自动控制第三章

3-1系统时间响应的性能指标1、典型输入信号

根据系统常遇到的输入信号形式，在数学描述上加以理想化的一些基本输入函数，目的是便于数学分析和实验研究

。

特点：（1）数学表达式简单（2）信号容易获得

实际应用时究竟采用哪一种典型输入信号，取决于系统常见的工作状态。如系统的输入信号是突然加入的恒定作用量，则可选用阶跃函数信号；而当输入信号是冲击输入量时，则选脉冲函数比较合适。通常以单位阶跃函数作为典型输入作用，可在一统一的基础上对各种系统的特性进行比较和研究。时域响应（1）动态过程：又称过渡过程或瞬态过程,是指在典型输入信号作用下,系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。一个可以实际运行的控制系统,其动态过程必须是衰减的,即系统必须是稳定的。描述系统的动态性能。（2）稳态过程：反映系统在输入信号作用下最后到达的状态，表征输出量最终复现输入量的程度。描述系统的稳态性能。2、动态过程与稳态过程3、动态性能与稳态性能tc(t)01tstptrc(∞)td0.5通常在阶跃函数作用下,测定或计算系统的动态性能。描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下,动态过程随时间t

的变化状况的指标,称为动态性能指标。

（3）峰值时间tp：响应曲线第一次出现峰值的时间。

（4）调整时间ts：响应曲线开始进入偏离稳态值

的误差范围，（一般

为5％或2％）并从此不再超出这个范围的时间，又称过渡过程时间。（2）上升时间tr：响应从稳态值的10%上升到90%所需的时间；有振荡的系统，可定义响曲线首次由零值上升到稳态值所需的时间。上升时间越短，响应速度越快。（1）延迟时间td：第一次到达稳态值的50％所需的时间。动态性能指标稳态指标

稳态误差ess：是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。5、超调量

：系统响应过程中，输出量的最大值超过稳态值的百分数。3-2一阶系统的时域分析1、一阶系统的数学模型R(s)C(s)-2、一阶系统的单位阶跃响应c(t)t1/T峰值时间tp和超调量σ%不存在3、一阶系统的单位斜坡响应单位阶跃响应和单位斜坡响应的比较:阶跃响应曲线中，输出量和输入量间的位置误差随时间而减少，最后趋于零。而在初始状态下，位置误差最大，响应曲线的初始斜率也最大。在斜坡响应曲线中，输出量和输入量之间的位置误差随时间而增大，最后趋于常值T，惯性越小，跟踪的准确度越高。而在初始状态下，初始位置和初始斜率均为零，因为显然,在初始状态下，输出速度和输入速度之间误差最大。4、一阶系统的单位加速度响应5、一阶系统的单位脉冲响应输入信号微分（积分）的时域响应等于该输入信号时域响应的微分（积分）。输入信号输出响应6、一阶系统各输出响应的关系3-3二阶系统的时域分析1、二阶系统的数学模型R(s)C(s)-

为系统的阻尼比，

n为系统的无阻尼振荡频率。特征方程式：特征根为：2、二阶系统的单位阶跃响应(1)过阻尼（

>1)：两个负实根T1>T2响应特性包含着两个单调衰减的指数项(瞬态分量),瞬态分量随时间t的增长而衰减到零，最终输出的稳态值为1。因此系统不存在稳态误差，且过阻尼二阶系统的单位阶跃响应是非振荡的.单调上升的指数曲线(2)临界阻尼（

＝1)：两个具有负实部的重根单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单调上升过程(3)欠阻尼（0<<1)：两个具有负实部的共轭复根

d为系统的阻尼振荡频率c(t)t01—衰减系数衰减振荡(4)无阻尼（＝0)：两个共轭虚根无阻尼等幅振荡。3、欠阻尼二阶系统的动态过程分析

为共轭复数对负实轴的张角。（1）延迟时间td令

h(td)=0.5

,可得二阶系统

ntd与ζ关系曲线适用于0<ζ<1和ζ≥1当0<ζ<1时,可用下式近似描述近似有增大自然频率或减小阻尼比,都可以减小延迟时间.

