新八年级数学（人教版）第04讲 角度计算中的常见模型（人教版）（解析版）

第04讲角度计算中的常见模型【人教版】·模块一A字型·模块二8字型·模块三燕尾角·模块四风筝型·模块五课后作业模块一模块一A字型A字型【条件】△ADE与△ABC.【结论】∠AED+∠ADE=∠B+C.【证明】根据三角形内角和可得，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠B+C=180°-∠A，∴∠AED+∠ADE=∠B+C，得证.【例1】如图，△ABC中，∠A=65°，直线DE交AB于点D，交AC于点E，则∠BDE+∠CED=（

）．A．180° B．215° C．235° D．245°【答案】D【分析】根据三角形内角和定理求出∠ADE+∠AED，根据平角的概念计算即可．【详解】解：∵∠A=65°，∴∠ADE+∠AED=180°−65°=115°，∴∠BDE+∠CED=360°−115°=245°，故选：D．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．【例2】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=70°，D是AB的中点，点E是边AC上一动点，将△ADE沿DE翻折，使点A落在点A′处，当A′E∥BC时，则∠ADE=_____．

【答案】115°或25°【分析】当A′E∥BC时，∠A′EA=∠C=90°，分两种情况考虑，根据翻折可得∠A′ED=∠AED=45°或135°，再根据三角形内角和定理，即可解决问题．【详解】解：如图，当A′E∥BC时，

∴∠A′EA=∠C=90°，∵∠ABC=70°，∴∠A=90°−70°=20°，由翻折可知：∠A′ED=∠AED=1∴∠ADE=180°−∠A−∠AED=180°−20°−45°=115°．或者：由翻折可知：∠A'ED=∠AED=1∴∠DEC=45°，∴∠ADE=∠DEC−∠A=45°−20°=25°．

故答案为：115°或25°．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），解决本题的关键是掌握翻折的性质．【例3】旧知新意：我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？尝试探究：（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？初步应用：（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CDE，得到四边形ABDE，∠1＝130°，则∠2﹣∠C＝50°；（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案∠P＝90°−12∠A拓展提升：（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由．）【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠DBC+∠ECB，再利用三角形内角和定理整理即可得解；（2）根据（1）的结论整理计算即可得解；（3）表示出∠DBC+∠ECB，再根据角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解；（4）延长BA、CD相交于点Q，先用∠Q表示出∠P，再用（1）的结论整理即可得解．【解答】解：（1）∠DBC+∠ECB＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A；（2）∵∠1+∠2＝∠180°+∠C，∴130°+∠2＝180°+∠C，∴∠2﹣∠C＝50°；（3）∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，∵BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∴∠PBC+∠PCB=12（∠DBC+∠ECB）在△PBC中，∠P＝180°−12（180°+∠A）＝90°即∠P＝90°−1故答案为：50°，∠P＝90°−1（4）延长BA、CD于Q，则∠P＝90°−1∴∠Q＝180°﹣2∠P，∴∠BAD+∠CDA＝180°+∠Q，＝180°+180°﹣2∠P，＝360°﹣2∠P．【变式1】如图是某建筑工地上的人字架，若∠1=120°，那么∠3−∠2的度数为_________．【答案】60°【分析】根据平角的定义求出∠4，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．【详解】解：如图∵∠1+∠4=180°，∠1=120°，∴∠4=60°，∵∠3=∠2+∠4，∴∠3−∠2=∠4=60°，故答案为：60°．【点睛】本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．【变式2】如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，连接DC、DE，在CD上取一点F，连接EF，若∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．【分析】先利用平行线的判定定理判定AB∥EF，利用平行线的性质定理得到∠3＝∠ADE，利用等量代换得到∠B＝∠ADE，最后利用同位角相等，两直线平行判定即可．【解答】证明：∵∠1+∠DFE＝180°，∠1+∠2＝180°，∴∠2＝∠DFE．∴AB∥EF．∴∠3＝∠ADE．∵∠3＝∠B，∴∠B＝∠ADE．∴DE∥BC．故答案为：240°．【变式3】如图，已知△ABC中，∠B<∠C，AD平分∠BAC，E是线段AD（除去端点A、D）上一动点，EF⊥BC于点F．若∠B=40°，∠DEF=10°，求

