2023湘教版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-第2章 平面解析几何初步测评卷

第2章平面解析几何初步

(满分150分，考试用时120分钟)

一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

合题目要求的)

1.“a=l”是“直线ax-y+2=0与直线(a+3)x+4y-4=0垂直”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.已知直线1的倾斜角为)，直线h经过点A(3,2)和B(a,-1),且直线1与11平行,则实数a的值为

q

()

A.0B.1C.6D.0或6

3.若点P(l,l)在圆C:x2+y2+x-y+k=0的外部，则实数k的取值范围是()

A(2,+s)

D.(-2,2)

4.已知圆Ci：(x-2)2+(y+2)2=r2(r>0)与圆C2：(x+l>+(y-2)2=4,若圆Ci与圆C2有且仅有一个公共点,

则实数r等于()

A.7B.3

C.3或7D.5

5.已知点A(-1』),B(3,5),若点A,B到直线1的距离都为2,则直线1的方程不可能为()

A.x-y+2-2V2=0B.x-y+2+2V2=0

C.y=3D.x-y-l=0

6.过点P(2,3)向圆C:x2+y2=l作两条切线，切点分别为A,B,则弦AB所在的直线方程为()

A.2x-3y-l=0B.2x+3y-l=0

C.3x+2y-l=0D.3x-2y-l=0

7.直线kx-y+3-3k=0与曲线y=2+，％2+2x+3有两个不同的交点,则实数k的取值范围是()

A-[p+°°

C3

-GI4]D(8，4.

8.设点M(E,3)在圆O:x2+y2=r2(r>0)外，若圆O上存在点N,使得NOMN=J,则实数r的取值范围

是()

A.[V3,2V2]B.[2V2,2V3)

C.[V6,2V2)D.[V6,2V3)

二,多项选择题(本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要

求.全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分)

9.下列说法正确的是()

A.过(xi,yi),(X2,y2)两点的直线方程为空工=必

及-%x2~xl

B.点(1,3)关于直线x-y+l=O的对称点为(2,2)

C.直线2x-y+4=0与两坐标轴围成的三角形的面积是4

D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0

10.设有一组圆Ck：(x-k)2+(y-k)2=4(k@R),下列结论正确的是()

A.无论k如何变化，圆心Ck始终在一条直线上

B.存在圆Ck,经过点(3,0)

C.存在定直线始终与圆Ck相切

D.若圆Ck上总存在两点到原点的距离为1,则k©偿竽)

11,己知圆Ci：x2+y2=l,0C2：(x-3)2+(y+4)2=r2(r>0),下列判断正确的是()

A.若圆Ci与圆C2无公共点，则0<r<4

B.当r=5时，两圆的公共弦所在直线的方程为6x-8y-l=0

C.当r=2时,P,Q分别是圆Ci与圆©2上的点,则田(31的取值范围为[2,8]

D.当0<r<4时,过直线6x-8y+r2-26=0上任意一点分别作圆Ci、圆C2的切线，则切线长相等

12.设m©R,过定点A的动直线li：x+my=0和过定点B的动直线12：mx-y-m+3=0交于点P,圆

C:(x-2>+(y-4)2=3,则下列说法正确的有()

A.直线12过定点(1,3)

B.直线12与圆C相交的最短弦长为2

C.动点P的曲线与圆C相交

D.|PA|+|PB|的最大值为5

三'填空题(本题共4小题,每小题5分，共20分)

13.已知圆C:x2+y2-4x-2y+l=0,直线l:3x-4y+m=0与圆C交于A,B两点，且NACB=120。,则实数m

的值为.

14.已知直线h：湾=1经过点P(l,2),且与直线12：2x+y+m=0平行测a+b=；若这两条平行

线之间的距离为逐，且b不经过第一象限，则m=.

15.点B在y轴上运动，点C在直线l:x-y-2=0上运动，若A(2,3),则AABC的周长的最小值

为.

