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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数(,是常数,其中且)的大致图象如图所示,下列关于,的表述正确的是()A., B.,C., D.,2.设全集,集合,,则()A. B. C. D.3.下列函数中,在定义域上单调递增,且值域为的是()A. B. C. D.4.已知数列的前n项和为,,且对于任意,满足,则()A. B. C. D.5.若复数满足,则()A. B. C. D.6.在正方体中,点,,分别为棱,,的中点,给出下列命题:①;②;③平面;④和成角为.正确命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.37.当输入的实数时,执行如图所示的程序框图,则输出的不小于103的概率是()A. B. C. D.8.执行程序框图,则输出的数值为()A. B. C. D.9.若集合,则=()A. B. C. D.10.执行如图所示的程序框图,若输入,,则输出的值为()A.0 B.1 C. D.11.已知数列满足,(),则数列的通项公式()A. B. C. D.12.若,满足约束条件,则的最大值是()A. B. C.13 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图所示,在△ABC中,AB=AC=2,,,AE的延长线交BC边于点F,若,则____.14.如图,已知扇形的半径为1,面积为,则_____.15.已知函数,则过原点且与曲线相切的直线方程为____________.16.已知向量与的夹角为,||=||=1,且⊥(λ),则实数_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线,的交点分别为、(、异于原点),当斜率时,求的最小值.18.(12分)如图,在直棱柱中,底面为菱形,,,与相交于点,与相交于点.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成的角的正弦值.19.(12分)已知函数,曲线在点处的切线方程为.(1)求,的值;(2)证明函数存在唯一的极大值点,且.20.(12分)在如图所示的几何体中,面CDEF为正方形,平面ABCD为等腰梯形,AB//CD,AB=2BC,点Q为AE的中点.(1)求证:AC//平面DQF;(2)若∠ABC=60°,AC⊥FB,求BC与平面DQF所成角的正弦值.21.(12分)设函数.(1)若函数在是单调递减的函数,求实数的取值范围;(2)若,证明:.22.(10分)如图,在三棱柱中,平面ABC.(1)证明:平面平面(2)求二面角的余弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项.【详解】从题设中提供的图像可以看出,故得,故选:D.【点睛】本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征,本题属于基础题.2.B【解析】
可解出集合,然后进行补集、交集的运算即可.【详解】,,则,因此,.故选:B.【点睛】本题考查补集和交集的运算,涉及一元二次不等式的求解,考查运算求解能力,属于基础题.3.B【解析】
分别作出各个选项中的函数的图象,根据图象观察可得结果.【详解】对于,图象如下图所示:则函数在定义域上不单调,错误;对于,的图象如下图所示:则在定义域上单调递增,且值域为,正确;对于,的图象如下图所示:则函数单调递增,但值域为,错误;对于,的图象如下图所示:则函数在定义域上不单调,错误.故选:.【点睛】本题考查函数单调性和值域的判断问题,属于基础题.4.D【解析】
利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式,然后求解数列的和,判断选项的正误即可.【详解】当时,.所以数列从第2项起为等差数列,,所以,,.,,.故选:.【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法,考查转化思想以及计算能力,是中档题.5.C【解析】
把已知等式变形,利用复数代数形式的除法运算化简,再由复数模的计算公式求解.【详解】解:由,得,∴.故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础题.6.C【解析】
建立空间直角坐标系,利用向量的方法对四个命题逐一分析,由此得出正确命题的个数.【详解】设正方体边长为,建立空间直角坐标系如下图所示,,.①,,所以,故①正确.②,,不存在实数使,故不成立,故②错误.③,,,故平面不成立,故③错误.④,,设和成角为,则,由于,所以,故④正确.综上所述,正确的命题有个.故选:C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法,考查运算求解能力,属于中档题.7.A【解析】
根据循环结构的运行,直至不满足条件退出循环体,求出的范围,利用几何概型概率公式,即可求出结论.【详解】程序框图共运行3次,输出的的范围是,所以输出的不小于103的概率为.故选:A.【点睛】本题考查循环结构输出结果、几何概型的概率,模拟程序运行是解题的关键,属于基础题.8.C【解析】
由题知:该程序框图是利用循环结构计算并输出变量的值,计算程序框图的运行结果即可得到答案.【详解】,,,,,满足条件,,,,,满足条件,,,,,满足条件,,,,,满足条件,,,,,不满足条件,输出.故选:C【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构,属于简单题.9.C【解析】
求出集合,然后与集合取交集即可.【详解】由题意,,,则,故答案为C.【点睛】本题考查了分式不等式的解法,考查了集合的交集,考查了计算能力,属于基础题.10.A【解析】
根据输入的值大小关系,代入程序框图即可求解.【详解】输入,,因为,所以由程序框图知,输出的值为.故选:A【点睛】本题考查了对数式大小比较,条件程序框图的简单应用,属于基础题.11.A【解析】
利用数列的递推关系式,通过累加法求解即可.【详解】数列满足:,,可得以上各式相加可得:,故选:.【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用,数列累加法以及通项公式的求法,考查计算能力.12.C【解析】