【答案】60°【分析】先根据垂直的定义得到∠EFD=90°，进而求出∠EDF=80°，利用三角形外角的性质求出∠BAD=40°，则由角平分线的定义求出∠BAC=80°，则由三角形内角和定理得到∠C=180°−∠B−∠BAC=60°．【详解】解：∵EF⊥BC，∴∠EFD=90°，∵∠DEF=10°，∴∠EDF=90°−∠DEF=80°，∵∠B=40°，∴∠BAD=∠ADC−∠B=40°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAD=80°，∴∠C=180°−∠B−∠BAC=60°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，垂直的定义等等，正确求出∠BAC=80°是解题的关键．模块二模块二8字型8字型【条件】AD、BC相交于点O.【结论】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面两角之和等于下面两角之和)【证明】在△ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD∴∠A+∠B=∠C+∠D，得证.【例1】如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（

）A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D【答案】D【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可．【详解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，∴∠2＞∠D，故选项A，B，C正确，故选D．【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键．【例2】如图，在由线段AB,CD,DF,BF,CA组成的平面图形中，∠D=28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为（

）．A．62° B．152° C．208° D．236°【答案】C【分析】如图标记∠1,∠2,∠3，然后利用三角形的外角性质得∠1=∠B+∠F=∠D+∠3，∠2=∠A+∠C，再利用∠2,∠3互为邻补角，即可得答案．【详解】解：如下图标记∠1,∠2,∠3，∵∠1=∠B+∠F=∠D+∠3，∵∠D=28°，∴∠3=∠B+∠F−28°，又∵∠2=∠A+∠C，∴∠2+∠3=∠A+∠C+∠B+∠F−28°，∵∠2+∠3=180°∴180°=∠A+∠C+∠B+∠F−28°，∴∠A+∠C+∠B+∠F=180°+28°=208°，故选C．【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键．【例3】如图，△OAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=α,AC,BD交于M．(1)如图1，当α=90°时，∠AMD的度数为°；(2)如图2，当α=60°时，求∠AMD的度数为°；(3)如图3，当△OCD绕O点任意旋转时，∠AMD与α是否存在着确定的数量关系？如果存在，请你用α表示∠AMD，并用图3进行证明；若不确定，说明理由．【答案】(1)90(2)120(3)∠AMD=180°−α【分析】（1）根据∠AOB=∠COD=α，可得∠AOC=∠BOD，可证得△AOC≌△BOD，从而得到∠OAC=∠OBD，再由三角形外角的性质，即可求解；（2）根据∠AOB=∠COD=α，可得∠AOC=∠BOD，可证得△AOC≌△BOD，从而得到∠OAC=∠OBD，再由三角形外角的性质，即可求解；（3）设CA交BO于K．根据∠AOB=∠COD=α，可得∠AOC=∠BOD，可证得△AOC≌△BOD，从而得到∠OBD=∠OAC，再由三角形内角和定理，即可求解．【详解】（1）解：∵∠AOB=∠COD=α，∴∠DOC+∠AOD=∠AOB+∠AOD，即∠AOC=∠BOD，在△BOD和△AOC中，OA=OB∠AOC=∠BOD∴△BOD≌∴∠OAC=∠OBD，∴∠AMD=∠ABM+∠BAC=∠ABO+∠BAO，∵∠AOB=90°，∴∠ABO+∠BAO=90°，即∠AMD=90°；故答案为：90（2）解：∵∠AOB=∠COD=α，∴∠DOC+∠AOD=∠AOB+∠AOD，即∠AOC=∠BOD，在△BOD和△AOC中，OA=OB∠AOC=∠BOD∴△BOD≌∴∠OAC=∠OBD，∴∠AMD=∠ABM+∠BAC=∠ABO+∠BAO，∵∠AOB=60°，∴∠ABO+∠BAO=180°−60°=120°，即∠AMD=120°；故答案为：120（3）解：如图3中，设CA交BO于K．∵∠AOB=∠COD=α∴∠AOC=∠BOD，在△BOD和△AOC中，OA=OB∠AOC=∠BOD∴△BOD≌∴∠OBD=∠OAC，∵∠AKO=∠BKM，∴∠AOK=∠BMK=α．∴∠AMD=180°−α．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理，证得△BOD≌【变式1】如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.【答案】360°.【分析】首先利用三角新的外角的性质，然后根据多边形的外角和定理即可求解．