经济类专业学位联考综合能力数学基础（概率论）模拟试卷1（共206题）

经济类专业学位联考综合能力数学基础（概率论）模拟试卷1（共8套）（共206题）经济类专业学位联考综合能力数学基础（概率论）模拟试卷第1套一、单项选择题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)1、对于任意两个事件A和B，与A∪BB不等价的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：A∪BB即A+B=B，知A．将A=Ω－B不等价，故选D．2、设A，B为随机事件，且P(B)＞0，P(A|B)=1，则必有()．A、P(A∪B)＞P(A)B、P(A∪B)＞P(B)C、P(A∪B)=P(A)D、P(A∪B)=P(B)标准答案：C知识点解析：由乘法公式和加法公式，有P(AB)=P(B)P(A|B)=P(B)，P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)=P(A)，故选C．3、袋内有n个球(n－1个白球，1个红球)，n个人依次从袋中随机地无放回地抽取1个球，则第k个人取到红球的概率为()．A、k／nB、(k－1)／nC、2／nD、1／n标准答案：D知识点解析：设事件Ai={第i个人取到红球)，则Ak=Ak，有P(Ak)故选D．4、设工fA和工fB的产品次品率分别为1％和2％，现从由工fA和工fB的产品分别占60％和40％的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属工fA的产品的概率是()．A、2／7B、3／7C、1／2D、2／3标准答案：B知识点解析：设事件A={该产品为工fA的产品}，B={该产品为工fB的产品}，C={抽取的产品为次品}．则P(A)=0．6，P(B)=0．4，P(C|A)=0．01，P(C|B)=0．02，由贝叶斯公式有故选B．5、设F(x)为随机变量X的分布函数，则F(x)为()．A、偶函数B、奇函数C、单调不减函数D、连续函数标准答案：C知识点解析：选项C，由定义式F(x)=P{X≤x}，知随着x的增大，事件{X≤x}所占有的样本区间(－∞，x]也越大，因此F(x)的取值也会增大，因此F(x)是单调增加的函数，但并非严格意义上的单调增加，它的函数曲线y=F(x)也可能会有水平的线段，故称为单调不减函数．选项A，B，由函数F(x)的单调性及F(x)=0，F(x)=1，知F(x)不可能为偶函数和奇函数．选项D，F(x)的连续性与随机变量的类型相关，仅当X为连续型随机变量时，F(x)在(－∞，+∞)内连续．故选C．6、设连续型随机变量X的密度函数和分布函数分别为f(x)与F(x)，若X与－X有相同的分布函数，则()．A、F(x)=F(－x)B、F(x)=－F(－x)C、f(x)=f(－x)D、f(x)=－f(－x)标准答案：C知识点解析：选项C，由题设，X与－X有相同的分布函数，即P{X≤x}=P{－X≤x}=P{X≥－x}=1－P{X＜－x}，从而有F(x)=1－F(－x)，因此两边求导，有f(x)=F’(x)=[1－F(－x)]’=－f(－x)(－x)’=f(－x)．故选C．7、已知离散型随机变量X的分布律为P{X=k)=1／3pk(k=0，1，…)，则p=()．A、2／3B、1／2C、1／3D、1／4标准答案：A知识点解析：一般地，若随机变量的取值点(即正概率点)为xi(i=1，2，…)，则P{X=xi}=pi(i=1，2，…)为X的分布律的充分必要条件是：pi＞0(i=1，2，…)且pi=1．因此有解得p=2／3，故选A．8、设口袋中有5个球，其中有3个黑球，从中有放回地取出1个，连取3次，随机变量X表示3次取球中出现黑球的次数，令p=0．6，则X的概率分布为()．A、P{X=k}=C2k－1(1－p)3－kpk，k=0，1，2，3B、P{X=k}=C3kC23－k／C53，k=1，2，3C、P{X=k}=C3kpk(1－p)3－k，k=0，1，2，3D、P{X=k)=pk(1－p)3－k，k=0，1，2，3标准答案：C知识点解析：选项C，有放回的取出1个球，连取3次，为伯努利试验，3次出现X次黑球，服从二项分布，因此概率分布为P{X=k)=C3kpk(1－p)3－k，k=0，1，2，3．选项A，从分布P{X=k}=!C2k－1(1－p)3－kpk，k=1，2，3的结构看，表示第3次取球，恰好出现X次黑球的概率，应该是二项分布和几何分布复合概型，与题意不符．选项从分布P{X=k}=C3kC23－k／C53，k=1，2，3的结构看，表示一次性从袋中取出3个球，其中恰好有X个黑球的概率，应该是超几何分布概型，与题意不符．选项D，从分布P{X=k}=pk(1－p)3－k，k=0，1，2，3的结构看，表示有放回的取出1个球，连取3次，出现一个恰好有X个黑球组合的概率，只是整个事件中一个局部，与题意不符．故选C．9、设随机变量X服从[－1，3]上的均匀分布，若P{x≤a}=1／2，则a=()．A、0B、1C、2D、3标准答案：B知识点解析：由于X服从[－1，3]上的均匀分布，因此，X的密度函数为于是，若a≤－1，则P{X≤a}=0，若a≥3，则P{X≤a}=1，所以－1＜a＜3，从而P{X≤a}=∫－1a1／4dx==1／2，解得a=1，故选B．10、设X为做一次某项随机试验A成功的次数，若P(A)=p(p＞0)，则EX=()．A、1－pB、pC、(1－p)pD、0标准答案：B知识点解析：由题设，X服从参数为p的0—1分布，即因此EX=0．(1－p)+1．p=p，故选B．11、已知随机变量X，Y相互独立，且都服从泊松分布，又知EX=2，EY=3，则随机变量X+Y()．A、服从参数为5的泊松分布B、服从参数为3的泊松分布C、服从参数为2的泊松分布D、未必服从泊松分布标准答案：A知识点解析：根据泊松分布的参数和其数字特征的关系，随机变量X，Y分别服从参数为2和3的泊松分布，又根据泊松分布的性质，在相互独立的条件下，同服从泊松分布的随机变量X，Y之和也服从泊松分布，其分布参数为两随机变量分布参数之和，即X+Y服从参数为5的泊松分布，故选A．12、设随机变量X的密度函数为则EX=()．A、0B、1C、πD、不存在标准答案：D知识点解析：由于EX=∫－∞+∞xf(x)dx不存在，故选D．13、随机变量X服从正态分布N(1，4)，Y=1－2X，则Y的密度函数φY(y)=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：若随机变量X服从正态分布N(1，4)，则X的线性函数Y=1－2X仍服从正态分布，且EY=1－2EX=－1，DY=D(1－2X)=4DX=16，从而有Y～N(－1，42)，因此Y的密度函数为故选B．14、已知EX=－1，DX=3，则E[3(X2－2)]=()．A、9B、6C、30D、36标准答案：B知识点解析：由关系式E(X2)=DX+(EX)2，可得E[3(X2－2)]=3E(X2)－6=3[DX+(EX)2]－6=3×4－6=6．故选B．二、计算题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)15、某人只知电话号码的最后一个数字是偶数，但忘记具体的数字，因而任意按最后一个数，试求不超过三次能打通电话的概率．标准答案：设B={不超过三次能打通电话}，Bi={第i次能打通电话)，i=1，2，3．则B=B1+B2+B3，知识点解析：暂无解析16、每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取1件，如检验出是次品，则认为该箱产品不合格而拒收．假设由于检验有误，将1件正品误认为次品的概率为2％，1件次品被漏查而判为正品的概率为5％，试求一箱产品通过验收的概率．标准答案：设Ai(i=0，1，2)为箱中有i个次品，B为一箱产品通过验收，B1为抽取正品，于是有P(Ai)=1／3(i=0，1，2)，P(B1|Ai)=P(B|B1)=0．98，P(B|)=0．