北京市大兴区2024届中考一模数学试题含解析

北京市大兴区重点名校2024年中考一模数学试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，AD为AABC的中线，点E为AC边的中点，连接DE,则下列结论中不一定成立的是（)

、1

C.SACDE=-SAABCD.DE〃AB

4

2.下列各数中，最小的数是（）

A.0B.0C.1D.一万

3.如图，在正方形A5C0中，AB=9f点E在CD边上，且。E=2CE,点P是对角线AC上的一个动点，贝!JPE+PD

的最小值是（）

A.3710B.106C.9D.972

4.下列说法正确的是（）

A.一个游戏的中奖概率是/则做10次这样的游戏一定会中奖

B.为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式

C.一组数据8,8,7,10,6,8,9的众数和中位数都是8

D.若甲组数据的方差S="0.01",乙组数据的方差s=0.1,则乙组数据比甲组数据稳定

5.已知，1+1—,则代数式J”?，+〃2-的值为（）

A.±3B.3C.5D.9

6.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

A.直角梯形B.平行四边形C.矩形D.正五边形

7.uABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（

A.BE=DFB.AE=CFC.AF//CED.ZBAE=ZDCF

8.某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子

的长至少为（）

A.8米B.8百米C.竽米D.芈米

9.在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4,随机地摸出一个小球然后放回，再随机地

摸出一个小球.则两次摸出的小球的标号的和等于6的概率为（）

1131

A.—B.-C.—D.一

168164

10.在RtMBC中，ZC=90\AC=2,下列结论中，正确的是（）

A.AB=2sinAB.AB=2cosA

C.BC=2tanAD.BC-2cotA

11.有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁，任意取出

一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率是（）

1121

A.—B•-C.-D.一

2396

12.如图，以两条直线h,12的交点坐标为解的方程组是（）

x-y=1fx-y=-1fx-y=-1fx-y=1

A.<B.<C.<D.<

2x-y=l[2x-y=-l[2x-y=\[2x-y=­1

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.一元二次方程x-l=x2-1的根是_____.

14.函数丫=立亘的自变量x的取值范围是____.

x—3

15.如图，在正方形ABCD中，BC=2,E、F分别为射线BC,CD上两个动点,且满足BE=CF,设AE,BF交于点

G,连接DG,则DG的最小值为_______.

16.在函数y=U的表达式中，自变量x的取值范围是.

17.用48米长的竹篱笆在空地上，围成一个绿化场地，现有两种设计方案，一种是围成正方形的场地;另一种是围成圆形场

地.现请你选择，围成（圆形、正方形两者选一）场在面积较大.

18.若点（。，1）与（-2,b）关于原点对称，则/=.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）按要求化简：（a-1）+《二L组1,并选择你喜欢的整数a,b代入求值.

a+1

小聪计算这一题的过程如下：

解：原式=（a-1）+俗+1）,，1）...①

ab2

=(a-1)…②

(a+l)(a—1)

贮…③

a+1

当a=l,b=l时，原式=L…④

2

以上过程有两处关键性错误，第一次出错在第步（填序号），原因：；

还有第步出错（填序号），原因：.

请你写出此题的正确解答过程.

20.（6分）关于x的一元二次方程ax2+bx+l=L当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；若方程有两个相

等的实数根，写出一组满足条件的a,b的值，并求此时方程的根.

21.（6分）在某校举办的2012年秋季运动会结束之后，学校需要为参加运动会的同学们发纪念品.小王负责到某

商场买某种纪念品，该商场规定：一次性购买该纪念品200个以上可以按折扣价出售；购买200个以下（包括200

个）只能按原价出售.小王若按照原计划的数量购买纪念品，只能按原价付款，共需要1050元；若多买35个，

则按折扣价付款，恰好共需1050元.设小王按原计划购买纪念品x个.