【详解】解：∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F，又∵∠1+∠2+∠3=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质以及多边形的外角和是360°，理解定理是关键．【变式2】如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（）A．240° B．280° C．360° D．540°【答案】A【分析】根据三角形内角和定理得到∠B与∠C的和，然后在五星中求得∠1与另外四个角的和，加在一起即可．【详解】解：由三角形外角的性质得：∠3=∠A+∠E，∠2=∠F+∠D，∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°，∴∠2+∠3=120°，即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°，∵∠B+∠C=120°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．故选A．【点睛】本题考查了三角形的外角和三角形的内角和的相关知识，解决本题的关键是将题目中的六个角分成两部分来分别求出来，然后再加在一起．【变式3】如图，△ABC≌△ADE，∠CAD=10°，∠B=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．【答案】∠DFB=90°，∠DGB=65°【分析】由△ABC≌△ADE，可得∠DAE=∠BAC=12∠EAB−∠CAD，根据三角形外角性质可得∠DFB=∠FAB+∠B，因为∠FAB=∠CAD+∠CAB，即可求得∠DFB的度数；根据三角形外角的性质可得∠DGB=∠DFB−∠D【详解】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∵∠EAB=120°，∠CAD=10°，∠B=25°，∴∠D=∠B=25°，∠DAE=∠BAC===55°，∴∠DFB=∠FAB+∠B=∠CAD+∠CAB+∠B=10°+55°+25°=90°，∴∠DGB=∠DFB−∠D=90°−25°=65°．∴∠DFB=90°，∠DGB=65°．【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，采用了数形结合的思想方法．找到相应等量关系的角是解题的关键．【变式4】（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B=∠C+∠D．（2）如图②，AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数．（3）如图（3），直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是________；（4）如图（4），直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是________．【答案】（1）见解析；（2）26°；（3）∠P=90°+12【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°和对顶角的性质即可得证；（2）设∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，{x+∠ABC=y+∠P（3）根据直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，得到∠PAB=∠PAD=12∠BAD，∠PCB=∠PCE=12∠PCD从而可以得到180°−2(∠PAB+∠PCB)+∠D=∠B，再根据∠P+∠PAD=∠PCD+∠D，∠BAD+∠（4）连接PB，PD根据∠APB+∠PBA+∠PAB=180°，∠PCB+∠PBC+∠BPC=180°得到∠APC+∠ABC+∠PCB+∠PAB=360°，同理得到：∠APC+∠ADC+∠PCD+∠PAD=360°，再根据∠PCE+∠PCD=180°，∠PAB+∠PAF=180°，∠FAP=∠PAO，【详解】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°，∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD．∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，设∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，则有{x+∠ABC=y+∠P∴∠ABC−∠P=∠P−∠ADC，∴∠P=1（3）∵直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠PAB=∠PAD=12∴2∠PAB+∠B=180°-2∠PCB+∠D，∴180°−2(∠PAB+∠PCB)+∠D=∠B∵∠P+∠PAD=∠PCD+∠D，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D∴∠P+∠PAD−∠BAD−∠B∴∠P−∠PAB−∠B=∠PCB,∴∠P−∠B=∠PAB+∠PCB∴180°−2(∠P−∠B)+∠D=∠B，即∠P=90°+1（4）连接PB，PD∵直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠FAP=∠PAO，∠PCE=∠PCB，∵∠APB+∠PBA+∠PAB=180°，∠PCB+∠PBC+∠BPC=180°∴∠APC+∠ABC+∠PCB+∠PAB=360°同理得到：∠APC+∠ADC+∠PCD+∠PAD=360°∴2∠APC+∠ABC+∠ADC+∠PCB+∠PAB+∠PCD+∠PAD=720°∴2∠APC+∠ABC+∠ADC+∠PCE+∠PAB+∠PCD+∠PAF=720°∵∠PCE+∠PCD=180°，∠PAB+∠PAF∴2∠APC+∠ABC+∠ADC=360°，∴∠APC=180°-1【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.