05，从而有P(B1)=P(B1A0+B1A1+B1A2)P()=1－P(B1)=0．1．因此P(B)=P(BB1+B)=P(B1)P(B|B1)+P()=0．887．知识点解析：暂无解析离散型随机变量X的分布函数为求：17、X的分布阵；标准答案：分布函数的分段点即为离散型随机变量的正概率点，则由题意易知，正概率点为－0．5，1，4，且P{X=－0．5}=F(－0．5)－F(－0．5－0)=0．3，P{X=1}=F(1)－F(1－0)=0．5，P{X=4}=F(4)－F(4－0)=0．2，故知识点解析：暂无解析18、P{X≤3．2}；标准答案：P{X≤3．2}=F(3．2)=0．8，或P{X≤3．2}=P{X=－0．5}+P{X=1}=0．8．知识点解析：暂无解析19、方程x2+Xx+1=0有实根的概率．标准答案：方程x2+Xx+1=0有实根，即X2－4≥0，从而有P{X2－4≥0}=P{X≤－2}+P{X≥2}=F(－2)+1－F(2－0)=0+1－0．8=0．2．知识点解析：暂无解析20、在“投掷硬币”的试验中，若引入变量X表示“每次出现正面的次数"，试求随机变量X的分布列和分布函数，并给出分布函数F(x)的图形．标准答案：随机变量X取值为0，1，由于每次投掷出现正面和反面的机会均等，故P{X－0)=P{X=1}=1／2，其分布列为又当x＜0时，F(x)=P{X≤x}=0，当0≤x＜1时，F(x)=P(X≤x}=P{X=0}=1／2，当x≥1时，F(x)=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1}==1．综上，X的分布函数为分布函数F(x)的图形如图3—8—3所示．知识点解析：暂无解析21、设两个随机变量X与Y分布相同，X的密度函数为已知事件A=X＞a和事件B=“Y＞a”相互独立，且P(A+B)=3／4．求常数a的值．标准答案：因X与Y分布相同，即有相同的密度函数，且P(A)=P(B)，相互独立．于是P(A+B)=P(A)+P(B)－P(A)P(B)=2P(A)－P2(A)=3／4，解得P(A)=1／2(P(A)=3／2＞1舍去)．由X的密度函数计算P(A)=P{X＞a}，先要确定a的取值范围．若a≥2，则P{X＞a}=0，与P(A)=1／2矛盾；若a≤0，则P{X＞a}=1，与P(A)=1／2矛盾．故0＜a＜2，因此P(A)=P{X＞a}=∫a2x2dx=1－a3=1／2，解得a=．知识点解析：暂无解析22、在半径为R，中心在坐标原点的圆周上随机地投掷一点，求该点横坐标X的密度函数fX(x)．标准答案：如图3—8—5所示，由对称性，只考虑y≥0的情况．依题设，投掷点应均匀分布在圆周上．若设投掷点A与x轴正向夹角为θ，则θ在[0，π]上服从均匀分布，于是θ的密度函数为且有X=Rcosθ．由于|X|≤R，因此，当x＜－R时，RX(x)=P{X≤x}=0；当x＞R时，RX(x)=P{X≤x}=1；当－R≤x≤R时，有RX(x)=P{X≤x}=P{Rcosθ≤x}知识点解析：暂无解析23、袋中有若干个白球和黑球，且白球和黑球数都不小于4．若从中取出1个球，取出白球数的期望为a，若取出4个球，求取到白球数的期望．标准答案：不妨设袋中有m个白球n个黑球(m≥4，n≥4)，并设所取4个球分4次取出，每次取1个，其中共取出白球数为X．记根据“抽签原理”，每次取到白球的概率与抽取次序无关，因此，Xi的概率分布为显然有EX1=EX2=EX3=EX4=于是，从袋中取出1个球，取出白球数的期望即为EXi==a，i=1，2，3，4，则取出4个球，取到白球数的期望为EX=E(X1+X2+X3+X4)=EX1+EX2+EX3+EX4=即EX=4a．知识点解析：暂无解析24、已知随机变量X的概率分布P{X=k)=1／2k(k=1，2，…)，设Y=sinπ／2X，求EY，DY．标准答案：先求Y可能取的正概率点，有DY=E(Y2)－(EY)2知识点解析：暂无解析25、某系统以串联方式装有两个电子元件，每个元件无故障工作时间分别为X1，X2，且同服从参数为λ的指数分布，求该系统无故障工作时间的数学期望．标准答案：依题设，随机变量X1，X2相互独立，且分布函数同为串联结构下，系统无故障工作时间为T=min{X1，X2}，于是，T的分布函数为Ф(t)=P{min{X1，X2}≤t}=1－P{min(X1，X2}＞t}=1－P{X1＞t，X2＞t}=1－P{X1＞t}P{X2＞t}=1－[－1－F(t)]2=1－e－2λt，可知，T服从参数为2λ的指数分布．由此得ET=1／2λ．知识点解析：暂无解析26、设随机变量X的密度函数为求随机变量的数学期望和方差．标准答案：本题是随机变量函数的数学期望的计算题．其中X为连续型随机变量，Y为离散型随机变量，因此，计算可以从两个不同角度入手，一种是将Y=f(X)看作连续型随机变量函数，运用公式计算；另一种是将本题看作求离散型随机变量的数字特征，由定义计算．具体求解如下：解法1运用连续型随机变量函数的数学期望公式，得EY=∫－∞+∞y(x)f(x)dxE(Y2)=∫－∞+∞y2(x)f(x)dxDY=E(Y2)－(EY)2解法2按照离散型随机变量的数字特征的计算步骤进行．首先计算Y的分布阵，对于Y的取值点由题设，有P{Y=0}=P{X＜1／2}=∫－∞1／2f(x)dx=∫01／21／2dx=1／4，P{Y=1}=P{1／2≤X＜2}=∫1／22f(x)dxDY=E(Y2)－(EY)2=－1=1／2．知识点解析：暂无解析经济类专业学位联考综合能力数学基础（概率论）模拟试卷第2套一、单项选择题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)1、设A和B是任意两个事件，则下列事件中与事件相等的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：通过事件的恒等运算，将化简，即由知该事件与事件相等，故选A．2、假设事件A，B满足P(B|A)=1，则()．A、A是必然事件B、P(B|)=0C、A包含事件BD、P(A－B)=0标准答案：D知识点解析：推断可采用三种方法：解法1直接法．由P(B|A)=1，有P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)，从而有P(A－B)=P(A)－P(AB)=P(A)－P(A)=0．故选D．解法2排除法．反例，若设事件A={取－等品}，B={取一等品或二等品，统称合格品}，现任取1件产品，若已知为一等品，则该产品必为合格品，即有P(B|A)=1，但A并非必然事件，A也不包含事件B，且P(B|)≠0，因此，应选D．解法3图解法．如图3一7一2所示，A发生，则B必发生．显然，选项A，B，C不正确，故选D．3、n张奖券中含有m张有奖的，k个人购买，每人一张，其中至少有一个人中奖的概率为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：n张奖券，k个人购买，每人一张，是一个组合问题，共有Cnk种组合方式，即总样本点数为Cnk．其中至少有一个人中奖即为所有人都不中奖的对立事件，后者事件意味着抽取的k张奖券均取自n－m张不含奖部分，因此，所含的样本点数为Cn－mk，所以，其中至少有一个人中奖的概率为故选A．4、设f(x)为连续型随机变量X的密度函数，则()．A、f(x)可以是奇函数B、f(x)可以是偶函数C、f(x)是连续函数D、f(x)可以是单调增加函数标准答案：B知识点解析：构成连续型随机变量X的密度函数f(x)，只需满足两个条件：一是非负性，f(x)≥0；二是∫－∞+∞f(x)dx=1．在这两个条件下，对f(x)的函数类型没有特别限定．选项A，依题设，f(x)是连续型随机变量X的密度函数，则在(－∞，+∞)上总有f(x)≥0．若是奇函数，则有f(－x)=－f(x)≤0，与它的非负性矛盾．选项C，连续型随机变量X的密度函数未必连续，但一般只允许有若干间断点，如当X服从区间[a，b]上的均匀分布，其密度函数即为分段函数，有两个间断点．