（2）上升时间tr被控量c(t)首次由零值上升到稳态值所需的时间。当阻尼比ζ一定时,阻尼角

不变,系统的响应速度与

n成正比;而当阻尼振荡频率

d一定时,阻尼比越小(

值越大）,上升时间越短。

（3）峰值时间tp瞬态响应第一次出现峰值的时间。当阻尼比ζ一定时,与

n成反比;而当阻尼振荡频率

n一定时,阻尼比越小，时间越短。（4）超调量

%仅为阻尼比ζ的函数,与自然频率

n

无关。阻尼比越大,超调量越小;反之亦然。一般,当选取ζ=0.4-0.8时,

%介于1.5%至25.4%之间。当ζ＝1时，超调量＝0，无超调，临界阻尼状态。

欠阻尼二阶系统ζ与%的关系

（5）调整时间ts阶跃响应曲线开始进入偏离稳态值

的误差范围，（一般

为5％或2％）并从此不再超出这个范围的时间。△=5％＝0.05时，＝0.02时，阻尼比主要根据对系统超调量的要求来确定,调节时间主要由自然频率决定。保持阻尼比不变而加大自然频率,可以在不改变超调量的情况下缩短调节时间。

欠阻尼二阶系统的动态性能阻尼比ζ越小则上升时间tr更短，响应更快，但超调量

%却更大了。因此设计时应折衷考虑，才能达到设计目的。一般地,ζ的取值范围是0.4~0.8。4、欠阻尼二阶系统的单位斜坡响应r(t)=t

时稳态分量瞬态分量稳态误差为例-R(s)C(s)K=0.09、0.5、10，求动态性能指标2、测速反馈控制5、二阶系统性能的改善1、比例-微分(PD)控制3-4高阶系统的时域分析1、高阶系统的数学模型令系统所有零点为不相等的实数，极点为不相等的实数和复数；且零极点不相等。输入信号为单位阶跃信号，则输出：2、单位阶跃响应结论：1、输入信号极点的拉氏反变换为系统响应的稳态分量，传递函数极点的拉氏反变换为系统响应的动态分量。2、系统动态分量的形式由闭环极点的性质所决定，系统的调整时间长短与闭环极点负实部绝对值的大小有关。闭环零点只影响系统瞬态分量幅值的大小和符号。3、闭环传递函数中某极点-pk距坐标原点很远，或者某极点与一零点-zr十分靠近，则它产生的瞬态分量可略去不计；4、如果所有闭环极点均具有负实部，则系统稳定。5、如果系统有一个极点（（一对复数极点）距虚轴最近，且其附近没有闭环零点，其它闭环极点与虚轴的距离都比该极点与虚轴的距离大5倍以上，则此极点称为系统的闭环主导极点。3-5线性系统的稳定性分析

1、稳定性的基本概念

一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。abcoabc2、线性系统稳定的充分必要条件

jωS平面稳定区域不稳定区域0系统稳定的充要条件：闭环特征方程式的根都位于s的左半平面，即不论实根还是复根都具有负实部。3、劳斯-赫尔维茨稳定判据（1）赫尔维茨稳定性判据系统的特征方程式：系统稳定的充要条件：特征方程式的赫尔维茨行列式△k（k=1，2，…，n）全部为正。系统稳定的必要条件：特征方程式的各项系数全部为正。对于一阶、二阶系统，特征方程式的各项系数全为正值，且不缺项，是系统稳定的充要条件。赫尔维茨主行列式赫尔维茨顺序主子式李纳德-戚帕特稳定判据（1）系统特征方程式的各项系数均大于零；（2）奇数阶或偶数阶的赫尔维茨行列式大于零。例1使系统稳定的K及T的取值范围例2判断系统稳定性系统的特征方程式：系统稳定的充要条件：

各项系数均为正

劳斯表的第一列系数均为正（2）劳斯稳定判据s2

d1

d2

d3s1

e1

e2s0

f1

sn

a0

a2

a4

a6

…

sn-1

a1

a3

a5

a7

…b1

b2

sn-2

b3

b4

…sn-3c1

c2

c3

…劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在s的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。劳斯表：2、例1、3、