模块三模块三燕尾角燕尾角【条件】四边形ABDC如上左图所示.【结论】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四边形凹外角等于三个内角和)【证明】如上右图，连接AD并延长到E，则：∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本质为两个三角形外角和定理证明.【例1.1】如图所示，已知四边形ABDC，求证∠BDC=∠A+∠B+∠C．【答案】见解析【分析】方法1连接BC，根据三角形内角和定理可得结果；方法2作射线AD，根据三角形的外角性质得到∠3=∠B+∠1，∠4=∠C+∠2，两式相加即可得到结论；方法3延长BD，交AC于点E，两次运用三角形外角的性质即可得出结论．【详解】方法1如图所示，连接BC.在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180∘，即在△BCD中，∵∠BDC+∠1+∠2=180∴∠BDC=∠A+方法2如图所示，连接AD并延长.∵∠3是△ABD的外角，∴∠3=∠1+同理，∠4=∠2+∠ACD.∴∠3+∠4=∠1+∠2+∠ABD+∠ACD.即∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD.方法3如图所示，延长BD，交AC于点E.∵∠DEC是△ABE的外角，∴∠DEC=∠A+∠ABD.∵∠BDC是△DEC的外角，∴∠BDC=∠DEC+∠ACD.∴∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD.【点睛】本题考查了三角形的外角性质：解题的关键是知道三角形的任一外角等于与之不相邻的两内角的和．也考查了三角形内角和定理．【例2】在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果∠A=52°,∠B=25°，∠C=30°,∠D=35°,∠E=72°，那么∠F的度数是（

）．A．72° B．70° C．65° D．60°【答案】B【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出∠BOC,再利用邻补角的性质求出∠DEO，再根据四边形的内角和求出∠DFO，根据邻补角的性质即可求出∠DFC的度数．【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图，∵∠OAB+∠B+∠AOB=180°,∴∠AOB=180°−∠B−∠OAB,同理得∠AOC=180°−∠OAC−∠C,∵∠AOB+∠AOC+∠BOC=360°,∴∠BOC=360°−∠AOB−∠AOC=360°−(180°−∠B−∠OAB)−(180°−∠OAC−∠C)=∠B+∠C+∠BAC=107°,∵∠BED=72°,∴∠DEO=180°−∠BED=108°,∴∠DFO=360°−∠D−∠DEO−∠EOF=360°−35°−108°−107°=110°,∴∠DFC=180°−∠DFO=180°−110°=70°,故选：B．【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：180°(n−2)．【例3】如图，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（）A．24° B．25° C．30° D．36°【答案】B【详解】∵∠A=20°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠ABC+∠ACB=160°，∵∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∴∠ABD1=12∠ABC，∠ACD1=12∵∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，∴∠ABD2=12∠ABD1=14∠ABC，∠ACD2=12∠ACD1=14同理可得：∠ABD5=132∠ABC，∠ACD5=132∠∴∠ABD5+∠ACD5=132∴∠BCD5+∠CBD5=155°，∴∠BD5C=180°-∠BCD5-∠CBD5=25°，故选：B【变式1】如图，已知DE分别交ΔABC的边AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，∠B=62°，∠ACB=76°，∠ADE=93°，求∠DEC的度数.【答案】∠DEC=135°.【分析】根据三角形的内角和定理即可求解【详解】解：在△ABC中，∠A=180°-∠B-∠ACB=180°∴∠DEC=∠【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和外角的性质，掌握三角形内角和为180°及三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和是解题的关键．