选项D，若f(x)是单调增加函数，又f(x)≥0，则至少有一个点x0，使得f(x0)＞0，于是，当x＞x0时，总有f(x)＞f(x0)＞0，因此有∫－∞+∞f(x)dx=f(x0)(x－x0)，知∫－∞+∞f(x)dx发散．显然，选项D不正确．由排除法知，应选B．5、设连续型随机变量X的密度函数为则k=()．A、2／3B、1／2C、1／3D、1／4标准答案：B知识点解析：由∫－∞+∞f(x)dx=1，有∫0+∞ke－x／2dx=－2ke－x／2|0+∞=2k=1，解得k=1／2．故选B．6、离散型随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}，则λ=()．A、1B、2C、3D、4标准答案：B知识点解析：由于X服从参数为λ的泊松分布，则有P{X=k}=λ／k!e－λ=(λ＞0，k=0，1，2，…)，于是由题设，P{X=1}=P{X=2}，得λ／1!e－λ=λ2／2!e－λ，从而有λ2－2λ=0，解得λ=2(λ=0舍去)，所以λ=2．故选B．7、设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)(σ＞0)，且二次方程y2+4y+2X=0无实根的概率为1／2，则μ=()．A、1B、2C、3D、4标准答案：B知识点解析：二次方程y2+4y+2X=0无实根的事件为{16－8X＜0}，即{X＞2}，于是依题设，有P{x＞2}=1－P{X≤2}=1／2，即P{X≤2}=1／2，也即Ф()=1／2，从而得2－μ=0，μ=2．故选B．8、已知各车站到站客流批次服从参数为λ的泊松分布，现对上海某公共汽车站客流量进行一次调查，统计了上午10：30到11：47每隔20秒乘客来到车站的批数(非人数)，得到230个数据，如下表所示：则乘客来到车站的批次的分布参数λ=()．A、0．71B、0．79C、0．89D、1标准答案：C知识点解析：泊松分布的参数λ即为其客流批次的期望，也即到站乘客批次的加权平均值．因此，由调查数据容易计算出每隔20秒出现的到站乘客批次的加权平均值为EX=0×0．43+1×0．35+2×0．15+3×0．04+4×0．03=0．89，9、设随机变量X的概率分布为P{X=k}=C／k!，k=0，1，2，…，则E(X2)=()．A、2B、3C、4D、5标准答案：A知识点解析：注意到X的概率分布为P{X=k}=C／k!，k=0，1，2，…，与服从参数λ=1的泊松分布的概率分布P{X=k)=1k／k!e－1，k=0，1，2，…，结构完全一致，并可以推出C=e－1．于是知EX=DX=1，则E(X2)=DX+(EX)2=λ+λ2=1+1=2．故选A．10、设随机变量X的密度函数为又知EX=3／4，则k，α分别为()．A、2，3B、3，2C、3，4D、4，3标准答案：B知识点解析：由∫－∞+∞f(x)dx=∫01kxαdx=1，即k－α=1．又EX=∫－∞+∞xf(x)dx=∫01kxα+1dx即4k－3α=6．联立两式，解得k=3，α=2．故选B．11、已知随机变量X的密度函数为f(x)=(－∞＜x＜+∞)，则EX，DX分别为()．A、1，1／2B、1，1／4C、2，1D、2，2标准答案：A知识点解析：将其化为正态分布的密度函数的标准形式，即由正态分布的密度函数一般形式中参数与其数字特征的关系，可得EX=μ=1，DX=σ2=1／2．故选A．12、设随机变量X服从区间[a，b]上的标准均匀分布，则[a，b]=()．A、[－1，1]B、[－]C、[1－]D、[－3，3]标准答案：B知识点解析：由X服从区间[a，b]上的标准均匀分布知，EX=0，DX=1．解法1由题设，直接计算EX=1／2(a+b)=0，DX=1／10(b－a)2=1．联立得方程组，解得a=－，故选B．解法2对各选项一一验证．知C不正确．选项D，由EX=1／2(－3+3)=0，DX=1／12(3+3)2=3，知D不正确．故选B．二、计算题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)13、一批产品有12件，其中有4件次品，8件正品．现从中任取3件产品，试求取出的3件产品中有次品的概率．标准答案：设事件A={取出3件中有次品}，Ai={取出3件中恰好有i件次品}，i=1，2，3．显然，A1，A2，A3两两互斥，且它们依次包含的样本点数分别为=C41C82，=C42C81，=C43，由事件的关系和运算，有A=A1+A2+A3，又从12件产品中取3件产品，样本点总数为C123．因此P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)本题也可考虑从事件A的反面去计算，即知识点解析：暂无解析14、10件产品中有5件一级品，3件二级品，2件次品，无放回地抽取，求取到二级品之前取到一级品的概率．标准答案：设Ak为第k次取到一级品，Bk为第k次取到次品，A为取到二级品之前取到一级品，于是A1=A1，A2=B1A2，A3=B1B2A3，A=A1+B1A2+B1B2A3，显然，事件A1，A2，A3互斥，从而有P(A)=P(A1)+P(B1A2)+P(B1B2A3)知识点解析：暂无解析15、一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，在某个时间段每个元件无故障工作的概率为0．8．求该电路分别在三个元件串联和并联情况下无故障工作的概率．标准答案：三个同种电气元件中有ξ个无故障工作的概率服从二项分布概型，即P{ξ=k}=C3k0．8k(1－0．8)3－k(k=0，1，2，3)．于是在三个元件串联情况下，电路无故障工作，即在三个元件都处在正常工作状态，因此所求概率为P{ξ=3}=C330．83(1－0．8)3－3=0．83=0．512．在三个元件并联情况下，只要其中一个元件无故障工作，电路即正常工作，因此所求概率为1－P{ξ=0)=1－C300．80(1－0．8)3=1－0．23=0．992．知识点解析：暂无解析16、已知离散型随机变量X的分布函数为求X的分布阵，并计算P{x=1}，P{－1＜X＜3}，P{X＜0|－2≤X＜1}．标准答案：X的正概率点即为F(x)的分段点：X=－1，0，2，且有P{X=－1}=F(－1)－F(－1－0)=1／2，P{X=0}=F(0)=F(0－0)==3／14，P{X=2}=F(2)－F(2－0)=1－=2／7．于是X的分布阵为从而有P{X=1)=0或P{X=1}=F(1)－F(1－0)==0；P{－1＜x＜3}=P{X=0}+P{X=2}=1／2，或P{－1＜X＜3}=F(3－0)－F(－1)=1－=1／2；P{X＜0|－2≤X＜1}知识点解析：暂无解析17、设X是连续型随机变量，其密度函数为求Y的分布列．标准答案：显然，Y的正概率点为0，1，2．于是P{Y=0}=P{X＜1}=∫－∞1f(x)dx=∫011／6dx=1／6；P{Y=1}=P{1≤X＜4}=∫14f(x)dxP{Y=2}=P{X≥4}=∫4+∞f(x)dx=∫451／4dx=1／4，或P{Y=2}=1－P{Y=0}－P{Y=1}=1－=1／4．因此，Y的分布列为知识点解析：暂无解析18、已知连续型随机变量X有密度函数为求系数k及分布函数F(x)，并计算P{1＜X＜5／2|X≤3}．标准答案：由连续型随机变量密度函数的性质，有∫－∞+∞f(x)dx=∫02(k+1)dx=(kx2+x)|02=2k+2=1，解得k=－1／2．又当x＜0时，P{X≤x}=0；当x≥2时，P{X≤x}=1；当0≤x＜2时，P{X≤x}=∫0x(－t+1)dt=－x2+x，从而得F(x)=P{X≤x}知识点解析：暂无解析19、某地抽样调查考生的英语成绩(按百分制计算)近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的考生占整个考生人数的2．3％，试求英语成绩在60分至84分之间的概率．(Ф(1)=0．8431，Ф(2)=0．977)标准答案：设X为考生的英语成绩，则X～N(μ，σ2)，其中μ=72，下面确定σ依题设，P{X≥96}=0．