（1）求x的范围；

（2）如果按原价购买5个纪念品与按打折价购买6个纪念品的钱数相同，那么小王原计划购买多少个纪念品？

22.(8分)为了弘扬学生爱国主义精神，充分展现新时期青少年良好的思想道德素质和精神风貌，丰富学生的校园生

活，陶冶师生的情操，某校举办了“中国梦•爱国情•成才志”中华经典诗文诵读比赛.九(1)班通过内部初选，选出了丽

丽和张强两位同学，但学校规定每班只有1个名额，经过老师与同学们商量，用所学的概率知识设计摸球游戏决定谁

去，设计的游戏规则如下：在A、B两个不透明的箱子分别放入黄色和白色两种除颜色外均相同的球，其中A箱中放

置3个黄球和2个白球：B箱中放置1个黄球，3个白球，丽丽从A箱中摸一个球，张强从B箱摸一个球进行试验，

若两人摸出的两球都是黄色，则丽丽去；若两人摸出的两球都是白色，则张强去；若两人摸出球颜色不一样，则放回

重复以上动作，直到分出胜负为止.

根据以上规则回答下列问题：

(1)求一次性摸出一个黄球和一个白球的概率；

(2)判断该游戏是否公平？并说明理由.

23.(8分)已知开口向下的抛物线丫=2*2.22*+2与y轴的交点为A,顶点为B,对称轴与x轴的交点为C,点A与点

D关于对称轴对称，直线BD与x轴交于点M,直线AB与直线OD交于点N.

⑴求点D的坐标.

⑵求点M的坐标(用含a的代数式表示).

(3)当点N在第一象限，且NOMB=NONA时，求a的值.

5-

4-

3-

2-

1_

-5-4-3-2-1012345x

-1-

-2-

-3-

-4_

-5-

24.(10分)AABC中，AB=AC,D为BC的中点，以D为顶点作NMDN=NB.

DM交AC边于点E,不添加辅助线，写出图中所有与AADE相似的三角形.如图(2),将NMDN绕点D沿逆时针

方向旋转，DM,DN分别交线段AC,AB于E,F点(点E与点A不重合)，不添加辅助线，写出图中所有的相似三

角形，并证明你的结论.在图（2）中，若AB=AC=10,BC=12,当△DEF的面积等于AABC的面积的,时，求线段

4

EF的长.

25.（10分）请根据图中提供的信息，回答下列问题：

nnn

))甘日日日一个水瓶与一个水杯分别是多少元？甲、乙两家商场同时

152元

出售同样的水瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打八折；乙商场规定:

买一个水瓶赠送两个水杯，另外购买的水杯按原价卖.若某单位想要买5个水瓶和〃且“为整数）个水杯，

请问选择哪家商场购买更合算，并说明理由.（必须在同一家购买）

26.（12分）在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进

行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：频数分布表中。=—，b=—,

并将统计图补充完整；如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多

少人？已知第一组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体

会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？

分组频数频率

第一组(0<x<15)30.15

第二组(15<x<30)6a

第三组(30<x<45)70.35

第四组(45<x<60)b0.20

27.（12分）某校九年级数学测试后，为了解学生学习情况，随机抽取了九年级部分学生的数学成绩进行统计，得到

相关的统计图表如下.

成绩/分120-111110-101100-9190以下

成绩等级ABCD

请根据以上信息解答下列问题:

（1）这次统计共抽取了名学生的数学成绩，补全频数分布直方图;

（2）若该校九年级有1000名学生，请据此估计该校九年级此次数学成绩在B等级以上（含B等级）的学生有多少人？

（3）根据学习中存在的问题，通过一段时间的针对性复习与训练，若A等级学生数可提高40%,B等级学生数可提

高10%,请估计经过训练后九年级数学成绩在B等级以上（含B等级）的学生可达多少人？

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、A

【解题分析】

根据三角形中位线定理判断即可.

【题目详解】

TAD为△ABC的中线，点E为AC边的中点，

11

.,.DC=-BC,DE=-AB,

22

VBC不一定等于AB,

；.DC不一定等于DE,A不一定成立；

.*.AB=2DE,B一定成立；

SACDE=_SAABC>C一定成立；

4

DE/7AB,D一定成立；

故选A.

【题目点拨】

本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键.