22

16.在平面直角坐标系xOy中,已知圆Ci：(x-2)2+(y-l)2=5,线段AB是圆C2:(x+4)+(y+2)=4的一

条动弦，且|AB|=2VX线段AB的中点为Q,则直线OQ被圆Ci截得的弦长的取值范围

是.

四,解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)在以下这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中，并求解.

①圆经过点C(3,4);②圆心在直线x+y-2=0上;③圆截y轴所得弦长为8且圆心M的坐标为整数.

已知圆M经过点A(-1,2),B(6,3),且.

⑴求圆M的方程；

⑵求以(2,1)为中点的弦所在的直线方程.

18.(12分)等腰直角^ABC的直角为NC,且点C(O,-1),斜边AB所在的直线方程为x+2y-8=0.

(l)^AABC的面积；

⑵求斜边AB的中点D的坐标.

19.(12分)已知4ABC中,BC边上的高所在的直线方程为x-2y+l=0,ZA的平分线所在的直线方

程为y=0,点C的坐标为(1,2).

⑴求点A和点B的坐标；

⑵过点C作直线1,分别与x轴、y轴的正半轴交于点M,N,求△MON(C)为坐标原点)面积的最

小值及此时直线1的方程.

20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆N过点(-1,0),(1,0),且圆心N在直线l:x+y-l=0上，圆

M:(x-3)2+(y-4)2=8.

⑴求圆N的标准方程，并判断圆M与圆N的位置关系；

⑵直线MN上是否存在点B,使得过点B分别作圆M与圆N的切线，切点分别为T,S(不重合)，

满足|BS|=2|BT]?若存在，求出点B的坐标，若不存在,请说明理由.

21.(12分)如图所示，为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要

求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两

端O和A到该圆上任意一点的距离均不小于80m.经测量，点A位于点O正北方向60m处，

点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tanNBCOq

⑴求新桥BC的长；

(2)当|0M|为多少时，圆形保护区的面积最大?

22.(12分)已知点Pi(-V^+l,0),P2(V^+l,0),P3(l,l)均在圆C上.

⑴求圆C的方程；

(2)若直线3x-y+l=0与圆C相交于A,B两点,求线段AB的长；

⑶设过点(-1,0)的直线1与圆C相交于M,N两点,试问:是否存在直线1,使得以MN为直径的圆

经过原点O?若存在，求出直线1的方程;若不存在,请说明理由.

答案与解析

1.A由直线ax-y+2=0与直线(a+3)x+4y-4=0垂直，可得a(a+3)+(-l)x4=0,即a2+3a-4=0,解得a=l

或a=-4,「・"a=l”是“直线ax-y+2=0与直线(a+3)x+4y-4=0垂直”的充分不必要条件.故选A.

2.C由题意得直线1的斜率为tan*=1,直线li的斜率为旁，因为直线1与h平行,所以等=-1,

4Cl-o

解得a=6,故选C.

3.C由题意得1+^4/7>0k>°'解得-2<k©,故选C.

4.C由题意知圆Ci与圆C2内切或外切，

因为|CIC2|=J(-3)2+42=5,

所以r-2=5或r+2=5,

所以r=7或r=3,故选C.

5.D由题意得直线AB的斜率为与石=1.当直线1与直线AB平行时，设直线1的方程为

x-y+m=O,点A到直线1的距离为吟乙2,解得111=2±2/,直线1的方程为x-y+2-2V2=0或

x-y+2+2e=0.当直线1过AB的中点(1,3)时,若直线1的斜率存在,设直线1的方程为y-3=k(x-l),

整理得kx-y+3-k=0,点A到直线1的距离为华型=2,解得k=0,直线1的方程为y=3;若直线1的斜

',2厂'

率不存在,则直线1的方程为x=l,满足题意.故选D.