023，即有Ф(24／σ)=0．977，得24／σ=2，所以σ=12，因此X～N(72，122)．所以P{60≤X≤84}=p{||≤1}=2Ф(1)－1=0．6862．知识点解析：暂无解析20、设一条自动生产线上生产的每台仪器以概率0．8可以出f，以概率0．2需要进一步调试，经调试后，以概率0．75可以出f，以概率0．25定为不合格品不能出f．现该生产线新生产出十台仪器，试求这十台仪器能够出f的期望．标准答案：对于该生产线生产的每台仪器，设事件A表示“仪器能出厂”，B表示“仪器需要进一步调试”，表示“仪器可以直接出厂”，AB表示“仪器经调试后可以出厂”．于是A=∪AB，P(A)=P()+P(AB)=P()+P(B)P(A|B)=0．8+0．2×0．75=0．95．设随机变量X表示十台仪器中能够出厂的台数，则X服从二项分布B(10，0．95)，因此EX=10×0．95=9．5(台)．知识点解析：暂无解析21、设随机变量X的分布函数为求EX，E(2X+5)，E(X2)，D(X2)．标准答案：求X的期望与方差先求X的分布阵，依题设，有因此EX=－1×0．2+0×0．6+1×0．2=0，E(2X+5)=2EX+5=5，E(X2)=(－1)2×0．2+02×0．6+12×0．2=0．4，D(X2)=E(X4)－[E(X2)]2=(－1)4×0．2+04)×0．6+14×0．2－0．42=0．24．知识点解析：暂无解析22、设随机变量X的分布函数为求EX；DX；E(X2)；D(2－3X)．标准答案：求X的期望与方差必须先求X的密度函数，即有因此EX=∫－∞+∞xf(x)dx=∫13(x)dx=20／9；E(X2)=∫－∞+∞x2f(x)dx=∫13(x2)dx=47／9；DX=E(X2)－(EX)2D(2－3X)=9DX=23／9．知识点解析：暂无解析23、某类型电话呼唤时间T为连续型随机变量，满足P(T＞t)=ae－λt+(1－a)e－μ，t≥0，0≤α≤1，λ，μ＞0，求ET．标准答案：依题设，先求T的密度函数，利用分布函数法．当t≥0时，F(t)=P{T≤t}=1－P{T＞t}=1－αe－λt－(1－α)e－λt，由F(0)=0，F(t)单调非减非负知，当t＜0时，F(t)=0，所以T的分布函数为从而得T的密度函数为因此ET=∫－∞+∞tf(t)dt=∫0+∞[αλte－λt+μ(1－α)te－μt]dt其中∫0+∞te－ktdt知识点解析：暂无解析24、设随机变量X在[－1，2]上服从均匀分布，且Y=X2．求DX，DY．标准答案：由题设，X的密度函数为因此EX=∫－∞+∞xp(x)dx=∫－12x／3dx=1／6x2|－12=1／2，E(X2)=∫－∞+∞x2p(x)dx=∫－12x2／3dx=1／9x3|－12=1，所以DX=E(X2)－(EX)2=3／4又EY=∫－∞+∞x2p(x)dx=∫－121／3x2dx=1／9x3|－12=1，E(Y2)=∫－∞+∞x4p(x)dx=∫－121／3x4dx=1／15x5|－12=33／15=11／5，所以DY=E(Y2)－(EY)2=－1=6／5．知识点解析：暂无解析经济类专业学位联考综合能力数学基础（概率论）模拟试卷第3套一、单项选择题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)1、甲、乙两人投篮，以A表示事件“甲投中，乙未投中”，则其对立事件为()．A、“甲未投中，乙投中”B、“甲、乙二人均投中”C、“甲未投中或乙投中”D、“甲未投中”标准答案：C知识点解析：若以A1表示事件“甲投中”，A2表示事件“乙未投中”，则事件A=A1A2，对立事件为表示“乙投中”，因此，A的对立事件为“甲未投中或乙投中”，故选C．2、5封信投入4个信箱，则某一个信箱有3封信的概率为()．A、45／128B、15／64C、15／128D、5／128标准答案：A知识点解析：5封信投入4个信箱，每封信都有4种投递选择，总样点数为45，某一个信箱有3封信，意味着从4个信箱中先取出一个，从5封信中取出3封信投入其中，剩下的2封信可随机投入余下的3个信箱，共含样本点数为C41C5332，因此，所求事件的概率为C41C5332／45=45／128，故选A．3、某公交起点站每隔5分钟就发一部车，在乘客不知情的情况下，每一名乘客到站候车时间不超过2分钟的概率为()．A、1／5B、3／7C、3／5D、4／5标准答案：B知识点解析：设事件A={每一名乘客到站候车时间不超过2分钟}，由于乘客可以在两辆公交车发车的时间间隔内任何一个时间点到达车站，因此，乘客到达车站的时刻t可以是均匀地出现在长为5分钟时间，即区间(0，5]的一个随机点，设Ω=(0，5]．又设前、后两辆车出站时间分别为T1，T2，则线段T1T2长度为5(如图3—7—3)，即L(Ω)=5．T0是线段T1T2上的一点，且T0T2长为2．显然，乘客只有在T0之后到达(即只有t落在线段T0T2上)，候车时间才不会超过2分钟，即L(A)=2，因此P(A)=L(A)／L(Ω)=2／5．故选B．4、设f(x)是连续型随机变量X的密度函数，F(x)为其分布函数，则()．A、0≤f(x)≤1B、P{X=x}=f(x)C、P{X=x)≤F(x)D、P{X=x}=F’(x)标准答案：C知识点解析：首先，密度函数f(x)不是概率，只是描绘连续型随机变量概率分布密集程度的度量，因此只要求函数值非负，但不要求f(x)≤1．其次，P{X=x}是连续型随机变量在一单点x的概率，由连续型随机变量在任何单点X=x的概率均为零，有P{X=x}=0．另外，分布函数F(x)是概率，即F(x)=P{X≤x}，所以总有0≤F(x)≤1，综上可得，P{X=x}=0≤F(x)恒成立，故选C．5、设f1(x)，f2(x)分别为区间[－1，2]和[2，4]上均匀分布的概率密度，若f(x)=(a＞0，b＞0)为概率密度，则a，b应满足()．A、a+3b=3B、a+b=1C、3a+b=3D、3a+2b=1标准答案：A知识点解析：依题设又f(x)为概率密度，则应同时满足f(x)≥0和∫－∞+∞f(x)dx=1，于是有∫－∞+∞f(x)dx=∫－∞0af1(x)dx+∫0+∞bf2(x)dx=a∫－101／3dx+b∫241／2dx=+b=1，解得a+3b=3，故选A．6、离散型随机变量X的分布函数为则()．A、P{X=1．5}=0．4B、P{0≤X＜1}=．4C、P{X＜3}=0．4D、P{1≤X＜3}=0．4标准答案：D知识点解析：选项D，随机变量X在区间[1，3)内含正概率点为1，于是P{1≤X＜3}=P{X=1}=F(1)－F(1－0)=0．8－0．4=0．4．选项A，P{X=1．5}=P{X≤1．5}－P{X＜1．5}=0．8－0．8=0．选项B，随机变量X在区间[0，1)内不含正概率点，于是P{0≤X＜1}=0．选项C，随机变量X在区间(－∞，3)内含正概率点为－1，1，于是P{X＜3}=P{X=－1}+P{X=1}=0．4+0．4=0．8．故选D．7、设随机变量X服从正态分布X～N(2，22)，且aX+b～N(0，1)，则a，b取值为()．A、a=－1／2，b=1B、a=1／2，b=－1C、a=1／2，b=－1或a=－1／2，b=1D、a=1／2，b=1／4标准答案：C知识点解析：正态分布的标准化，有两种解法．解法1利用正态分布标准化公式，即由X～N(2，22)，有～N(0，1)，得a=1／2，b=－1．同时有－～N(0，1)，得a=－1／2，b=1．故选C．解法2利用正态分布参数与其数字特征关系，有E(aX+b)=aEX+b=2a+b=0，D(aX+b)=a2DX=4a2=1，解得a=－1／2，b=－1或a=－1／2，b=1．故选C．8、设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，F(x)是X的分布函数，若对于任意实数α，总有F(－α)+F(α)=1，则必有()．