1、当劳斯表中某一行的第一项等于零，该行的其余各项不等于零或没有余项，则以很小的正数来代替为零的这项，若第一列的系数符号有变化，则系统不稳定；如果第一列上面的系数与下面的系数符号相同，则表示方程中有一对共轭虚根，系统也不稳定。4、劳斯稳定判据的特殊情况2、劳斯表中某一行的所有系数都等于零，则表示方程中含有一些大小相等、符号相反的实根或共轭虚根。可利用系数全零行的上一行系数构造一个辅助多项式，以此多项式导数的系数来代替全零行，列些劳斯表。大小相等、符号相等的实根或共轭虚根可通过辅助方程式求得，且根的数目总为偶数。1、2、3、一单位反馈系统的开环传递函数求系统产生等幅振荡时的a值和振荡频率。例1、分析系统参数对稳定性的影响2、确定系统的相对稳定性5、劳斯稳定判据的应用

给定垂线s=-a，令s=z-a，带入原方程式中，得到以z为变量的特征方程式，利用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线

s=-a的右侧。a为系统的给定稳定度。判断稳定性，检查系统是否具有a=1的稳定度。例3-6线性系统的稳态误差计算1、误差与稳态误差R(s)C(s)-G(s)H(s)E(s)B(s)误差1、从输入端定义的误差2、从输出端定义的误差R(s)C(s)-G(s)H(s)E(s)′稳态误差不仅与开环传递函数有关，也与输入信号的形式和大小有关。稳态误差稳态误差为稳定系统误差的终值。当时间t趋于无穷时，e(t)的极限存在，则稳态误差为：2、系统类型系统的开环传递函数为K为系统的开环增益；v为系统中含有的积分环节数。v=0，0型系统v=1，Ⅰ型系统v=2，Ⅱ型系统3、阶跃输入作用下的稳态误差与静态位置误差系数系统的静态位置误差系数系统类型静态位置误差系数Kp稳态误差ess0型KⅠ型∞0Ⅱ型∞0系统的静态速度误差系数系统类型静态速度误差系数Kv稳态误差ess0型0∞Ⅰ型KⅡ型∞04、斜坡输入作用下的稳态误差与静态速度误差系数系统的静态加速度误差系数系统类型静态加速度误差系数Ka稳态误差ess0型0∞Ⅰ型0∞Ⅱ型K5、加速度输入作用下的稳态误差与静态加速度误差系数静态误差系数与系统类型的关系静态位置误差系数Kp静态速度误差系数Kv静态加速度误差系数Ka0型系统K00Ⅰ型系统∞

K0Ⅱ型系统∞

∞K系统类型误差系数阶跃输入r(t)=R0斜坡输入r(t)=v0t等加速度输入0型系统∞∞Ⅰ型系统0∞Ⅱ型系统00稳态误差与系统类型、输入信号的关系稳态误差输入信号系统类型6、动态误差系数

动态误差系数法可研究任意输入函数信号的系统稳态误差变化。为求取动态误差系数，写出误差信号的拉氏变换将误差传递函数

e(s)在s=0的邻域内展成泰勒级数,得误差信号可以表示为如下级数上述无穷级数收敛于s=0的邻域,称为误差级数，相当于在时域内t→∞时成立。当所有初始条件为零时,对上式

进行拉氏反变换,就得到作为时间函数的稳态误差表达式称为动态误差系数.习惯上称C0为动态位置误差系数,C1

为动态速度误差系数,C2

为动态加速度误差系数.将已知系统开环传递函数按s的升幂排列,写成如下形式令则误差传递函数可表示为用上式的分母多项式去除其分子多项式得到一个s的升幂级数将上式代入误差信号表达式,得

在一个特定的系统中,可以建立某些动态误差系数与静态误差系数之间的关系

.利用式(3-98)和(3-99)进行长除,可得如下简单关系:0型系统:Ⅰ型系统:Ⅱ型系统:

因此在控制系统设计中,也可把C0、C1

和C2作为一种性能指标,以对动态误差系数的要求来表达对稳态误差过程的要求.R(s)C(s)-G1(s)E(s)N(s)G2(s)+7、扰动作用下的稳态误差8、减小或消除稳态误差的措施(1)增大系统开环增益或扰动作用点之前系统的前向通道增益(2)在系统的前向通道或主反馈通道设置串联积分环节则系统对输入信号的误差传递函数为因此当系统主反馈通道传递函数H(s)不含s=0的零点和极点时有

1)系统前向通道所含串联积分环节数目v,与误差传