6.B因为PC垂直平分AB,所以弦AB可以看作是以PC为直径的圆与圆x2+y2=l的公共弦，而

以PC为直径的圆的方程为(x-l)2+(y-|)24根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB所在直线的

方程为(.1)2+卜|)2孝«+丫2一1)=0,整理可得2*+311=0.

7.C由kx-y+3-3k=0得k(x-3)-y+3=0,则直线过定点C(3,3),由y=2+V-X2+2x+3得

(x-l)2+(y-2)2=4(y》2).如图所示,当直线与半圆相切时，圆心(1,2)到直线的距离(1=庄萼组2,解

一7.2

得k暇;

当直线过点人(-1,2)时,上-2+3-31:=0,解得k=：

4

由于直线与曲线有两个不同的交点，故故选

4qC.

-4-20\

-2

8.D如图所示，由题意得，当NOMN的最大值大于或者等于即寸，一定存在点N,使得NOMN=],

当MN与圆相切时,NOMN取得最大值,此时,sinNOMN=^=瞿巳*解得r=|ON|>6，又

\UM\ZV3L

M(E,3)在圆外,r<2百，综上可得，遍Wr<2g.

9.BC当xi=x2或yi=y2时，方程不成立，故A错误;点(1,3)和点(2,2)连线的斜率k=W=-l,与直线

x-y+l=O垂直，并且两点到直线x-y+l=O的距离均为:所以点(1,3)关于直线x-y+l=O的对称点为

(2,2),故B正确;直线2x-y+4=0与两坐标轴的交点坐标分别是(-2,0)和(0,4),所以直线2x-y+4=0与

两坐标轴围成的三角形的面积是32x4=4,故C正确;当直线过原点时，设其方程为y=kx,代入

(1,1),得k=l,所以直线方程是y=x,当直线不过原点时,设其方程为祥=1,代入(1,1),得号=1,解得

a=2,此时直线方程是为=1,即x+y-2=0,故D错误.故选BC.

10.AC圆心Ck(k,k)的轨迹为直线y=x,即无论k如何变化，圆心Ck始终在一条直线上,A正确；

圆Ck中，当x=3,y=0时,(3-k)2+k2=4=2k2-6k+5=0,因为A=(-6)2-4x2x5=-4<0,所以关于k的方程无

实数根,B错误;选取直线l:x-y±2/=0,圆心Ck(k,k)到直线1的距离d=片±2@=2,即直线1与圆

jl2+(-l)2

Ck相切,C正确;到原点距离为1的点的轨迹是单位圆O:x2+y2=l,当圆O与圆Ck相交时满足条件,

此时|OCk|=&|k|G(1,3),得ke侍苧)或ke(考，阁,D错误.故选AC.

22222

11.BCD圆Ci:x+y=1的圆心为Ci(0,0),半径门=1;圆C2：(x-3)+(y+4)=r(r>0)的圆心为C2(3,-4),

半径为r,则|CIC2|=J(0-3)2+(0+4)2=5.若圆Ci与圆C2无公共点,则只需20|<|7|或

2222

|CiC2|>r+l,解得r>6或0<r<4,故A错;若r=5,则圆C2：(x-3)+(y+4)=25,Sx+y=l与

(x-3>+(y+4)2=25两式作差，可得两圆的公共弦所在直线的方程为6x-8y-l=0,故B正确;若r=2,则

圆C2：(x-3>+(y+4)2=4,此时|CIC2|=5>2+1=3,所以圆Ci与圆C2外离，又P,Q分别是圆Ci与圆C2

上的点，所以ICC卜(1+2)W|PQ|W|CC|+l+2,即2W|PQ|W8,故C正确;当0<r<4时，两圆外离，记直

线6x-8y+r2-26=0上任意一点为M(xo,yo),则6xo-8yo+r2-26=O,所以

MC2X22

|MC11=7^0+yoJI=V(O-3)+(yo+4)=7^o+yo-6^0+8y0+25=7%O+7o+因止匕

切线长分别为di=J|MCi|2-12=J/+y*l,d2=J|MC2『-r2=J4+%-1,即di=d2,故D正确.故选

BCD.