A、μ=0，σ2=0B、μ=0，σ2=1C、μ=0，σ为任意正常数D、μ=1，σ为任意正常数标准答案：C知识点解析：对于连续型随机变量X，当且仅当其密度函数f(x)为偶函数时，分布函数F(x)满足等式F(－α)+F(α)=1．因此正态分布N(μ，σ2)当且仅当在μ=0时，才能满足等式F(－α)+F(α)=1，而且结论与σ2的取值无关，故选C．9、某项试验成功的概率为p，设随机变量X为重复进行该项试验直到成功所需要的次数，则EX=()．A、pB、1－pC、D、1／p标准答案：D知识点解析：依题设可知，X服从参数为p的几何分布，概率分布为P{X=k}=(1－p)k－1p，k=1，2，…，因此EX=k(1－p)k－1p=－p[(1－p)k]’故选D．10、设随机变量X的密度函数为且EX=1，则a，b分别为()．A、3，1B、4，2C、6，－2D、6，－4标准答案：C知识点解析：由题设，知∫－∞+∞f(x)dx=∫01(ax+b)dx=a+b=1，EX=∫－∞+∞xf(x)dx=∫01(ax2+bx)dx以上两式联立，得方程组故选C．11、设随机变量X～N(－1，2)，Y=2X+3，则P{Y≥1}()．A、＞1／2B、=1／2C、＜1／2D、的大小不能确定标准答案：B知识点解析：根据线性随机变量函数的性质，Y=2X+3仍服从正态分布N(μ，σ2)，又根据正态分布的参数与其数字特征的关系，即有μ=EY=2EX+3=1，σ2=DY=22DX=8，从而有Y=2X+3～N(1，8)，所以P{Y≥1}=Ф()=Ф(0)=1／2．故选B．12、设随机变量X1，X2相互独立，且分别服从参数为λ1，λ2的指数分布，则下列结论正确的是()．A、E(X1+X2)=λ1+λ2B、D(X1+X2)=λ1+λ2C、D(X1+X2)=D、X1+X2服从参数为λ1+λ2的指数分布标准答案：C知识点解析：若X服从参数为λ的指数分布，则DX=1／λ2，于是，由X1，X2相互独立，有D(X1+X2)=DX1+DX2=，故B错误，C正确，应选C．选项A，若X服从参数为λ的指数分布，则EX=1／λ，因此，E(X1+X2)=选项D，指数分布不具备如泊松分布及正态分布类似的性质，即在相互独立的条件下，两个同服从于指数分布的随机变量之和不一定也服从于指数分布．二、计算题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)13、k个口袋中均装有n个球，编号为1，2，…，n，现从每个口袋中各取一个球，求所取k个球中编号最大为m(1≤m≤n)的概率．标准答案：每个α袋取一个球有n种可能，从k个α袋同时取球，共有nk种可能，即总样本点为nk．又所取k个球中最大编号不超过m，即每个α袋只能从编号为1到m的球中取到，共有mk种可能，但其中包含取不到最大编号为m的球的情况，共有(m－1)k种可能，应减去．即所取k个球中最大编号为m的事件含样本点数为mk－(m－1)k．因此所求概率为知识点解析：暂无解析14、甲、乙两人射箭比赛，约定比赛轮流进行，甲先射，甲每轮只射一次，而乙每轮射2次，先射中者为胜．已知甲、乙每次射中的概率分别为p，0．5，且每人射中与否相互独立，问p为何值时，甲、乙两人胜率相同．标准答案：设Ak，Bk分别表示甲、乙第k次射中，且k表示甲、乙两人射箭的总次数，A表示甲胜，于是A=A1+A7+…，从而有P(A)=P(A1)+P(A7)+…=p+(1－p)(0．5)2p+(1－p)2(0．5)4p+…=p{1+0．25(1－p)+[0．25(1－p)]2+…}若要甲、乙胜率相同，应有=1／2，即p=3／7．知识点解析：暂无解析15、设随机变量X1，X2，X3，X4相互独立且同分布，Xi～，i=1，2，3，4，求行列式X=的概率分布．标准答案：解法1引入中间变量，分层处理．记Y1=X1X4，Y2=X2X3，易见，Y1，Y2独立同分布．由Y1=0，1，则P{Y1=1}=P{X1=1，X4=1}=P{X1=1}P{X4=1}=0．16，P{Y1=0}=1－P{Y1=1}=0．84，即有又X=Y1－Y2=－1，0，1，则P{X=－1}=P{Y1=0，Y2=1}=P{Y1=0}P{Y2=1}=0．84×0．16=0．1344，P{X=1}=P{Y1=1，Y2=0}=P{Y1=1}P{Y2=0}=0．84×0．16=0．1344，P{X=0}=1－P{X=－1}－P{X－1}=1－2×0．1344=0．7312．所以行列式的概率分布为解法2直接利用计算离散型随机变量概率分布的三步法．由于X1，X2，X3，X4相互独立且同服从0—1分布，易知X=－1，0，1，且P{X=－1}=P{X=1}，P{X=－1}=P{{{X1=0}∪{X4=0}}∩{{X2=1}∩{X3=1}}}=P{{X1=0}∪{X4=0}}P{X2=1}P{X3=1}=(1－0．4×0．4)×0．4×0．4=0．1344，P{X=1}=P{X=－1}=0．1344，P{X=0}=1－P{X=－1}－P{X=1}=0．7312．所以行列式X的概率分布为知识点解析：本题中，X是由4个随机变量X1，X2，X3，X4的运算式组成，如果直接套用一般的计算模式，即解法2，就显得较为繁琐．解法1所采用的是根据X1，X2，X3，X4运算的层次结构，引进中间变量Y1=X1X4，Y2=X2X3，将运算分为先求出Y1，Y2的分布，再求X=Y1－Y2的分布两个步骤，看似复杂，但实际更为简便．其中用到了X1，X2，X3，X4独立同分布，则Y1，Y2也独立同分布的性质．一本书有500页，共有500个错，每个错误都等可能出现在每一页上(设该书每页有500个印刷符号)．16、求在第100页出现错误个数的概率分布；标准答案：设X为第100页出现错误的个数，X=0，1，2，…，500．由于每个错误都等可能出现在每一页上，故每个错误出现在第100页上概率为1／500，且每个错误出现在第100页的可能性相互独立，因此X服从二项分布B(500，1／500)，其概率分布为P{X=k}=C500k(1／500)k(499／500)500－k，，k=0，1，2，…，500．知识点解析：暂无解析17、第100页上至少有3个错的概率．标准答案：第100页上至少有3个错的概率为P{X≥3}=1－P{X=0}－P{X=1}－P{X=2}=1－C500k(1／500)k(499／500)500－k≈0．08．知识点解析：暂无解析18、设随机变量X的分布函数为求常数a，b及概率P{|X|＜2}．标准答案：根据分布函数的性质，有F(+∞)=(a+be－x)=1，得a=1．又F(x)在x=0处右连续，有(a+be－x)=a+b=0，得b=－1．所以从而有P{|X|＜2}=P{－2＜x＜2}=F(2－0)－F(－2)=1－e－2－0=1－e－2．知识点解析：暂无解析19、某种型号电池的寿命X近似服从正态分布N(μ，σ2)，已知其寿命在250小时以上的概率和寿命不超过350小时的概率均为92．36％，为使其寿命在μ－x和μ+x之间的概率不小于0．9，x至少为多大?(Ф(1．43)=0．9236，Ф(1．645)=0．95)标准答案：由P{X＞250}=P{X＜350}根据正态分布的密度函数关于x=μ对称，有μ==300，又由P{X＜350}=P{}=Ф(50／σ)=0．9236，得50／σ=1．43，于是σ≈34．97．故X～N(300，34．972)，又P{μ－x＜X＜μ+x}=P{||＜x／σ}=2Ф(x／σ)－1≥0．9，即Ф(x／σ)≥1．9／2=0．95，得x／σ≥1．645，于是x≥1．645×34．97≈57．53．知识点解析：暂无解析已知某批建筑材料的强度X服从N(200，182)，现从中任取一件时，求20、取得的材料的强度不低于180的概率；标准答案：P{X≥180}=1－P{X＜180}=1－Ф()=Ф(1．11)=0．8665．知识点解析：暂无解析21、如果所用材料以99％的概率保证强度不低于150，问这批材料是否符合这个要求．(Ф(1．11)=0．8665，(Ф2．78)=0．9973)标准答案：P{X≥150}=1－P{X＜150}=1－Ф()=Ф(2．78)=0．9973．结果表明，从这批材料中任取一件，以99．