新高考数学二轮复习专题培优练习专题13 平面向量的数量积与向量中的最值问题（解析版）

专题13平面向量的数量积与向量中的最值问题一、单选题1．（2024届四川省南充市高三适应性考试）已知平面向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的正切值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，由所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故选B2．（2023届福建省名校联盟高三4月高考模拟）设向量SKIPIF1<0与单位向量SKIPIF1<0满足，对任意SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，则满足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0.故选B.3．（2024届江苏省常州高级中学高三上学期期初检测）已知在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，以斜边SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为直径，在点SKIPIF1<0的另一侧作半圆弧SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为半圆弧上的动点，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】

因为直角三角形SKIPIF1<0为等腰直角三角形，故可建立如图所示的平面直角坐标系，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而以SKIPIF1<0为直径的圆的方程为：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为M在半圆上运动变化，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的取值范围为：SKIPIF1<0.故选A.4．（2023届安徽师范大学附属中学高三上学期1月月考）设SKIPIF1<0均为单位向量，且SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的最大值为2C．SKIPIF1<0的最小值为1 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由SKIPIF1<0均为单位向量，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A错误；SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B错误；SKIPIF1<0，故C错误；SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正确.故选D.5．（2023届山东省昌乐二中高三下学期二轮模拟）已知平面向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】不失一般性，在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立.因此，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选C.6．（2023届重庆市第一中学校高三下学期2月月考）已知长方形ABCD的边长SKIPIF1<0，P，Q分别是线段BC，CD上的动点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】设A点为坐标原点，分别以AB，AD为x，y轴建立坐标系，如图，不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选D.7．（2024届上海市实验学校高三上学期阶段反馈）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆SKIPIF1<0的半径2，点SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0内的定点，且SKIPIF1<0，弦SKIPIF1<0均过点SKIPIF1<0，则下列说法错误的是（

）

A．SKIPIF1<0为定值 B．SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为定值 D．SKIPIF1<0的最大值为12【答案】B【解析】如图，过SKIPIF1<0作直径SKIPIF1<0，由题意SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0为定值，A对；若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由题意SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，B错；若SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，C对；若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，此时SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，综上，当且仅当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0的最大值为12，D对.

故选B8．已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】设平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化为SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为圆心，以SKIPIF1<0为半径的圆上运动，如图所示，SKIPIF1<0表示原点到圆上一点的距离，故当经过圆心时，距离最大或者最小，故SKIPIF1<0．故选C．

9．（2023届安徽省临泉第一中学高三下学期三模）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D是以BC为直径的圆上一点，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．12 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如图：

取BC，BD中点E，G，可知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，取BE的中点O，则G为圆O上一点，所以SKIPIF1<0最大值为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最大值为12.故选A.10．已知菱形ABCD的边长为2，SKIPIF1<0，点E在边BC上，SKIPIF1<0，若G为线段DC上的动点，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．2 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．4【答案】B【解析】由题意可知，如图所示因为菱形ABCD的边长为2，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故选B.11．（2023届新疆部分学校高三二模）已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若对于任意实数x，都有SKIPIF1<0成立，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则如图所示，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为圆心，半径为1的圆面上（包括边界），过圆周上一点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线，垂足为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0，根据相似知识可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，故选D.12．（2023届上海市闵行中学高三下学期学情调研）已知平面向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0对任意实数SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由SKIPIF1<0，两边平方得SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0对任意实数SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,当且仅当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同向时取等号.故选B二、多选题13．(2024届河北省邯郸市高三上学期第一次调研)设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是两个非零向量，且SKIPIF1<0，则下列结论中正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角为钝角 D．若实数SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0成立，则SKIPIF1<0为负数【答案】AD【解析】对A，当SKIPIF1<0不共线时，根据向量减法的三角形法则知SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0反向共线时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，A正确；对B，若SKIPIF1<0，则以SKIPIF1<0为邻边的平行四边形为矩形，且SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是这个矩形的两条对角线长，则SKIPIF1<0，故B错误；对C，若SKIPIF1<0的夹角范围为SKIPIF1<0，根据向量加法的平行四边形法则知：SKIPIF1<0，故C错误；对D，若存在实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，则SKIPIF1<0共线，由于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0反向共线，所以SKIPIF1<0为负数，故D正确.故选AD.14．（2023届河北省唐山市邯郸市等2地高三上学期期末）已知抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）交SKIPIF1<0与SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别与SKIPIF1<0的准线交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，（SKIPIF1<0为坐标原点），下列选项错误的有（

）A．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】

由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对于A，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，只有当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，直线与SKIPIF1<0轴垂直，不存在斜率，不满足题意，所以，SKIPIF1<0，故A错误；对于B，因为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，故B正确；对于C，由B得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C错误；对于D，由C可知不存在SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0成立，故D错误．故选ACD．15.（2024届安徽省安庆、池州、铜陵三市部分学校高三上学期开学联考）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A，B两点不重合，则（

）A．SKIPIF1<0的最大值为2B．SKIPIF1<0的最大值为2C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0最大值为SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0最大值为4【答案】AD【解析】A选项，由已知A，B为单位圆上任意两点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A正确；

B选项，设D为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，由于A，B两点不重合，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故B错误；C选项，当P，A，B共线时，SKIPIF1<0，故C错误；D选项，当P，A，B共线时，若SKIPIF1<0坐标分别为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0或SKIPIF1<0与SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0两点重合，此时SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0坐标不同时为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0时，此时SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，

故SKIPIF1<0，故D正确.故选AD16．（2024届江苏省南通市如皋市高三上学期期初调研）已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影为SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为锐角【答案】AD【解析】对于A，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影为SKIPIF1<0，正确；对于B，因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，该方程有无数组解，错误；对于C，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，错误；对于D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0与SKIPIF1<0为相反向量，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为锐角，正确；故选AD17．（2024届江苏省淮阴中学等四校高三上学期期初联考）已知O为坐标原点，点SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为锐角，则（

）A．SKIPIF1<0为定值 B．SKIPIF1<0的最大值为3C．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】由SKIPIF1<0为锐角，故SKIPIF1<0，A：SKIPIF1<0为定值，对；B：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，故最小值为3，错；C：SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，故SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，对；D：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立；（法一）令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0递减；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0递增；所以SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，（法二），对.故选ACD三、填空题18．（2024届江苏省基地大联考高三上学期第一次质量监测）已知同一平面内的单位向量SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，两边平方得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0均是单位向量，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.19．（2024届湖南省邵阳市邵东市第三中学高三上学期月考）如图，在SKIPIF1<0中，点D在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，E是SKIPIF1<0的中点，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点H，点SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上一动点（不含点A），且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积的最大值为．

【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0三点共线，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，如图所示，则SKIPIF1<0，且相似比为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0， 所以SKIPIF1<0为等腰三角形，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的面积的最大值为SKIPIF1<0.

20．（2023届上海市七宝中学高三5月模拟）已知SKIPIF1<0为单位向量，向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是.【答案】SKIPIF1<0【解析】如图，建立平面直角坐标系，令SKIPIF1<0,

设SKIPIF1<0则由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即点A轨迹为以SKIPIF1<