12.ABC由题意得直线11过定点A(0,0),直线12过定点B(l,3),所以A正确;由圆的方程可得圆心

C(2,4),半径r=g,所以圆心C到直线12的距离d」27±"3|=粤』，所以弦长为

2后手=2(2+品©[2,2四心(2/,2旧],即弦长的最小值为2,故8正确;因为两

条直线始终互相垂直,P是两条直线的交点，所以PALPB,可得P的轨迹为圆,设为圆Q,则圆心为

QC泮径因为|CQ|=J(2-—+(4-§=^|^e(r-r；r+r'),两圆相交，所以C正确;

I22

由C可知|PA|2+|PB|2=|AB|2=12+32=1O,由基本不等式，可得也竽生WJ眼罗L圾即

|PA|+|PB|W2V^,当且仅当|PA|=|PB|时，等号成立，所以D不正确.故选ABC.

13.答案3或-7

解析圆C的标准方程是(x-2)2+(y-l)2=4,圆心为C(2,l),半径R=2,由NACB=120。,知C到AB的

距离d=Rcos60。=1,所以1,解得m=3或m=-7.

14.答案6;1

解析Vh过点P(1,2),.-.1+|=10,V12的斜率为2且与1,平行,.・.、2②，由①②可得a=2,b=4,

a+b=6,/.11:^+7=1,即2x+y-4=0,回投=迷,解得m=l或m=-9.当m=-9时J2经过第一象限，不

Z4"

符合题意,m=l.

15.答案V58

解析设A关于y轴的对称点为M,A关于l:x-y-2=0的对称点为D,.'.|MB|=|BA|」AC|=|CD|,连接

MD交直线1于点C,交y轴于点B,则AABC的周长=|AB|+|BC|+|AC|=|MB|+|BC|+|CD|2|MD|,.「

*x1=-1

当M,B,C,D四点共线时,AABC的周长最小.易知M(-2,3).设点D(x,y),则’解得

"(等告-2=0,

二，所以口(5,0).由两点间的距离公式知,0乂|=技了布=画.

1/2345

x-y-2=Q

16.答案[3V2,2V5]

解析由题意得圆Ci的圆心为Ci(2,l),半径ri=V^,圆C2的圆心为C2(-4,-2),半径*2.由弦长

|AB|=2/可得，圆心C2到直线AB的距离d=J名-(竽)2="^=鱼，即心2(3|=鱼,所以点Q的轨

迹方程为(x+4A+(y+2)2=2.设直线0Q与圆Q相切的直线为y=kx,则隼望=VX解得k=l或k=1,

一727

当直线为y=x时，圆心Ci到直线的距离山=4^=冬弦长为2行屏=25-当直线为

y=Jx,即x-7y=0时，圆心Ci到直线的距离"=噌弦长为2个*6=25-打在所以弦

长的取值范围为[3V2,2V5].

17.解析⑴选条件①.设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,

5-D+2E+F^0,

由题意得卜5+6。+3E+F=0,(3分)

.25+3。+4E+F=0,

(D--6,

解得E=2,

[F=-15,

所以圆M的方程为x2+y2-6x+2y-15=0,BP(x-3)2+(y+l)2=25.(6分)

选条件②.设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,

(5—D+2E+尸=0,

由题意得]45+6。+3E+F=°,©分)

I捐-2=0,

(D--6,

解得E=2,

[F=-15,

所以圆M的方程为x2+y2-6x+2y-15=0,

BP(x-3)2+(y+l)2=25.(6分)

选条件③.设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,

出口而音为(5—D+2E+F—0,...