73％(大于99％)的概率保证强度不低于150，故这批材料符合要求．知识点解析：暂无解析22、设随机变量X与Y相互独立，其中X的概率分布为X～，而Y的概率密度为f(x)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(x)．标准答案：根据分布函数法，由全概率公式有G(u)=P{U≤u}=P{X+Y≤u}=P{X=1}P{X+Y≤u|X=1}+P{X=2}P{X+Y≤u|X=2}=0．3P{Y≤u－1}+0．7P{Y≤u－2}=0．3F(u－1)+0．7F(u－2)．所以随机变量U的概率密度为g(x)=G’(u)=0．3f(u－1)+0．7f(u－2)．知识点解析：暂无解析23、甲、乙两个射手，他们的射击技术如下表所示：试用随机变量的数字特征分析两位射手的射击水平．标准答案：设甲、乙两个射手各自击中的环数分别为X，Y，依题设，其分布阵分别为得EX=8×0．3+9×0．1+10×0．6=9．3，EY=8×0．2+9×0．3+10×0．5=9．3，E(X2)82×0．3+92×0．1+102×0．6=87．3，E(Y2)=82×0．2+92×0．3+102×0．5=87．1，从而得DX=87．3－9．32=0．81，DY=87．1－9．32=0．61．由此可知，两位射手射击的平均环数相同，旗鼓相当，但从方差的角度观察，乙射手射击的着弹点分布偏离均值的程度较低，密集程度较高，总体水平略高于甲射手．知识点解析：暂无解析24、箱中装有十只电子元器件，其中有两只废品．装配仪器时，从中任取一只，如果是废品，则扔掉再重新任取一只，如果还是废品，则扔掉再重新任取一只．试求在取到正品之前已取得的废品数的概率分布、数学期望和方差．标准答案：记X表示在取到正品之前已取得的废品数，X可能出现的正概率点数为0，1，2，于是P{X=2}=1－=1／45，DX=E(X2)－(EX)2==88／405．知识点解析：暂无解析25、设X为连续型随机变量，其密度函数为求E(|X－EX|)．标准答案：由EX=∫－∞+∞xf(x)dx=∫01x2dx+∫12x(2－x)dx有E(|X－EX|)=E(|X－1|)=∫－∞+∞|x－1|f(x)dx=∫01|x－1|xdx+∫12|x－1|(2－x)dx=∫01(1－x)xdx+∫12(x－1)(2－x)dx=∫02(1－x)xdx+2∫12(x－1)dx=1／3．知识点解析：暂无解析26、点P随机地落在圆心在原点半径为R的圆周上，并对弧长服从均匀分布，求落点P的纵坐标的数学期望与方差．标准答案：设落点P距点(R，0)的弧长为S，依题设，S的密度函数为如图3—9—2所示，S=Rθ，其中θ为OP与x轴的夹角(逆时针方向)，点P的纵坐标Y=Rsinθ=RsinS／R．因此DY=E(Y2)－(EY)2=R2／2，其中∫02πsin2xdx=4∫0π／2sin2xdx知识点解析：暂无解析27、设连续型随机变量X的密度函数为已知EX=0．5，DX=0．15，求常数a，b，c．标准答案：由题设，有∫－∞+∞φ(x)dx=∫01(ax2+bx+c)dxEX=∫－∞+∞xφ(x)dx=∫01(ax3+bx2+cx)dxE(X2)=∫－∞+∞x2φ(x)dx=∫01(ax4+bx3+cx2)dxDX=E(X2)－(EX)2联立上式，得方程组求解方程组，解得a=12，b=－12，c=3．知识点解析：暂无解析经济类专业学位联考综合能力数学基础（概率论）模拟试卷第4套一、单项选择题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)1、设A，B为两个事件，且P(AB)=0，则()．A、A与B互斥B、AB是不可能事件C、AB未必是不可能事件D、P(A)=0，P(B)0标准答案：C知识点解析：一般地，由P(AB)=0，推不出AB=，从而可以排除选项A和选项B．由P(AB)=0，也未必有P(A)=0，P(B)=0．例如事件A，B分别表示投掷硬币出现正面、反面，则有P(A)=1／2，P(B)=1／2，但P(AB)=0．因此由排除法，应选C．2、设A，B为两个随机事件，若P(AB)=P()，且P(A)=p，则P(B)=()．A、1－pB、pC、(1－p)pD、0标准答案：A知识点解析：由P(AB)=P()=1－P(A+B)=1－P(A)－P(B)+P(AB)，得P(B)=1－P(A)=1－p．故选A．3、口袋中有3个白球2个黑球，某人连续地从中有放回地取出1球，则此人第5次取球时．恰好是第二次取出黑球的概率为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由题可知，第5次取球，恰好是第二次取出黑球，则第5次取出一个黑球，符合几何分布特点，同时意味着前4次取球，有一次取到黑球，符合伯努利概型的特点，则所求概率为P=C412／5(1－，故选C．4、设F(x)为随机变量X的分布函数，则P{a≤X≤b}=()．A、F(b)－F(a)B、F(b－0)－F(a)C、F(b)－F(a－0)D、F(b－0)－F(a－0)标准答案：C知识点解析：选项C，由定义式F(x)=P{X≤x}，知F(a－0)=P{X＜a}，其中F(a－0)=F(x)，有P{a≤X≤b}=P{X≤b}－P{X＜a}=F(b)－F(a－0)．选项A，F(b)－F(a)=P{a＜X≤b}．选项B，F(b－0)－F(a)=P{a＜X＜b}．选项D，F(b－0)－F(a－0)=P{a≤X＜b}．故选C．5、设F1(x)，F2(x)为两个分布函数，其相应的密度函数f1(x)，f2(x)是连续函数，则下列函数必为密度函数的是()．A、f1(x)f2(x)B、f1(x)+f2(x)C、f1(x)F2(x)D、f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)标准答案：D知识点解析：选项D，由∫－∞+∞[f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)]dx=∫－∞+∞d[F1(x)F2(x)]=F1(x)F2(x)|－∞+∞=1，及f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)≥0，知D正确．选项A，由∫－∞+∞f1(x)dx=1，∫－∞+∞f2(x)dx=1推不出∫－∞+∞f1(x)f2(x)dx=1，A错误．选项B，∫－∞+∞[f1(x)+f2(x)]dx=∫－∞+∞f1(x)dx+∫－∞+∞f2(x)dx=2≠1，B错误．选项C，∫－∞+∞f1(x)F2(x)dx=F1(x)F2(x)|－∞+∞－∫－∞+∞f2(x)F1(x)dx≠1，C错误．故选D．6、已知离散型随机变量X的正概率点为0，1，3，每个取值点的概率呈现为等差数列，即为X～，则常数a，d应满足的条件是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由离散型随机变量X的分布列的性质，常数a，d应满足的条件是a=d+a+a+d=3a=1，得a=1／3．同时有a－d≥0，a+d≥0，即|d|≤a=1／3．故选C．另，当a=1／3，d≤1／3时，可能导致a+d＜0；当a=1／3，d≥－1／3或a=1／3，d≥0时，可能导致a－d＜0，因此选项A，B，D均不正确．7、随机变量X的概率密度为以Y表示对X的独立重复观察4次事件{X≤1／2}出现的次数，则P{Y=2)=()．A、27／64B、27／128C、9／64D、9／128标准答案：B知识点解析：依题设，p=P{X≤1／2}=∫01／22xdx=x2|01／2=1／4．于是，Y～B(4，1／4)，因此P{Y=2)=C42p2(1－p)2=27／128．故选B．8、设随机变量X，Y相互独立，其分布函数分别为FX(x)，FY(y)，记Z=max{X，Y}，则Z的分布函数为()．A、[1－FX(x)][1－FY(y)]B、1－FX(x)FY(y)C、[1－FX(x)]．FY(y)D、FX(x)．