【变式2】如图，若∠EOC=115°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=____________．【答案】230°【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论．【详解】解：如图∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∴∠E+∠D+∠C=115°，∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠F=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案为：230°．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质．【变式3】模型规律：如图1，延长CO交AB于点D，则∠BOC=∠1+∠B=∠A+∠C+∠B．因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“∠BOC=∠A+∠B+∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用（1）直接应用：①如图2，∠A=60°,∠B=20°,∠C=30°，则∠BOC=__________°；②如图3，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________°；（2）拓展应用：①如图4，∠ABO、∠ACO的2等分线（即角平分线）BO1、CO1交于点O1，已知∠BOC=120°，∠BAC=50°②如图5，BO、CO分别为∠ABO、∠ACO的10等分线(i=1,2,3,…,8,9)．它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O9．已知∠BOC=120°，∠BAC=50°，则③如图6，∠ABO、∠BAC的角平分线BD、AD交于点D，已知∠BOC=120°,∠C=44°，则∠ADB=__________°；④如图7，∠BAC、∠BOC的角平分线AD、OD交于点D，则∠B、∠C、∠D之间的数量关系为__________．【答案】（1）①110；②260；（2）①85；②99；③142；④∠B-∠C+2∠D=0【分析】（1）①根据题干中的等式直接计算即可；②同理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE，代入计算即可；（2）①同理可得∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1，代入计算可得；②同理可得∠BO7C=∠BOC-17（∠BOC-∠A③利用∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-12（∠BOC-∠C④根据两个凹四边形ABOD和ABOC得到两个等式，联立可得结论．【详解】解：（1）①∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°；②∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2×130°=260°；（2）①∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1=∠BOC-12（∠ABO+∠ACO=∠BOC-12（∠BOC-∠A=∠BOC-12=120°-35°=85°；②∠BO7C=∠BOC-310（∠BOC-∠A=120°-310=120°-21°=99°；③∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-310（∠BOC-∠C=180°-12=142°；④∠BOD=12∠BOC=∠B+∠D+12∠∠BOC=∠B+∠C+∠BAC，联立得：∠B-∠C+2∠D=0．【点睛】本题主要考查了新定义—箭头四角形，利用了三角形外角的性质，还考查了角平分线的定义，图形类规律，解题的关键是理解箭头四角形，并能熟练运用其性质．模块四模块四风筝型风筝型【条件】四边形ABPC，分别延长AB、AC于点D、E，如上左图所示.【结论】∠PBD+∠PCE=∠A+∠P.【证明】如上右图，连接AP，则：∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PCE=∠PAC+∠APC，∴∠PBD+∠PCE=∠PAB+∠APB+∠PAC+∠APC=∠BAC+∠BPC，得证.【例1.1】如图所示，把一个三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠之后（3个顶点不重合），图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝°．【分析】由折叠可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于六边形的内角和减去（∠B'FG+∠B'GF）以及（∠C'HI+∠C'IH）和（∠A'DE+∠A'ED），再利用三角形的内角和定理即可求解．