2、D

【解题分析】

根据实数大小比较法则判断即可.

【题目详解】

FV0V1V夜，

故选D.

【题目点拨】

本题考查了实数的大小比较的应用，掌握正数都大于0,负数都小于0,两个负数比较大小，其绝对值大的反而小是解

题的关键.

3^A

【解题分析】

解：如图，连接8E,设BE与AC交于点P,•四边形ABC。是正方形，，点〃与。关于4C对称，.•.尸力=/3,

...「少+尸石二尸中+产后二^“最小.即尸在4c与8E的交点上时,PO+PE最小，为8E的长度...•直角△C5E中，N8CE=90。,

BC=9,CE=；CD=3,BE=792+32=3V10.故选A.

点睛：此题考查了轴对称--最短路线问题，正方形的性质，要灵活运用对称性解决此类问题.找出P点位置是解题

的关键.

4,C

【解题分析】

众数，中位数，方差等概念分析即可.

【题目详解】

A、中奖是偶然现象，买再多也不一定中奖，故是错误的；

B、全国中学生人口多，只需抽样调查就行了，故是错误的；

C、这组数据的众数和中位数都是8,故是正确的；

D、方差越小越稳定，甲组数据更稳定，故是错误.故选C.

【题目点拨】

考核知识点：众数，中位数，方差.

5、B

【解题分析】

由已知可得：根+〃=2,mn=(1+J5)(l——1»J病+"一3nm=\j(m+-5m〃•

【题目详解】

由已知可得：m+n=2,mn=(1+x^)(l-V2)=-1,

2

原式=«m+n)2-5nm=^2-5x(-1)=囱=3

故选：B

【题目点拨】

考核知识点：二次根式运算.配方是关键.

6、D

【解题分析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合矩形、平行四边形、直角梯形、正五边形的性质求解.

详解：A.直角梯形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；

B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

C.矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；

D.正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确.

故选D.

点睛：本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合;

中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180。后与原图形重合.

7,B

【解题分析】

【分析】根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得.

【题目详解】A、如图，1•四边形ABCD是平行四边形，；.OA=OC,OB=OD,

有VBE=DF,.-.OE=OF,二四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；

B、如图所示，AE=CF,不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意；

C、如图，•.•四边形ABCD是平行四边形，.,.OA=OC,

VAF//CE,:.NFAO=NECO,

XVZAOF=ZCOE,.♦.△AOF丝△COE,，AF=CE,

:.AFLLCE,.•.四边形AECF是平行四边形，故不符合题意;

D、如图，二•四边形ABCD是平行四边形，/.AB=CD,AB//CD,

:.ZABE=ZCDF,

XVZBAE=ZDCF,.'.△ABE^ACDF,，AE=CF,ZAEB=ZCFD,AZAEO=ZCFO,

.*.AE//CF,

.,.AE//CF,.•.四边形AECF是平行四边形，故不符合题意，

【题目点拨】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键.

8,C

【解题分析】

此题考查的是解直角三角形

•••梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能>60。.

ZABC<60°,最大角为60。.

.AC_48有-8用

••^■sinB-sinSO--当乂"3'

即梯子的长至少为斗米，

故选C.

9、C

【解题分析】

列举出所有情况，看两次摸出的小球的标号的和等于6的情况数占总情况数的多少即可.

解:

共16种情况，和为6的情况数有3种，所以概率为三.

16

故选C.

10、C

【解题分析】

直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案.

【题目详解】

•••4=90°,AC=2,

2

AB~AB

2

AB-

cosA

故选项A,B错误,

..4BCBC

.tanA------

AC

二BC=2tanA,

故选项C正确；选项D错误.

故选C.

此题主要考查了锐角三角函数关系，熟练掌握锐角三角函数关系是解题关键.

11、B

【解题分析】

解：将两把不同的锁分别用A与8表示，三把钥匙分别用A,8与C表示，且A钥匙能打开A锁，8钥匙能打开3

锁，画树状图得：

开始

钥匙ABCABC

•••共有6种等可能的结果，一次打开锁的有2种情况，.•.一次打开锁的概率为：故选B.

