7.1.2全概率公式课件高二下学期数学人教A版选择性

7.1.2全概率公式7.1条件概率与全概率公式设A、B为随机事件，且P(A)>0，则在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率记为P(B|A).(1)求P(B|A)：(2)求P(AB)：③直观意义①概率的乘法公式：P(A)>0时，P(AB)=P(A)P(B|A)②A，B相互独立：P(AB)=P(A)P(B)复习回顾条件概率的公式条件概率的性质条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)>0，则(1)P(Ω|A)=1；(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)；(3)设

和B互为对立事件，则复习回顾自主探究探究：从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.

显然，第1次摸到红球的概率为

.

那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率，下面我们再看一个求复杂事件概率的问题.自主探究探究：从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.

显然，第1次摸到红球的概率为

.

那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？解析：用Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i=1,2.事件R2可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并，即R2=R1R2∪B1R2.利用概率的加法公式和乘法公式，得P(R2)=P(R1R2∪B1R2)=P(R1R2)+P(B1R2)

=P(R1)P(R2|R1)+P(B1)P(R2|B1)P(R2|R1)P(B2|R1)P(R2|B1)P(B2|B1)P(R1)P(B1)R1R2R1B2B1R2B1B2R2B2R2B2B1R1

上述过程采用的方法是:按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率.全概率公式

一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，P(Ai)>0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有

我们称上面的公式为全概率公式.全概率公式使用条件：①A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件；②A1∪A2∪…∪An=Ω；

③P(Ai)>0，且

.全概率公式展开即为：P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An)

某一事件B的发生可能有各种的原因，如果B是由原因Ai(i=1，2，…，n)(Ai两两互斥，构成一个完备事件)所引起，则BAi发生的概率是P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai).对全概率公式的理解每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因Ai引起，BAi(i=1，2，…，n)发生概率的总和，即全概率公式.

由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因求结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.例题解析4、某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解。解：设A1=“第1天去A餐厅用餐”，B1=“第1天去B餐厅用餐”，A2=“第2天去A餐厅用餐”，则Ω=A1∪B1，且A1与B1互斥，根据题意得P(A1)=P(B1)=0.5，P(A2|A1)=0.6，P(A2|B1)=0.8，由全概率公式，得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.5×0.6+0.5×0.8=0.7因此，王同学第2天去A餐厅用餐得概率为0.7.设事件写概率代公式

全概率公式针对的是已知一定的条件，求出某个结果的概率问题，解题步骤一般如下：1、设事件：把事件B(结果事件)看作某一过程的结果，把A1，A2，…，An

看作导致结果的若干个原因；2、写概率：由已知，写出每一原因发生的概率(即P(Ai))，且每一原因对结果的影响程度(即P(B|Ai))；3、代公式：用全概率公式计算结果发生的概率(即P(B)).例题解析5、有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，计算它是第i(i=1，2，3)台车床加工的概率.分析：取到的零件可能来自第1台车床，也可能来自第2台或第3台车床，有3种可能.设B=“任取一零件为次品”，Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1，2，3)，如图所示，可将事件B表示为3个两两互斥事件的并，利用全概率公式可以计算出事件B的概率.A1A2A3A1BA2BA3BB例题解析5、有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，计算它是第i(i=1，2，3)台车床加工的概率.解：设B=“任取一个零件为次品”，Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1，2，3)，则Ω=A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，根据题意得P(A1)=0.25，P(A2)=0.3，P(A3)=0.45，P(B|A1)=0.06,P(B|A2)=

P(B|A3)=0.05.(1)由全概率公式，得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.0525A1A2A3A1BA2BA3BB例题解析5、有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，计算它是第i(i=1，2，3)台车床加工的概率.解：(2)“如果取到得零件是次品，计算它是第i(i=1，2，3)台车床加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概率.随堂练习1、(P52T1)现有12道四选一的单选题，学生张君对其中9道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25.(1)张君从这12道题中随机选择1题，求他做对该题的概率；(2)若他做对了该题，求他选择的是完全没有思路的题的概率.解：设事件A=“对所选的题目有思路”，=“对所选的题目完全没有思路”，事件B=“做对所选的题目”.(1)由全概率公式，得即他做对该题的概率为0.7375.随堂练习1、(P52T1)现有12道四选一的单选题，学生张君对其中9道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25.(1)张君从这12道题中随机选择1题，求他做对该题的概率；(2)若他做对了该题，求他选择的是完全没有思路的题的概率.解：设事件A=“对所选的题目有思路”，=“对所选的题目完全没有思路”，事件B=“做对所选的题目”.(2)要求的是即他做对该题的概率为.随堂练习2、(P52T4)甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球.求摸到红球的概率.解：记A1=“从甲箱摸球”，A2=“从乙箱摸球”，且A1，A2互斥.B=“摸到红球”，则B=A1B∪A2B由全概率公式得，P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)自主探究5、有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，计算它是第i(i=1，2，3)台车床加工的概率.解：设B=“任取一个零件为次品”，Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1，2，3)，则Ω=A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，根据题意得P(A1)=0.25，P(A2)=0.3，P(A3)=0.45，A1A2A3A1BA2BA3BB思考：P(Ai)，P(Ai|B)的实际意义是什么？P(Ai)称为先验概率，P(Ai|B)称为后验概率若对加工的次品要求操作员承担相应的责任，则

就分别是第1，2，3台车床操作员应承担的份额.贝叶斯公式*

设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有例题解析6、在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.

由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.

已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；已知发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.(1)分别求接收为0和1的概率；分析：设A=“发送的信号为0”，B=“接收到的信号为0”.

为便于求解，我们可将目中所包含的各种信息用图直观表示。发送0(A)

接收0(B)

例题解析6、在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.

由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.

已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；已知发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.(1)分别求接收为0和1的概率；解：设A=“发送的信号为0”，B=“接收到的信号为0”，则

=“发送的信号为1”，

=“接收到的信号为1”.由题意得＝0.5×0.9+0.5×0.05=0.475例题解析6、在数字通信中，