【解答】解：由题意知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝720°﹣（∠B'FG+∠B'GF）﹣（∠C'HI+∠C'IH）﹣（∠A'DE+∠A'ED）＝720°﹣（180°﹣∠B'）﹣（180°﹣C'）＝（180°﹣A'）＝180°+（∠B'+∠C'+∠A'）又∵∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，∠A＝∠A'，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．故答案为：360．【例2】如图，在四边形ABCD中，∠C+∠D=240°，E、F分别是AD、BC上的点，将四边形CDEF沿直线EF翻折，得到四边形C′D′EF，C′F交AD于点【答案】20°或40°【分析】根据题意△EFG有两个角相等，于是有三种情况，分别令不同的两个角相等，利用折叠的性质和四边形的内角和列方程，最后综合得出答案．【详解】解：分三种情况：（1）当∠FGE=∠FEG时，设∠EFG=x，则∠EFC=x，∠FGE=∠FEG=1在四边形GFCD中，由内角和为360°得：12∵∠C+∠D=240°，∴12解得：x=20°；（2）当∠GFE=∠FEG时，∠FGE=180°−2x，在四边形GFCD中，由内角和为360°得：180°−2x+2x+∠C+∠D=360°，得180°+240°=420°≠360°，显然不成立，即此种情况不存在；（3）当∠FGE=∠GFE时，同理有：x+2x+∠C+∠D=360°，∵∠C+∠D=240°，∴x+2x+240°=360°，解得：x=40°；综上分析可知，∠EFG的度数为：20°或40°．故答案为：20°或40°．【点睛】本题主要考查了图形的翻折，三角形和四边形的内角和，有一定难度，熟悉三角形和四边形的内角和定理以及正确的分情况讨论是解题关键．【例3】（2022春•铜山区期中）（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，请直接写出∠1+2与∠A的关系：．（2）如图2，把△ABC分别沿DE、FG折叠，使点A落在点A′处，使点B落在点B′处，若∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，则∠C＝°（3）如图3，在锐角△ABC中，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，BM、CN交于点H，把△ABC沿DE折叠使点A和点H重合，则∠BHC与∠1+∠2的关系是．A．∠BHC＝180°−1B．∠BHC＝∠1+∠2C．∠BHC＝90°+1D．∠BHC＝90°+∠1﹣∠2（4）如图4，BH平分∠ABC，CH平分∠ACB，把△ABC沿DE折叠，使点A与点H重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BHC的度数．【分析】（1）根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可；（2）根据（1）的结论即可得到结果；（3）根据翻折变换的性质以及垂线的性质得出，∠AMH+∠ANH＝90°+90°＝180°，进而求出∠A=1（4）根据三角形角平分线的性质得出∠HBC+∠HCB＝90°−1【解答】解：（1）∠1+∠2＝2∠A；理由如下：由折叠的性质得：∠1+2∠ADE＝180°，∠2+2∠AED＝180°，∴∠1+2∠ADE+∠2+2∠AED＝360°①，又∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∴2（∠A+∠ADE+∠AED）＝360°②，由①②得：∠1+∠2＝2∠A；故答案为：∠1+∠2＝2∠A；（2）由（1）可得，∠A=12（∠1+∠2），∠B∴∠A+∠B=12（∠1+∠2+∠3+∠4）∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°，故答案为：70°；（3）理由：∵BM⊥AC，CN⊥AB，∴∠AMH+∠ANH＝90°+90°＝180°，∠MHN+∠A＝180°，∴∠BHC＝∠MHN＝180°﹣∠A，由（1）知∠1+∠2＝2∠A．∴∠A=1∴∠BHC＝180°−1故选A；（4）由（1）得：∠1+∠2＝2∠A，得2∠A＝100°，∴∠A＝50°，∵HB平分∠ABC，HC平分∠ACB，∴∠HBC+∠HCB=1=12（180°﹣∠A）＝90°∴∠BHC＝180°﹣（∠HBC+∠HCB）＝180°﹣（90°−1＝90°+12∠A＝90°＝115°．【变式1】如图，△ABC中，∠A=60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′【答案】50°/50度【分析】根据折叠性质，∠A′ED=∠AED=【详解】根据折叠性质，得∠A′ED=∠AED∵∠A∴∠A∵∠A=60°，∴∠A∴∠A故答案为：50°．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平角，熟练掌握折叠的性质，三角形内角和定理是解题的关键．【变式2】已知△ABC是一张三角形的纸片．（1）如图①，沿DE折叠，使点A落在边AC上点A′的位置，∠DA′E与∠1的之间存在怎样的数量关系？为什么？（2）如图②所示，沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的内部点A′的位置，∠A、∠1与∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？（3）如图③，沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位置，∠A、∠1与∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？