点睛：本题考查的是用列表法或树状图法求概率.注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，

列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比.

12、C

【解题分析】

两条直线的交点坐标应该是联立两个一次函数解析式所组成的方程组的解.因此本题需先根据两直线经过的点的坐标,

用待定系数法求出两直线的解析式.然后联立两函数的解析式可得出所求的方程组.

【题目详解】

直线h经过(2,3)、(0,-1),易知其函数解析式为y=2x-l；

直线12经过(2,3)、(0,1),易知其函数解析式为y=x+l：

x-y=-1

因此以两条直线h,12的交点坐标为解的方程组是：,一

2x-y=l

故选c.

【题目点拨】

本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函

数解析式.函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、x=()或x=l.

【解题分析】

利用因式分解法求解可得.

【题目详解】

V(x-1)-(x+l)(x-1)=0,

(x-1)(1-x-1)=0,即-x(x-1)=0,

则x=0或x=l,

故答案为：x=0或x=l.

【题目点拨】

本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公

式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

1r

14、x>-----且x#l

2

【解题分析】

分析：根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式求解即可.

详解：根据题意得2x+l>0,x-1和，

解得*之-,且对1.

2

故答案为xN-L且对1.

2

点睛：本题主要考查了函数自变量的取值范围的确定，根据分母不等于0,被开方数大于等于0列式计算即可，是基

础题，比较简单.

15、75-1

【解题分析】

先由图形确定：当O、G、D共线时，DG最小；根据正方形的性质证明△ABEgZkBCF(SAS),可得NAGB=90。，

利用勾股定理可得OD的长，从而得DG的最小值.

【题目详解】

在正方形ABCD中，AB=BC,ZABC=ZBCD,

在AABE^DABCF中，

AB=BC

<ZABC=NBCD,

BE=CF

...AABE^ABCFCSAS),

.,.ZBAE=ZCBF,

VZCBF+ZABF=90°

ZBAE+ZABF=90°

:.ZAGB=90°

...点G在以AB为直径的圆上，

由图形可知：当O、G、D在同一直线上时，DG有最小值，如图所示：

,正方形ABCD,BC=2,

.••AO=1=OG

.,.OD=V5»

-,.DG=x/5-b

故答案为逐T.

【题目点拨】

本题考查了正方形的性质与全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握正方形的性质与全等三角形的判定与

性质.

16^x>l.

【解题分析】

根据被开方数大于等于0列式计算即可得解.

【题目详解】

根据题意得，X-1>0,

解得xNL

故答案为后1.

【题目点拨】

本题考查函数自变量的取值范围，知识点为：二次根式的被开方数是非负数.

17、圆形

【解题分析】

根据竹篱笆的长度可知所围成的正方形的边长，进而可计算出所围成的正方形的面积；根据圆的周长公式，可知所围

成的圆的半径，进而将圆的面积计算出来，两者进行比较.

【题目详解】

围成的圆形场地的面积较大.理由如下：

设正方形的边长为a,圆的半径为R,

•••竹篱笆的长度为48米，

/.4a=48,则a=L即所围成的正方形的边长为1；2KXR=48,

2424

.•.R=一，即所围成的圆的半径为一，

冗冗

2

...正方形的面积SI$2二144,圆的面积S2=TTX（一）=----,

7C71

576

V144<——,

71

・••围成的圆形场地的面积较大.

故答案为：圆形.

【题目点拨】

此题主要考查实数的大小的比较在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学.

1

18、一.

2

【解题分析】

•.•点（a,1）与（-2,b）关于原点对称，，b=-l,a=2,，/=2T=L.故答案为

22

考点：关于原点对称的点的坐标.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、①，运算顺序错误；④，a等于1时，原式无意义.

【解题分析】

Z7~_1

由于乘法和除法是同级运算，应当按照从左向右的顺序计算，①运算顺序错误；④当。=1时，生」等于0,原式无

意义.

【题目详解】

①运算顺序错误；

故答案为①，运算顺序错误；

/—I

④当a=l时，-_i•等于0,原式无意义.