FY(y)标准答案：D知识点解析：利用分布函数法，有F(z)=P{Z≤≤z}=P{max{X，Y}≤z}=P{X≤z，Y≤z}=p{X≤z}P{Y≤z}=FX(x)．FY(y)，故选D．9、设随机变量X的分布阵为则EX=()．A、不存在B、2C、3D、4标准答案：D知识点解析：由离散型随机变量X的期望的计算公式，有故选D．10、若一个圆的直径X服从区间[2，3]上的均匀分布，则该圆面积的数学期望为()．A、19／3πB、19／6πC、19／12πD、19／48π标准答案：C知识点解析：设圆面积Y=1／4πX2，因为X服从区间[2，3]上的均匀分布，因此故选C．11、设EX，DX，EY，DY分别为随机变量X，Y的数学期望和方差，下列结论正确的是()．A、若连续型随机变量X的密度函数关于Y轴对称，则EX=0B、若X，Y同分布，则D(X+Y)=DX+DYC、E(XD)=EX．EYD、E(X．EY)=EX．EY标准答案：D知识点解析：选项D，因为EY是常数，所以由期望性质有E(X．EY)=EX．EY，故选D．选项A，结论当且仅当在期望EX存在的条件下成立．尽管密度函数关于y轴对称，但由于EX=∫－∞+∞xf(x)dx，发散，则EX≠0．选项B，在X，Y相互独立的条件下，有．D(X±Y)=DX+DY．选项C，一般情况下，E(XY)≠EX．EY．12、设随机变量X，Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(－1，3)，则X+Y服从的分布为()．A、N(1，5)B、N(0，5)C、N(0，13)D、不确定标准答案：B知识点解析：在X，Y相互独立的条件下，同属于正态分布的随机变量之和Z=X+Y仍然服从正态分布，且EZ=E(X+Y)=EX+EY=0，DZ=D(X+Y)=DX+DY=5，从而有Z=X+Y～N(0，5)，故选B．13、设随机变量Xij(i，j=1，2)独立同分布，EXij=2，Y=，则数学期望EY=()．A、0B、1C、2D、4标准答案：A知识点解析：依题设，Xij(i，j=1，2)独立同分布，故有EY=E(X11X22－X12X21)=E(X11X22)－E(X12X21)=EX11．EX22－EX12．EX21=0，故选A．二、计算题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)14、设A，B，C是三个随机事件，且P(A)=P(B)=P(C)=1／4，P(AB)=P(BC)=0，P(AA)=1／8，求A，B，C中至少有一个发生的概率．标准答案：设事件D表示A，B，C中至少有一个发生，即D=A+B+C，依题设，P(AB)=0，则有P(AB|C)=0，P(ABC)=P(C)P(AB|C)=0．于是P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC)+P(ABC)知识点解析：暂无解析15、在十件产品中有四件是不合格品，从中任取两件，已知所取的两件中至少有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率．标准答案：解法1用超几何分布概型模式．设事件A={所取的两件中至少有一件是不合格品}，B={另一件也是不合格品}，A，B同时发生，即指事件“所取的两件都是不合格品”，从选取产品的方式考虑，事件与AB发生概率都属于超几何概型，于是有P(A)=1－P()=1－=2／3，P(AB)=C42／C102=2／15，于是有解法2用连续抽取的概型模式．设两次抽取，Ai={第i次抽到不合格品)，i=1，2．则A=A1A2+A1A2，且A1A2，A1A2互斥，AB=A1A2，于是有知识点解析：暂无解析16、设随机变量X的分布律为P{X=－1}=1／4，P{X=0}=1／2，P{X=1}=1／4，求Y=X2的分布阵．标准答案：依题设，Y的可能取值为0，1，有P{Y=0}=P{X2=0}=P{X=0}=1／2，P{Y=1}=P{X2－1}=P{{X=1}∪{X=－1}}=P{X=1}+P{X=－1}知识点解析：暂无解析设连续型随机变量X的分布函数为求：17、常数A，B；标准答案：根据连续型随机变量分布函数的连续性，有F(－a)=F(－a－0)，F(a)=F(a－0)，知识点解析：暂无解析18、X的密度函数f(x)；标准答案：知识点解析：暂无解析19、P{－a／2＜X＜a／2}．标准答案：知识点解析：暂无解析20、设随机变量X在区间[0，10)内均匀取值，求X的分布函数及其图形．标准答案：解法1分区间计算概率P{X≤x}．随机变量X在区间[0，10)内均匀取值，于是：当x＜0时，{X≤x}是不可能事件，有F(x)=P{X≤x}=0；当0≤x＜10时，[0，x][0，10)，由几何概型，有F(x)=P{X≤x}=P{0≤X≤x}=x／10；当x≥10时，{X≤x}是必然事件，有F(x)=P{X≤x}=P{0≤X≤10}=1．综上，可得X的分布函数为其图形如图3—8—4所示．解法2由密度函数f(x)，计算积分∫－∞xf(t)dt．已知X在区间[0，10)内均匀取值，即服从区间[0，10)上的均匀分布，密度函数为于是f(x)=∫－∞xf(t)dt其图形如图3—8—4所示．知识点解析：暂无解析21、设连续型随机变量X的密度函数为求Y=的密度函数．标准答案：由0＜x＜e－1，有0＜y2＜e－1，即有0＜y＜于是，当y＜0时，FY(y)=P{Y≤y}=0，当0≤y＜时，FY(y)=P{Y≤Y}=P{≤y}=P{X≤y2}=ln(1+y2)，当y≥时，FY(y)=P{Y≤y}=1，所以Y的分布函数为知识点解析：暂无解析22、设连续型随机变量X的密度函数为求E(min{|X|，1})．标准答案：由对称性，有E(min{|X|，1})=∫－∞+∞min{|x|，1}φ(x)dx=2∫0+∞min{x，1}φ(x)dx=2[∫01xφ(x)dx+f+∫1+∞φ(x)dx]知识点解析：暂无解析23、已知X的密度函数为对X重复观察4次，用Y表示观察值大于π／3出现的次数，求E(Y2)．标准答案：由P{X≥π／3}知Y服从二项分布B(4，1／2)，因此从而得E(Y2)=DY+(EY)2=1+22=5．知识点解析：暂无解析24、已知随机变量X，Y相互独立，且都服从泊松分布，又知EX=2，EY=3，求E[(X－Y)2]．标准答案：根据泊松分布的参数和其数字特征的关系，由EX=2，EY=3知，X，Y的分布参数分别为λ1=2，λ2=3，从而知方差DX=2，DY=3．又根据随机变量的数学期望和方差的性质，由于X，Y相互独立，于是有E(X－Y)=EX－EY=－1，D(X－Y)=DX+DY=5，从而得E[(X－Y)2]=D(X－Y)+[E(X－Y)]2=5+1=6．知识点解析：暂无解析经济类专业学位联考综合能力数学基础（概率论）模拟试卷第5套一、单项选择题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)1、设事件A与B互不相容，则()．A、P()=0B、P(AB)=P(A)P(B)C、P(A)=1－P(B)D、P()=1标准答案：D知识点解析：选项D，事件A与B互不相容，则有AB=，P(AB)=0，进而有P()=1－P(AB)=1，知选项D正确，选项A不正确．选项B，事件A与B互不相容与事件A与B相互独立没有必然联系．选项B未必成立．选项C，事件A与B互不相容是事件A与B对立的必要但非充分条件，因此，A与B未必对立，选项C未必成立．故选D．2、对于任意两个事件A和B，有结论()．A、若AB≠，则A，B一定独立B、若AB≠，则A，B有可能独立C、若AB=，则A，B一定独立D、若AB=，则A，B一定不独立标准答案：B知识点解析：选项B，事件的独立性只能由概率公式P(A)P(B)=P(AB)判断，仅由事件的关系是不能推断事件独立性的．因此，当AB≠时，A，B可能独立，也可能不独立，故选B．选项A，反例：若P(A)=1／5，P(B)=1／2，P(A|B)=2／3，则有P(AB)=1／3≠0，显然AB≠，但P(A)P(B)≠P(AB)，A，B不独立，因此，A不成立．