【分析】（1）根据翻折的性质可得∠A＝∠DA′E，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答即可；（2）根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（3）根据翻折的性质可得∠A＝∠DA′E，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理即可得解．【解答】解：（1）∵点A沿DE折叠落在点A′的位置，∴∠A＝∠DA′E，根据三角形外角性质，∠1＝∠A+∠DA′E＝2∠DA′E，即∠1＝2∠DA′E；（2）∵点A沿DE折叠落在点A′的位置，∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∴∠ADE=12（180°﹣∠1），∠AED在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∴∠A+12（180°﹣∠1）整理得，2∠A＝∠1+∠2；（3）如图③，∵点A沿DE折叠落在点A′的位置，∴∠A＝∠A′，根据三角形的外角性质，∠3＝∠2+∠A′，∠1＝∠A+∠3，∴∠1＝∠A+∠2+∠A′＝∠2+2∠A，即∠1＝∠2+2∠A．【变式3】△ABC，直线DE交AB于D，交AC于E，将△ADE沿DE折叠，使A落在同一平面上的A′处，∠A的两边与BD、CE的夹角分别记为∠1，∠2如图①，当A落在四边形BDEC内部时，探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．如图②，当A′落在BC下方时，请直接写出∠A与∠1+∠2之间的数量关系．如图③，当A′落在AC右侧时，探索∠A与∠1，∠2之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据图①中∠A与∠DA′E是相等的，再结合四边形的内角和及互补角的性质可得结论2∠A＝∠1+∠2；（2）与（1）的证明过程完全相同；（3）根据图③中由于折叠∠A与∠A′是相等的，再两次运用三角形外角的性质可得结论2∠A＝∠1﹣∠2．【解答】解：（1）2∠A＝∠1+∠2．理由如下：如图①，∵∠A+∠A′+∠AEA′+∠ADA′＝360°，又∵∠1+∠ADA′+∠2+∠AEA′＝360°，∴∠A+∠A′＝∠1+∠2，又∵∠A＝∠A′，∴2∠A＝∠1+∠2；（2）2∠A＝∠1+∠2．理由：∵∠A+∠A′+∠AEA′+∠ADA′＝360°，又∵∠1+∠ADA′+∠2+∠AEA′＝360°，∴∠A+∠A′＝∠1+∠2，又∵∠A＝∠A′，∴2∠A＝∠1+∠2；（3）2∠A＝∠1﹣∠2．理由如下：如图③，设DA′交AC于点F．∵∠1＝∠A+∠DFA，∠DFA＝∠A′+∠2，∴∠1＝∠A+∠A′+∠2，∴∠A+∠A′＝∠1﹣∠2，∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，∴∠A＝∠A′，∴2∠A＝∠1﹣∠2．模块五模块五课后作业1．如图，在ΔABC中，EF//BC，ED平分∠BEF，且∠DEF=65°，则∠B的度数为（

）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】B【分析】根据平行线和角平分线的性质进行角的等量代换，再计算即可．【详解】解：∵EF//BC，∠DEF=65°，∴∠EDB=∠DEF=65°，∵ED平分∠BEF，∴∠BED=∠DEF=65°，∴∠B=180°−∠EDB−∠BED=180°−65°−65°=50°．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线和平行线的性质；关键在于能利用相关性质进行角的等量代换．2．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD'与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，∠AEC的度数为______．【答案】72°/72度【分析】根据平行四边形的性质得出∠D=∠B=52°，根据折叠的性质得出∠D′=∠D=52°【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°∴∠AEC=∠D＋∠DAE=52°＋20°=72°，故答案为：72°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解决问题的关键．3．如图，点D，E分别在等边△ABC的边AB，BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B1处，DB1，EB1分别交边AC于点F，