。+1

故答案为a等于1时，原式无意义.

/\Q一一1Q+]

（〃一1）+--y,

a+\ah

/\。+1〃+1

_Q+1

ab2,

2+13

当。=21=1时，原式=上==3.

2xl22

【题目点拨】

本题考查了分式的化简求值，注意运算顺序和分式有意义的条件.

20、(2)方程有两个不相等的实数根；(2)b=-2,a=2时，X2=X2=-2.

【解题分析】

分析：(2)求出根的判别式△=〃一4"，判断其范围，即可判断方程根的情况.

(2)方程有两个相等的实数根，则A=〃_4ac=0,写出一组满足条件的。，匕的值即可.

详解：(2)解：由题意：QHO.

V△=Z?2—4ac=(a+2y—4a-a2+4>0,

原方程有两个不相等的实数根.

(2)答案不唯一，满足从—4ac=0(«*0)即可，例如：

解：令a=I,b=—2,则原方程为/一2》+1=0，

解得：X]=W=1.

点睛：考查一元二次方程加+hx+c=0(。。0)根的判别式△=—4ac，

当△="-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根.

当△=-4ac=0时，方程有两个相等的实数根.

当』=〃一4。。<0时，方程没有实数根.

21、(1)0<x<200,且x是整数(2)175

【解题分析】

(1)根据商场的规定确定出x的范围即可;

(2)设小王原计划购买x个纪念品，根据按原价购买5个纪念品与按打折价购买6个纪念品的钱数相同列出分式方程,

求出解即可得到结果.

【题目详解】

(1)根据题意得：()VxS200,且x为整数;

(2)设小王原计划购买x个纪念品,

1050

根据题意得:瞥5x6,

Xx+35

整理得：5x+175=6x,

解得：x=175,

经检验x=175是分式方程的解，且满足题意,

则小王原计划购买175个纪念品.

【题目点拨】

此题考查了分式方程的应用，弄清题中的等量关系“按原价购买5个纪念品与按打折价购买6个纪念品的钱数相同”

是解本题的关键.

22、(1)工：(2)不公平，理由见解析.

【解题分析】

(1)画树状图列出所有等可能结果数，找到摸出一个黄球和一个白球的结果数，根据概率公式可得答案；

(2)结合(1)种树状图根据概率公式计算出两人获胜的概率，比较大小即可判断.

【题目详解】

(1)画树状图如下：

由树状图可知共有20种等可能结果，其中一次性摸出一个黄球和一个白球的有11种结果，

一次性摸出一个黄球和一个白球的概率为二；

20

(2)不公平，

由(1)种树状图可知，丽丽去的概率为之，张强去的•概率为二=之，

202010

•2010,

...该游戏不公平.

【题目点拨】

本题考查了列表法与树状图法，解题的关键是根据题意画出树状图.

23、(1)D(2,2)；(2)-■!，())；(3)1-72

【解题分析】

⑴令x=0求出A的坐标，根据顶点坐标公式或配方法求出顶点B的坐标、对称轴直线，根据点A与点D关于对称轴

对称，确定D点坐标.

⑵根据点B、D的坐标用待定系数法求出直线BD的解析式，令y=0,即可求得M点的坐标.

(3)根据点A、B的坐标用待定系数法求出直线AB的解析式，求直线OD的解析式，进而求出交点N的坐标，得到

ON的长.过A点作AE_LOD,可证△AOE为等腰直角三角形，根据OA=2,可求得AE、OE的长，表示出EN的长.

根据tan/OMB=tan/ONA,得到比例式，代入数值即可求得a的值.