由已知画出可行域,利用目标函数的几何意义求最大值.【详解】解:表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方,画出不等式组表示的可行域,如图,由解得即点到坐标原点的距离最大,即.故选:.【点睛】本题考查线性规划问题,考查数形结合的数学思想以及运算求解能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
过点做,可得,,由可得,可得,代入可得答案.【详解】解:如图,过点做,易得:,,,故,可得:,同理:,,可得,,由,可得,可得:,可得:,,故答案为:.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的数量积,由题意作出是解题的关键.14.【解析】
根据题意,利用扇形面积公式求出圆心角,再根据等腰三角形性质求出,利用向量的数量积公式求出.【详解】设角,则,,所以在等腰三角形中,,则.故答案为:.【点睛】本题考查扇形的面积公式和向量的数量积公式,属于基础题.15.【解析】
设切点坐标为,利用导数求出曲线在切点的切线方程,将原点代入切线方程,求出的值,于此可得出所求的切线方程.【详解】设切点坐标为,,,,则曲线在点处的切线方程为,由于该直线过原点,则,得,因此,则过原点且与曲线相切的直线方程为,故答案为.【点睛】本题考查导数的几何意义,考查过点作函数图象的切线方程,求解思路是:(1)先设切点坐标,并利用导数求出切线方程;(2)将所过点的坐标代入切线方程,求出参数的值,可得出切点的坐标;(3)将参数的值代入切线方程,可得出切线的方程.16.1【解析】
根据条件即可得出,由即可得出,进行数量积的运算即可求出λ.【详解】∵向量与的夹角为,||=||=1,且;∴;∴λ=1.故答案为:1.【点睛】考查向量数量积的运算及计算公式,以及向量垂直的充要条件.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)的极坐标方程为;曲线的直角坐标方程.(2)【解析】
(1)消去参数,可得曲线的直角坐标方程,再利用极坐标与直角坐标的互化,即可求解.(2)解法1:设直线的倾斜角为,把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程,求得,再把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程,得,得出,利用基本不等式,即可求解;解法2:设直线的极坐标方程为,分别代入曲线,的极坐标方程,得,,得出,即可基本不等式,即可求解.【详解】(1)由题曲线的参数方程为(为参数),消去参数,可得曲线的直角坐标方程为,即,则曲线的极坐标方程为,即,又因为曲线的极坐标方程为,即,根据,代入即可求解曲线的直角坐标方程.(2)解法1:设直线的倾斜角为,则直线的参数方程为(为参数,),把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得:,解得,,,把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得:,解得,,,,,即,,,,当且仅当,即时取等号,故的最小值为.解法2:设直线的极坐标方程为),代入曲线的极坐标方程,得,,把直线的参数方程代入曲线的极坐标方程得:,,即,,曲线的参,即,,,,当且仅当,即时取等号,故的最小值为.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程,以及极坐标方程与直角坐标方程点互化,以及直线参数方程的应用和极坐标方程的应用,其中解答中熟记互化公式,合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.18.(1)证明见解析(2)【解析】
(1)要证明平面,只需证明,即可:(2)取中点,连,以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系,分别求出与平面的法向量,再利用计算即可.【详解】(1)∵底面为菱形,∵直棱柱平面.∵平面..平面;(2)如图,取中点,连,以为原点,分别为轴建立如图所示空间直角坐标系:,点,设平面的法向量为,,有,令,得又,设直线与平面所成的角为,所以故直线与平面所成的角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明以及向量法求线面角的正弦值,考查学生的运算求解能力,本题解题关键是正确写出点的坐标.19.(1)(2)证明见解析【解析】
(1)求导,可得(1),(1),结合已知切线方程即可求得,的值;(2)利用导数可得,,再构造新函数,利用导数求其最值即可得证.【详解】(1)函数的定义域为,,则(1),(1),故曲线在点,(1)处的切线方程为,又曲线在点,(1)处的切线方程为,,;(2)证明:由(1)知,,则,令,则,易知在单调递减,又,(1),故存在,使得,且当时,,单调递增,当,时,,单调递减,由于,(1),(2),故存在,使得,且当时,,,单调递增,当,时,,,单调递减,故函数存在唯一的极大值点,且,即,则,令,则,故在上单调递增,由于,故(2),即,.【点睛】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性,极值及最值,考查推理论证能力,属于中档题.20.(1)见解析(2)【解析】
(1)连接交于点,连接,通过证明,证得平面.(2)建立空间直角坐标系,利用直线的方向向量和平面的法向量,计算出线面角的正弦值.【详解】(1)证明:连接交于点,连接,因为四边形为正方形,所以点为的中点,又因为为的中点,所以;平面平面,平面.(2)解:,设,则,在中,,由余弦定理得:,.又,平面..平面.如图建立的空间直角坐标系.在等腰梯形中,可得.则.那么设平面的法向量为,则有,即,取,得.设与平面所成的角为,则.所以与平面所成角的正弦值为.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明,考查线面角的求法,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.21.(1)(2)证明见解析【解析】
(1)求出导函数,由在上恒成立,采用分离参数法求解;(2)观察函数,不等式凑配后知,利用时可证结论.【详解】(1)因为在上单调递减,所以,即在上恒成立因为在上是单调递减的,所以,所以(2)因为,所以由(1)知,当时,在上单调递减所以即所以.【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性,考查用导数证明不等式.解题关键是把不等式与函数的结论联系起来,利用函数的特例得出不等式的证明.22.(1)证明见解析
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