当AB=时，则A，B相互独立，否则不相互独立．故选项C，D也不成立．3、从100件产品(其中有5件次品)中，无放回地连续抽取两件，则第一次取到正品而第二次取到次品的概率是()．A、19／400B、1／22C、19／396D、5／99标准答案：C知识点解析：设事件A={第一次取到正品}，B={第二次取到次品}，用古典概型的方法可得P(A)=95／100≠0，由于第一次抽取正品后不放回，因此，第二次抽取是在99件产品(不合格品仍然是5件)中任取一件，所以P(B|A)=5／99，由乘法公式即得P(AB)=P(A)P(B|A)=故选C．4、设随机变量X的分布函数为F(x)=则P{X=1}=()．A、0B、1／2C、－e－1D、1－e－1标准答案：C知识点解析：由P{X=1}=F(1)－F(1－0)=1－e－1－－e－1．故选C．5、已知f(x)为连续型随机变量X的密度函数，且f(x)的不为零的定义区间为[0，π]，则f(x)在该区间上可能为()．A、sinxB、1／πC、x／πD、π标准答案：B知识点解析：选项B，由∫0π1／πdx=1，知f(x)在该区间上可能为1／π．选项A，由∫0πsinxdx=2，知f(x)在该区间上不可能为sinx．选项C，由∫0πx／πdx=1／2πx2|∫0π=π／2，知f(x)在该区间上不可能为x／π．选项D，由∫0ππdx=π2，知f(x)在该区间上不可能为π．故选B．6、设随机变量X的分布律为P{X=－1)=1／2，P{X=0)=1ξ3P{X=1)=1／6，则Y=X2－1的分布阵为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：解法1按计算离散型随机变量X概率分布的一般步骤．随机变量X的正概率点为－1，0，1，则随机变量Y=X2－1的正概率点为－1，0，且P{Y=－1}=P{X=0}=1／3，P{Y=0}=P(X=－1或X=1}=P{X=－1}+P{X=1}=2／3，因此故选B．解法2利用离散型随机变量X和随机变量函数Y=f(X)概率分布对照表解题．离散型随机变量X和随机变量函数Y=f(X)概率分布对照表如下：7、若X～N(μ，σ2)，且密度函数为则μ，σ2分另0为()．A、4，2B、3，2C、2，2D、1，2标准答案：B知识点解析：由可知μ=3，σ2=2，故选B．8、设随机变量X，Y分别服从正态分布N(μ，42)，N(μ，52)，记p1=P{X≤μ－4)，p2=P{Y≥μ+5}，则()．A、对于任何实数μ，都有p1=p2B、对于任何实数μ，都有p1＜p2C、对于任何实数μ，都有p1＞p2D、对于μ的个别值，有p1=p2标准答案：A知识点解析：比较概率大小，先标准化再讨论．由p1=P{x≤μ－4}=P{≤－1}=Ф(－1)=1－Ф(1)，p2=P{Y≥μ+5}=P{≥1}=1－P{＜1}=1－Ф(1)，所以对于任何实数μ，都有p1=p2，故选A．9、设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，则当成功次数的标准差最大时，p=()．A、1B、1／2C、1／3D、1／4标准答案：B知识点解析：设X为独立重复试验成功的次数，由题意知，X～B(100，p)，则EX=100p，DX=100p(1－p)，从而有因此，当p=1／2时，成功次数的标准差最大．故选B．10、设随机变量X的分布函数为则EX=()．A、1B、2C、3D、4标准答案：A知识点解析：求随机变量X的期望必须先给出X的密度函数．由题设，可得于是EX=∫－∞+∞xf(x)dx=∫01x2dx+∫12x(2－x)dx故选A．11、设随机变量X～N(0，1)，Y=2X+1，则Y服从的分布是()．A、N(1，4)B、N(0，1)C、N(1，1)D、N(0，2)标准答案：A知识点解析：本题首先是求线性随机变量函数的分布问题．相关的结论是，线性随机变量函数与随机变量服从同一分布类型，因此，Y=2X+1仍服从正态分布N(μ，σ2)，又根据正态分布的参数与其数字特征的关系，即有EX=0，DX=1，从而有μ=EY=2EX+11，σ2=DY=4DX=4，所以Y=2X+1～N(1，4)，故选A．12、设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则P{X＞}=()．A、1／2eB、－1／eC、2／eD、1标准答案：B知识点解析：由题设，X服从参数为λ的指数分布，可知DX=1／λ2，于是P{X＞}=P{X＞1／λ}=∫1／λ+∞λe－λxdx=－e－λx|1／λ+∞=1／e．故选B．二、计算题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)13、在10到99的所有两位数中，任取一个数，试求这个数能被2或5整除的概率．标准答案：从10到99的所有两位数中，任取一个数，总样本点数为90．设事件A={取出的两位数能被2整除}，B={取出的两位数能被5整除}．则所求事件{取出的两位数能被2或5整除}=A+B，而AB={取出的两位数能同时被2和5整除)．显然，A包含样本点数为45个，B包含样本点数为[99÷5]－1=18(个)，AB包含样本点数为[99÷10]=9(个)，其中符号[x]表示数字的整数部分．于是P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)知识点解析：暂无解析14、设有两批数量相同的零件，已知有一批产品全部合格，另一批产品有25％不合格．从两批产品中任取1个，经检验是合格品，放回原处，并在其所在批次再取1个，试求这个产品是不合格品的概率．标准答案：设Hi(i=1，2)为第一次从第i批产品中抽取，A为取到合格品，则有P(H1)=P(H2)=1／2，P(A|H1)=1，P(A|H2)=3／4，即有P(A)=P(H1)P(A|H1)+P(H2)P(A|H2)=7／8，从而有P(H1|A)==4／7，P(H2|A)=1－P(H1|A)=3／7，又设Ci(i=1，2)为第二次从第i批产品中抽取，则有P()=P(C1)P(|C1)+P(C2)P(|C2)知识点解析：暂无解析15、甲、乙两人进行投篮比赛，约定甲先投，若投不中，乙投，若投不中再由甲投，以此类推，谁先投中谁获胜，比赛终止．已知甲、乙投中的概率分别为3／5和7／10．若记{Y=1}为甲获胜，记{Y=0}为乙获胜，求Y的概率分布．标准答案：甲、乙两人进行投篮比赛，从理论上来说这是一个无限延续的过程，即甲、乙两人的总投篮次数X是一个无穷数列1，2，…．依题设，甲获胜对应的事件及其概率依次为因此，甲获胜的概率为P{Y=1}乙获胜的概率为P{Y=0}=1－P{Y=1}=7／22，所以Y的概率分布为知识点解析：暂无解析某公交车每隔10分钟发一趟车，某乘客每天到该车始发站乘车，且到达车站的时间是等可能的．16、求此人在一周内出现等车超过5分钟的次数的概率分布；标准答案：设此人每天等车超过5分钟的事件为A，则由几何概型，得P(A)=5／10=1／2，于是7天中事件A发生的次数X服从参数为n=7，p=1／2的二项分布，其分布律为P{X=k}=C7k(1／2)k(1／2)7－k(k=0，1，2，…，7)．知识点解析：暂无解析17、求此人在一周内等车超过5分钟的次数不多于3次的概率．标准答案：依题设，得P{X≤3}=C7k(1／2)k(1／2)7－k=1／2．知识点解析：暂无解析18、设连续型随机变量X的分布函数为试确定其中的常数a，b，c，d．标准答案：由连续型随机变量分布函数的性质，有F(－∞)=a=0，F(+∞)=d=1，解得a=0，d=1．又F(x)在x=1，x=e处连续，有F(1)=F(x)=c+d=0，F(e)=F(x)=be+ce+d=1，即c+1=0，be+ce+1=1，解得c=－1，b=－c=1．知识点解析：暂无解析市场上有n个f家生产大量同种电子产品，价格相同，其市场占有的份额比为1：2：…：n，第i个工f生产的元件寿命(单位：小时)服从参数为λi(λi＞0，i=1，2，…，n)的指数分布，规定元件寿命在1000小时以上者为优质品．求：19、市场上