【题目详解】

(1)当x=o时，y=2,

.•.A点的坐标为(0,2)

Vy—ax2—2ar+2=a(x—I]+2—a

二顶点B的坐标为:(1,2-a),对称轴为x=L

V点A与点D关于对称轴对称

•••D点的坐标为：(2,2)

(2)设直线BD的解析式为：y=kx+b

把B(1,2-a)D(2,2)代入得：

2-a=k+bk=a

｛cc,,，解得：Lcc

2=2k+bb=2—2a

二直线BD的解析式为：y=ax+2-2a

2

当y=0时，ax+2-2a=0,解得：x=2-----

a

••.M点的坐标为：R—2,o

\a)

(3)由D(2,2)可得：直线OD解析式为：y=x

设直线AB的解析式为y=mx+n,代入A(0,2)B(1,2-a)可得：

n=2m--a

｛0解得：｛c

m+n=2-an=2

，直线AB的解析式为y=-ax+2

2

X—

联立成方程组：｛.y=xc,解得：｛:

y=-ax-v22

y~7

a+\

22

・・・N点的坐标为：(-——)

a+1Q+1

l2

ON=V2(——)

Q+1

过A点作AE_LOD于E点，则△AOE为等腰直角三角形.

VOA=2

.,.OE=AE=V2»EN=ON-OE=V2=

'Q+1Q+1

VMl2--|,oj,C(1,O),B(1,2-a)

c21a-2

・・MC=2-----1=--------,BE=2-a

aa

VZOMB=ZONA

，tanNOMB=tanZONA

.AE_BE

"~EN~'CM

解得：a=1+5/2或a=1—V2

•・•抛物线开口向下，故avO,

:.a=l+V^舍去，a—1—V2

【题目点拨】

本题是一道二次函数与一次函数及三角函数综合题，掌握并灵活应用二次函数与一次函数的图象与性质，以及构建直

角三角形借助点的坐标使用相等角的三角函数是解题的关键.

24、(1)△ABD,AACD,△DCE(2)△BDF^>ACED<^ADEF,证明见解析；(3)4.

【解题分析】

(1)根据等腰三角形的性质以及相似三角形的判定得出△ADEs^ABDs/iACDsZiDCE,同理可得：

△ADEs^ACD.AADE^ADCE.

RDr)F

(2)利用已知首先求出NBFD=NCDE,即可得出△BDFs^CED,再利用相似三角形的性质得出叱=士工，从而

CEED

得出△BDF<^ACED<^ADEF.

(3)利用△DEF的面积等于△ABC的面积的求出DH的长，从而利用九DEF的值求出EF即可

4

【题目详解】

解：(1)图(1)中与△ADE相似的有△ABD,AACD,ADCE.

(2)△BDF^ACED^ADEF,证明如下：

VZB+ZBDF+ZBFD=30°,ZEDF+ZBDF+ZCDE=30°,

又,.・NEDF=NB,

.\ZBFD=ZCDE.

VAB=AC,

AZB=ZC.

/.△BDF^ACED.

.BDDF

**CE-ED'

VBD=CD,

.CDDFRnCDCE

CEEDDFED

又：NC=NEDF,

.'.△CED^ADEF.

:.ABDF^ACED^ADEF.

(3)连接AD,过D点作DGLEF,DH_LBF,垂足分别为G,H.

VAB=AC,D是BC的中点,

AAD±BC,BD=-BC=1.

2

在RtAABD中，AD12=AB2-BD2,BPAD2=102-3,

AAD=2.

.11

・・SAABC=-*BC*AD=—x3x2=42,

22

11

SADEF=-SAABC=—x42=3.

44

又V-»AD«BD=-・AB・DH,

22

...2DH=-A-D--B-D=-8-x-6=—24.

AB105

,/△BDF^ADEF,

.*.ZDFB=ZEFD.

VDH±BF,DG±EF,

.,.ZDHF=ZDGF.

又TDF=DF,

.,.△DHF^ADGF(AAS).

24

.,.DH=DG=—.

5

1124

VSADEF=-EFDG=-EF•一=3,

225

.,.EF=4.

【题目点拨】

本题考查了和相似有关的综合性题目，用到的知识点有三角形相似的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的

运用，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，要仔细观察图形、选择合适的判定方法，

注意数形结合思想的运用.

25、(1)一个水瓶40元，一个水杯是8元；(2)当10V"V25时，选择乙商场购买更合算.当">25时，选择甲商场

购买更合算.

【解题分析】

(1)设一个水瓶x元