专题12 一元二次方程（专项训练）（解析版）

专题12一元二次方程一、单选题1．（2021·重庆实验外国语学校九年级）如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点的坐标为，对角线，相交于点，双曲线经过点，交边于点，且，则的坐标为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】过点作，求得点和点坐标，从而求得直线和反比例函数的解析式，联立即可求解．【详解】解：过点作，如下图：在菱形中，，，∵，∴设，则，由题意可知，，即由勾股定理得，解得或（舍去）∴，，由勾股定理得：，∴将代入得，解得，即又∵为的中点∴设直线解析式为，代入、得解得，即联立和得化简得：解得或（舍）将代入得，，即故选C【点睛】此题考查了反比例函数与几何的综合应用，涉及了勾股定理、菱形的性质、一元二次方程求解以及一次函数的性质，熟练掌握相关基本性质，灵活运用性质是解题的关键．2．（2021·宜兴市实验中学九年级）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑，内方圆径若能知，堪作算中第一”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形的边长是步，则列出的方程是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据正方形的边长是x步，则圆的直径为（x+6）步，利用圆的面积减去正方形的面积等于耕地面积，列出方程即可．【详解】∵正方形的边长是x步，∴圆的直径为（x+6）步，∴,故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，利用圆的面积与正方形的面积差为耕地面积是解题的关键．3．（2021·西宁市教育科学研究院中考真题）某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方米，2020年用水总量为5.265亿立方米．设该市用水总量的年平均降低率是x，那么x满足的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意2019年用水总量为亿立方米，2020年用水总量为亿立方米，从而可得x满足的方程．【详解】解：由题意可得：2019年用水总量为亿立方米，2020年用水总量为亿立方米，所以．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是理解年平均降低率的含义．4．（2021·四川巴中·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（）A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对【答案】A【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，则，即可求解．【详解】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，