由"心侍(45+6。+3E+F=0,⑴

因为圆截y轴所得弦长为8,

2

所以方程y+Ey+F=0有两个不等的实数根yi,y2,

2=2

Jt|yi-y2|=V(7i+y2)-4yiy2V£'-4F=8,

即E2-4F=64,(ii)(3分)

由(i)(ii)可得D=-6,E=2,F=-15或D=若,E=今产考

又因为圆心M的坐标为整数，

所以D=-6,E=2,F=-15,

故圆M的方程为x2+y2-6x+2y-15=0,IP(x-3)2+(y+1)2=25.(6分)

(2)由(1)知圆心M的坐标为(3,-1),弦的中点为N(2,l),

弦的斜率卜=七二击W(8分)

所以弦所在的直线方程为y-l=.|(x-2),BPy=1x.(10分)

18.解析⑴顶点C到斜边AB所在的直线的距离d=匣学典=浮2遍,(3分)

Jl2+220

所以|AB|=2d=4芯,(4分)

故4ABC的面积S=|x|AB|xd=|x4V5x2V5=20.(6分)

(2)由题意知,CDLAB,

又因为kAB=”,所以kcD=2,(7分)

所以直线CD的方程为y=2x-1和2x-y-l=0,（9分）

X+2y-8=0,解得｛;二如分）

2x-y-l=0,

所以点D的坐标为（2,3）.（12分）

19.解析⑴易知点A在BC边上的高所在的直线x-2y+l=0上，且在NA的平分线所在的直线

y=o上,解方程组优1=仇得Z『'即A（-I,o）,（2分）

因为BC边上的高所在的直线方程为x-2y+l=0,所以kBc=-2,

因为点C的坐标为（1,2）,所以直线BC的方程为2x+y-4=0.（4分）

因为kAc=l,所以kAB二-kAc=-l,所以直线AB的方程为x+y+l=0,

解方程组区得C二!：6即B（5,-6）.（6分）

⑵依题意得直线1的斜率存在,设直线1的方程为y-2=k（x-l）（k<0）,

则M（容,0）,N（0,2-k）,（8分）

所以SAMON=|•塔•(2-k)

4\>1

-)\-4+2卜・(_/=4,(10分)

々/2

当且仅当*=片即k=-2时取等号，所以(S^MON)min=4,此时直线1的方程是2x+y-4=0.(12分)

20.解析⑴由题意知，圆心N也在直线x=0上，

联立仁丁。懈需或

...N(0,l),易知圆N的半径rN=V2,

...圆N的标准方程为x2+(y-l)2=2.(3分)

M(3,4),且|MN|=J(3-0)2+(4—1)2=3/,

rM+rN=2V2+V2=3V2=|MN|,

.•.圆M与圆N外切.(6分)

(2)存在.,.•N(0,l),M(3,4),.•.直线MN的方程为x-y+l=0,

设B(a,a+1),

由|BS|=2|BT|可知,|BS|2=4|BT|2,

即|BN|2-2=4(|BM|2-8),所以|BN|2=4|BM|2-30,

即a2+(a+l-l)2=4[(a-3)2+(a+l-4)2]-30,(9分)

整理得a2-8a+7=0,解得a=l或a=7,

.•.B(l,2)或B(7,8),

当B的坐标为(1,2)时，点B为圆N与圆M的公切点，此时T,S,B重合,不符合题意.

•••存在点B(7,8),满足|BS|=2|BT|.(12分)

21.解析(1)如图，以0为坐标原点,0C所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.

:60临二一,

OL-170x

由条件知,A(0,60),C(170,0),kBc=-tanZBCO=-1.

又因为ABLBC,所以kAB=j.(2分)

设点B的坐标为(a,b),

rrt.rb-041b-603,A

贝'11kBCKM，kAB=kz，(4分)

解得a=80,b=120.

所以|BC|=J(170-80)2+(0—120)2=150.

因此新桥BC的长为150m.(6分)

(2)设保护区的边界圆M的半径为rm,|0M|=dm(0WdW60).

由⑴知，直线BC的方程为y=-1(x-170),

即4x+3y-680=0.

由于圆M