【答案】40°【分析】由对顶角相等可得∠CGE=∠FGB′，由两角对应相等可得△ADF∽△B′GF【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，由翻折可得∠B∴∠A=∠B∵∠AFD=∠GFB∴△ADF∽△B∴∠ADF=∠B∵∠EGC=∠FGB∴∠EGC=∠ADF=80°，∴∠CEG=180°−∠C−∠CGE=180°−60°−80°=40°．故答案为：40°．【点睛】本题考查了翻折变换问题，得到所求角与所给角的度数的关系是解决本题的关键．4．如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，∠A=100°，∠C=70°，则∠B=________．【答案】95°/95度【分析】根据平行线性质求出∠BMF和∠BNF，根据旋转得出全等，根据全等三角形性质得出∠BMN=∠FMN=50°，∠BNM=∠FNM=35°，根据三角形内角和定理求出即可．【详解】解：∵MF∥AD，FN∥DC，∠A=100°，∠C=70°，∴∠FMB=100°，∠FNB=∠C=70°，∵△BMN沿MN翻折，得△FMN，∴△BMN≌△FMN，∴∠BMN=∠FMN=12∠FMB=50°∴∠B=180°−∠BMN−∠BNM=95°，故答案为：95°．【点睛】本题考查了平行线性质，全等三角形性质，翻折变换，三角形内角和定理的应用，关键是求出∠BMN和∠BNM的度数．5．如图，在△ABC中∠BAC=48°，∠ABC=60°，∠ABC的角平分线与∠ACB的角平分线交于点M，将△MBC以直线CM为对称轴翻折得到△MCD，延长MD与BA的延长线交于点E．求∠E的度数．【答案】18°【分析】利用角平分线的定义求出∠MBC=30°，利用折叠的性质和对顶角相等得∠MDC=∠EDA=30°，然后利用三角形外角的性质即可求解．【详解】解：∵∠ABC=60°，BM是∠ABC的角平分线，∴∠MBC=1又∵△MCD是△MCB翻折得到，∴△MCD≌△MCB．∴∠MDC=∠MBC=30°，即∠MDC=∠EDA=30°．又∵∠A=48°，∠BAC=∠E+∠EDA，∴∠E=48°−30°=18°．【点睛】本题考查了角平分线的定义，折叠的性质，以及三角形外角的性质，求出∠EDA=30°是解答本题的关键．6．如图，BP平分∠ABC，交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，AB与CD相交于点G，∠A=42°．（1）若∠ADC=60°，求∠AEP的度数；（2）若∠C=38°，求∠P的度数．【答案】（1）72°；（2）40°．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ADP=12∠ADC（2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解．【详解】解：（1）∵DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF=12∠ADC∵∠ADC=60°，∴∠ADP=30°，∴∠AEP=∠ADP+∠A=30°+42°=72°；（2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，∴∠A+∠C=2∠P，∵∠A=42°，∠C=38°，∴∠P=12【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键．7．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六个角的和．【答案】360°【分析】根据三角形内角和外角的性质可得：∠G＋∠D＝∠3，∠F＋∠C＝∠4，∠E＋∠H＝∠2，再根据三角形内角和定理可得答案．【详解】解：∵∠G＋∠D＝∠3，∠F＋∠C＝∠4，∠E＋∠H＝∠2，∴∠G＋∠D＋∠F＋∠C＋∠E＋∠H＝∠3＋∠4＋∠2，∵∠B＋∠2＋∠1＝180°，∠3＋∠5＋∠A＝180°，∴∠A＋∠B＋∠2＋∠4＋∠3＝360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝360°．【点睛】此题主要考查了三角形内角与外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．8．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数．【答案】540°【分析】如图所示，由三角形外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，然后由多边形的内角和公式可求得答案．【详解】解：如图所示：由三角形的外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°．【点睛】本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，利用三角形外角和的性质将所求各角的和转化为五边形的内角和是解题的关键9.已知，在△ABC中，点E在边AB上，点D是BC上一个动点，将∠B沿E、D所在直线进行翻折得到∠EFD．(1)如图，若∠B=50°，则∠AEF+∠FDC=______；(2)在图中细心的小明发现了∠AEF，∠FDC，∠B之间的关系，请您替小明写出这个数量关系并证明．【答案】(1)100°；(2)∠AEF+∠FDC=2∠B，证明见解析．【分析】（1）先由三角形内角和求出∠BDE+∠BED=130°，再由折叠的性质得∠FDE+∠FED=∠BDE+∠BED=130°，进而可求出∠AEF+∠FDC的度数；（2）先由三角形内角和求出∠BDE+∠BED=180°−∠B，再由折叠的性质得∠FDE+∠FED=∠BDE+∠BED=180°−∠B，进而可求出∠AEF，∠FDC，∠B之间的关系．【详解】（1）在△BDE中，∠B=50°，∴∠BDE+∠BED=180°−∠B=180由折叠的性质，可知：∠FDE=∠BDE，∠FED=∠BED，∴∠FDE+∠FED=∠BDE+∠BED=130°．又∵∠∠BDE+∠FDE+∠FDC=180°，∠BED+∠FED+∠AEF=180°，∴∠AEF+∠FDC=180°−(∠BED+∠FED)+180°−(∠BDE+∠FDE)=360°−(∠BDE+∠BED)−(∠FDE+∠FE