角形，求出的长，进而求出的长即可，当点在线段的反向延长线上时，过点作，过点作，得到，根据等边三角形和等腰三角形的性质，结合平行线分线段成比例进行求解即可．【详解】解：当点在的延长上时，如图，∵边长为1等边三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；当点在的反向延长上时，如图，过点作，过点作，则：，∵为等边三角形，，∴，∵，∴，∴，∴，∴；综上：或；故答案为：或3．【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，以及平行线分线段成比例，掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．三、解答题（共8个小题，共75分）16.（1）计算：；（2）解方程：．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，先去绝对值，进行零指数幂，特殊角的三角函数值和负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可；（2）本题考查解分式方程，将分式转化为整式方程，求解后，检验即可．【详解】解：（1）原式；（2），去分母，得：，去括号，得：，解得：；经检验，是原方程的解，∴方程的解为：．17.蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万卢提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析，下面给出了部分信息：a．配送速度得分（满分10分）：甲：67788889910乙：778889991010b．服务质量得分统计图（满分10分）：c．配送速度和服务质量得分统计表：项目统计量快递公司配送速度得分服务质量得分平均数中位数平均数中位数甲m877乙7n根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中的值；（2）在甲乙两家快递公司中，如果某公司得分的10个数据的方差越小，则认为种植户对该公司的评价越一致．据此推断；甲、乙两家公司中，种植户对的服务质量的评价更一致（填“甲”或“乙”）；（3）一开始小丽考虑到樱桃保鲜时间短，所以更看重配送速度，从这个角度看，你为小雨推荐的公司为（填“甲”或“乙”）：后来改进了储存技术，在配送速度达到6分及以上的情况下，小丽更看重服务质量的稳定性，从这个角度看，你为小丽推荐的公司为（填“甲”或“乙”）．【答案】（1）（2）甲（3）乙；甲【解析】【分析】本题考查中位数、平均数、方差的定义，掌握中位数、平均数、方差的定义是解题的关键．（1）根据中位数的计算方法确定m的值，然后利用图象得出乙的服务质量得分，再进行排序求中位数即可；（2）根据方差的计算公式分别计算甲乙的服务质量得分的方差，进行比较即可；（3）分别根据平均数、中位数及方差进行决策即可．【小问1详解】解：由题意可得，，由图b得乙的服务质量得分分别为：481069575106，从小到大排序为：455667891010，∴；【小问2详解】由图b得甲的服务质量得分分别为：5667778888，服务质量得分方差分别为：，，∴种植户对甲的服务质量的评价更一致，故答案为：甲；【小问3详解】一开始小丽考虑到樱桃保鲜时间短，所以更看重配送速度，从这个角度看，你为小雨推荐的公司为乙，∵乙的配送速度的平均数及中位数均高于甲，∴选择乙；后来改进了储存技术，在配送速度达到6分及以上的情况下，小丽更看重服务质量的稳定性，由（2）得，∴甲更稳定，故答案为：乙；甲．18.请你完成命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的证明．（提示：证明命题应首先依据命题画出几何图形，再结合几何图形用数学符号语言写出“已知”、“求证”，最后写出证明过程．）【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了命题的证明，中垂线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，先根据题意，画出图形，写出已知和求证，通过构造等边三角形进行证明即可．【详解】解：如图，已知在中，，求证：；证明：延长至点，使，连接，∵，∴，，又∵，∴，∴为等边三角形，∴，∴．19.如图，已知A，B是反比例函数图象上的两点，轴于点C，交于点D，若的面积是的面积的2倍，的面积为，求反比例函数的表达式．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义、相似三角形的判定与性质等知识点．过点作轴于，根据反比例函数的几何意义可得，根据的面积是的面积的2倍，可得，进而可得，然后证明，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可得出的面积，进而可得答案．【详解】解：如图，过点作轴于，已知，是反比例函数图象上的两点，，的面积是的面积的2倍，，，轴，轴，，又，，，，∵的面积为，∴，解得，∴反比例函数解析式为．20.为展青年华彩，丰富校园生活，激发学生英语学习兴趣，某校举办“趣味横声英你精彩”英文合唱比赛．王老师负责本次英文合成比赛的奖品采购，经过调查，选择A奖品为一等奖，B奖品为二等奖，已知购买每件A奖品比每件B奖品贵20元，购买3个A奖品和5个B奖品的价钱相同．（1）求A、B两种奖品的单价；（2）本次英文合唱比赛共需购进A、B两种奖品100个，且一等奖的奖品超过二等奖的奖品的一半，实际购买时A种奖品可打7折，请你帮王老师设计花费最小的购买方案，并求出最小花费．【答案】（1）A、B两种奖品的单价分别为50元，30元（2）当购买A种奖品34个，B种奖品66个时，花费最小，最小为3170元【解析】【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用：（1）设A种奖品的单价为x元，则B种奖品的单价为元，根据购买3个A奖品和5个B奖品的价钱相同列出方程求解即可；（2）设购买A种奖品m个，总费用为w，则购买B种奖品个，先求出，再由一等奖的奖品超过二等奖的奖品的一半，求出，据此利用一次函数的性质求解即可．【小问1详解】解：设A种奖品的单价为x元，则B种奖品的单价为元，由题意得，，解得，∴，答：A、B两种奖品的单价分别为50元，30元；【小问2详解】解：设购买A种奖品m个，总费用为w，则购买B种奖品个，∴，∵一等奖的奖品超过二等奖的奖品的一半，∴，∴，∵，，∴w随m增大而增大，又∵m为正整数，∴当时，w最小，最小值为，此时，∴当购买A种奖品34个，B种奖品66个时，花费最小，最小为3170元．21.如图，是以C为顶点的等腰三角形，以为直径作，交于点D．延长至点E，使得，连接．（1）求证：是的切线；（2）若求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查切线判定，圆周角定理，解直角三角形：（1）等边对等角，结合三角形的内角和定理，求出，即可得证；（2）连接，圆周角定理得到，解直角三角形，分别求出的长，即可．【小问1详解】证明：∵是以C为顶点的等腰三角形，∴，∴，∵，∴∴，又∵，∴，∴，又∵为直径，∴是的切线；【小问2详解】连接，∵为直径，∴，∵，∴，∴，∴，设，则：，∴，∴，∴．22.已知抛物线的顶点为点P，与x轴分别交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C．（1）直接写出点P的坐标为_____；（2）如图，若A、B两点在原点的两侧，且，当时，求y的取值范围．（3）若线段，点Q为反比例函数与抛物线第三象限内的交点，设Q的横坐标为m，当时，请直接写出k的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用：（1）将一般式化为顶点式，写出顶点坐标即可；（2）根据，结合抛物线的对称轴，求出的坐标，进而求出二次函数的解析式，利用二次函数的性质求解即可；（3）根据，结合抛物线的对称轴，求出的坐标，进而求出二次函数的解析式，进而求出和时的值，即可得出结果．【小问1详解】解：∵，∴点坐标为；故答案为：；【小问2详解】设，∵A、B两点在原点的两侧，∵，∵的对称轴为直线，∴，∴，∴，把代入，得：，∴，∴，∵抛物线的开口向