直线方程复习小结

第三章直线与方程小结（1）在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(3,4)的距离之和最小．又|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PB′|，解：设点B关于直线3x－y－1＝0上的对称点为B′(a，b)，

已知正方形的中心为G(－1,0)，一边所在直线的方程为x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线方程．设正方形与已知直线平行的一边所在直线方程为解得C1＝－5或C1＝7.解：正方形的中心G(－1,0)到四边距离均为故与已知边平行的直线方程为x＋3y＋7＝0.设正方形另一组对边所在直线方程为3x－y＋C2＝0，

解得C2＝9或C2＝－3.

所以正方形另两边所在直线的方程为3x－y＋9＝0和3x－y－3＝0.

综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为

x＋3y＋7＝0,3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0.直线的方程基础知识自主学习要点梳理1.直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴

与直线l

方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为

.②倾斜角的范围为

.正向向上0°≤＜180°0°(2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角的

叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k=

，倾斜角是90°的直线斜率不存在.②过两点的直线的斜率公式经过两点P1（x1,y1）,P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=

正切值tan2.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式不含垂直于x轴的直线斜截式不含垂直于x轴的直线两点式不含直线x=x1

（x1≠x2）和直线y=y1

（y1≠y2）截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用3.过P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线方程（1）若x1=x2,且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为

;(2)若x1≠x2,且y1=y2时，直线垂直于y轴，方程为

;(3)若x1=x2=0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为

;(4)若x1≠x2,且y1=y2=0时，直线即为x轴，方程为

.x=x1y=y1x=0y=04.线段的中点坐标公式若点P1、P2的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），且线段P1P2的中点M的坐标为（x,y），则，此公式为线段P1P2的中点坐标公式.题型一直线的倾斜角【例1】

若，则直线2xcos+3y+1=0

的倾斜角的取值范围是（）

A.B.C.D.题型分类深度剖析思维启迪

从斜率的定义先求出倾斜角的正切值的范围，再确定倾斜角范围.解析设直线的倾斜角为,则tan=-cos,又∵∈，∴0＜cos≤,∴≤

cos

＜0即-≤tan＜0,注意到0≤＜,∴≤＜.答案

B思维启迪

从斜率的定义先求出倾斜角的正切值的范围，再确定倾斜角范围.解析设直线的倾斜角为,则tan=-cos,又∵∈，∴0＜cos≤,∴≤

cos

＜0即-≤tan＜0,注意到0≤＜,∴≤＜.答案

B探究提高

（1）求一个角的范围，是先求这个角某一个函数值的范围，再确定角的范围.（2）在已知两个变量之间的关系式要求其中一个变量的范围，常常是用放缩法消去一个变量得到另一个变量的范围，解决本题时，可以利用余弦函数的单调性放缩倾斜角的取植范围，其目的是消去变量得到。题型二直线的斜率【例2】

已知直线l过点P（-1，2），且与以A（-2，-3），B（3，0）为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围.

分别求出PA、PB的斜率，直线l处于直线PA、PB之间，根据斜率的几何意义利用数形结合即可求.解

方法一

如图所示，直线PA的斜率直线PB的斜率思维启迪当直线l绕着点P由PA旋转到与y轴平行的位置PC时，它的斜率变化范围是［5，+∞）；当直线l绕着点P由PC旋转到PB的位置时，它的斜率的变化范围是∴直线l的斜率的取值范围是方法二

设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0.∵A、B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上，∴（-2k+3+k+2）（3k-0+k+2）≤0，即（k-5）（4k+2）≥0，∴k≥5或k≤-.即直线l的斜率k的取值范围是

∪［5，+∞）.

方法一运用了数形结合思想.当直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需根据正切函数y=tan的单调性求k的范围，数形结合是解析几何中的重要方法.解题时，借助图形及图形性质直观判断，明确解题思路，达到快捷解题的目的.方法二则巧妙利用了不等式所表示的平面区域的性质使问题得以解决.探究提高三、解答题10.已知线段PQ两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l:x+my+m=0与线段PQ有交点，求m的范围.

解

方法一直线x+my+m=0

恒过A（0，-1）点.

kAP==-2，

又m=0时直线x+my+m=0与线段PQ有交点，∴所求m的范围是≤m≤.方法二过P、Q两点的直线方程为y-1=即

代入x+my+m=0,整理得：

,由已知-1≤≤2,解得：-≤m≤.题型三求直线的方程【例3】

求适合下列条件的直线方程：（1）经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距相等；（2）经过点A（-1，-3），且倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.

选择适当的直线方程形式，把所需要的条件求出即可.解

（1）方法一设直线l在x,y轴上的截距均为a,若a=0，即l过点（0，0）和（3，2），∴l的方程为y=x，即2x-3y=0.思维启迪若a≠0，则设l的方程为∵l过点（3，2），∴∴a=5，∴l的方程为x+y-5=0,综上可知，直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.方法二由题意知，所求直线的斜率k存在且k≠0,设直线方程为y-2=k(x-3),令y=0，得x=3-,令x=0,得y=2-3k,由已知3-=2-3k，解得k=-1或k=,∴直线l的方程为y-2=-（x-3）或y-2=(x-3),即x+y-5=0或2x-3y=0.（2）由已知：设直线y=3x的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为2.∵tan=3,∴tan2=又直线经过点A（-1，-3），因此所求直线方程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.探究提高

在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零，若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.专题二距离公式

例2：已知点

P(2，－1)，求：

(1)过P点与原点距离为2的直线l的方程；

(2)过P点与原点距离最长的直线l的方程并求出最大距离；

(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．

解：(1)过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2,1)，可见，过P(2,1)垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.

若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)， 即kx－y－2k－1＝0.此时l的方程为3x－4y－10＝0.综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.

(2)作图可知过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0，即直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线． 方法二：设过P点到原点距离为6的直线的斜率存在且方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.即32k2－4k＋35＝0.因Δ＝16－4×32×35<0，故方程无解．所以不存在这样的直线．方法与技巧1.要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式：k=，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标（x1≠x2）时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率.当x1=x2，y1≠y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.思想方法感悟提高2.求斜率可用k=tan（≠90°），其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”.3.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法.4.重视轨迹法求直线方程的方法，即在所求直线上设一任意点P（x，y），再找出x，y的一次关系式，例如求直线关于点对称的直线方程、求直线关于直线对称的直线方程就可用轨迹法来求.失误与防范1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.2.根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性.3.利用一般式方程Ax+By+C=0求它的方向向量为（-B，A）不可记错，但同时注意方向向量是不唯一的.4.利用三种直线方程求直线方程时，要注意这三种直线方程都有适用范围，利用它们都不能求出垂直于x轴的直线方程.二、例题分析注：判断两直线平行时要检验是否重合！专题二距离公式

例2：已知点

P(2，－1)，求：

(1)过P点与原点距离为2的直线l的方程；

(2)过P点与原点距离最长的直线l的方程并求出最大距离；

(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．（4）过P点作一条直线，它夹在两条直线2x-y-2=0和x+y-3=0之间的线段恰好被点P平分，求这条直线方程

解：(1)过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2,1)，可见，过P(2,1)垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.

若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)， 即kx－y－2k－1＝0.此时l的方程为3x－4y－10＝0.综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.

(2)作图可知过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0，即直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线． 方法二：设过P点到原点距离为6的直线的斜率存在且方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.即32k2－4k＋35＝0.因Δ＝16－4×32×35<0，故方程无解．所以不存在这样的直线．专题一两直线的位置关系

已知直线方程为(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋9－3λ＝0. (1)求证不论λ取何实数值，此直线必过定点；

(2)过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.

即点(－3，－3)适合方程2x＋y＋9＋λ(x－2y－3)＝0，也就是适合方程(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋9－3λ＝0.解：把直线方程整理为2x＋y＋9＋λ(x－2y－3)＝0.

所以，不论λ取何实数值，直线(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋9－3λ＝0必过定点(－3，－3)．

(2)设经过点(－3，－3)的直线与两坐标轴分别交于A(a,0)，B(0，b)．解得a＝－6，b＝－6.即x＋y＋6＝0.二、