∴，

∴（20−x）2＝20x，故选：A．【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．5．（2021·贵州遵义·）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（）A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0【答案】B【分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案.【详解】解：小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，所以此时方程为：即：小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，所以此时方程为：即：从而正确的方程是：故选：【点睛】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键.6．（2021·西藏中考真题）已知一元二次方程x2﹣10x＋24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（）A．6 B．10 C．12 D．24【答案】C【分析】利用因式分解法求出已知方程的解确定出菱形两条对角线长，进而求出菱形面积即可．【详解】解：方程x2﹣10x＋24＝0，分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，可得x﹣4＝0或x﹣6＝0，解得：x＝4或x＝6，∴菱形两对角线长为4和6，则这个菱形的面积为×4×6＝12．故选：C．【点睛】此题考查了求解一元二次方程和菱形的面积公式，难度一般．7．（2021·湖南湘潭·中考真题）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程得（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据每次降价的百分率相同，得到第一次降价后为元，第二次降价后为，再结合题意解题即可．【详解】解：根据题意，设平均每次降价的百分率为x，可列方程故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的应用增长率问题，是重要考点，难度较易，掌握相关是解题关键．8．（2021·珠海市紫荆中学九年级）直线经过第一、三、四象限，则关于的方程实数解的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都有可能【答案】C【分析】利用一次函数的性质得到a＜0，由此可得△，从而得到方程根的情况．【详解】解：直线经过第一、三、四象限，∴a＜0，∴△，方程有两个不相等的实数根．故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．9．（2021·内蒙古九年级）方程的解为（）A．或 B． C． D．或【答案】D【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】解：x（x−1）＝x，x（x−1）−x＝0，x（x−1−1）＝0，x＝0，x−1−1＝0，x₁＝0，x₂＝2．故选D．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．10．（2021·广东广州·执信中学九年级）若x1、x2是方程的两个实数根，则代数式的值等于（）A．2020 B．2019 C．2029 D．2028【答案】D【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出，，再将代入原式变形为，代入计算可得．【详解】解：，是方程的两个实数根，，，即，则．故选：D．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．二、填空题11．（2021·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学九年级）小丽在解一个三次方程x3－2x＋1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为(x－1)(x2＋bx＋c)＝0．根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解______．【答案】或1【分析】由(x－1)(x2＋bx＋c)＝0变形为，根据一一对应的原则求得b、c的值，然后运用因式分解和公式法求解即可．【详解】解：∵(x－1)(x2＋bx＋c)＝0，∴，又由题意得：，∴解得：∴，∴，，∴由求根公式得：，则原方程所有的解为：或1，故答案为：或1．【点睛】本题主要考查了方程的解的定义和公式法求解一元二次方程，解题关键是根据一一对应的关系求出b、c的值．12．（2021·哈尔滨市萧红中学九年级）某商品经过两次连续涨价，由原来的每件100元上涨为每件144元．若两次涨价的百分比相同，则每次涨_______％．【答案】20【分析】此题可设平均每次涨价的百分率为x，那么第一次涨价后的单价是原来的（1+x），那么第二次涨价后的单价是原来的（1+x）2，根据题意列方程解答即可．【详解】解：设平均每次涨价的百分率为x，根据题意列方程得100（1+x）2＝144，解得x1＝0.2，x2＝-2.2（不符合题意，舍去），即该商品平均每次涨价的百分率为20%．故答案是：20．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．13．（2021·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级）已知是一元二次方程x2－4x－7＝0的两个实数根，则的值是________．【答案】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再将变形可得，最后代入即可求解.【详解】解：因为是一元二次方程x2－4x－7＝0的两个实数根，所以，，因为=，所以==，故答案为：.【点睛】本题主要一元二次方程根与系数关系，解决本题的关键是要灵活运用一元二次方程根与系数关系.14．（2021·山东济南·中考真题）关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是__________．【答案】-3【分析】由题意可把x=2代入一元二次方程进行求解a的值，然后再进行求解方程的另一个根．【详解】解：由题意把x=2代入一元二次方程得：，解得：，∴原方程为，解方程得：，∴方程的另一个根为-3；故答案为-3．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及其解法，熟练掌握一元二次方程的解及其解法是解题的关键．15．（2021·四川巴中·中考真题）关于x的方程2x2+mx﹣4＝0的一根为x＝1，则另一根为________．【答案】x2=-2【分析】设方程的另一根为x2，根据根与系数的关系可得x2=-2，解答出即可．【详解】解：设方程的另一根为x2，∵关于x的方程2x2+mx-4=0的一根为x=1，则1×x2==-2，解得x2=-2．故答案为：x2=-2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1•x2=．三、解答题16．（2021·辽宁沈阳·中考真题）某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，求增加了多少行或多少列？【答案】增加了3行3列．【分析】设增加了行，则增加的列数为，用增加后的总人数原队伍的总人数列出方程求解即可．【详解】解：设增加了行，则增加的列数为，根据题意，得：，整理，得：，解得，（舍，答：增加了3行3列．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．17．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，四边形是⊙的内接矩形，过点的切线与的延长线交于点，连接与交于点，，．（1）求证：；（2）设，求的面积（用的式子表示）；（3）若，求的长．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）由矩形性质可得,然后证明即可得出结论；（2）根据勾股定理得出，根据相似三角形性质得出，则，根据勾股定理得出的值，运用三角形面积公式表示即可；（3）记与圆弧交于点，连接，证明，即可得出，求出的值，过作于，过作于．运用等面积法得出，根据勾股定理得出，代入数据联立的值，解方程得出，，设，则，根据相似三角形性质即可得出结论．【详解】解：（1）∵四边形为的内接矩形，∴，过圆心，且．∵,∴,又∵是的切线，故，由此可得，又∵与都是圆弧所对的圆周角，∴，∴，又∵，∴；（2）解：由，，则，由题意．由（1）知，则，代入，，，可得，解得．在直角中，，所以；（3）解：记与圆弧交于点，连接．∵，，，∴．又，所以，∴．∴，故．由（2）知，由，，则，由题意可得，代入数据，，，得到，解得①．过作于，过作于．易知．由等面积法可得，代入数据得，即．在直角三角形中，．②由①②可得，得，解得，（舍去）．所以，．由，故，故．设，则，代入得，解得，即的长为．【点睛】本题考查了圆的综合问题，相似三角形判定与性质，圆切线的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识点，熟练运用相似三角形性质列出方程是解题的关键．18．（2021·山东潍坊·中考真题）（1）计算：；（2）先化简，再求值：（x，y）是函数y＝2x与的图象的交点坐标．【答案】（1）9；（2）y-x，1或-1．【分析】（1）根据实数的运算法则计算；（2）首先根据图象交点的求法得到x与y的值，再对原式进行化简，然后把x与y的值代入化简后的算式可得解．【详解】解：（1）原式=1+9+（1-×18）=1+9-1=9；（2）由已知可得：，解之可得：或，∵原式===y-x，∴当时，原式=2-1=1；当时，原式=-2-（-1）=-1；∴原式的值为1或-1．【点睛】本题考查实数与函数的综合应用，熟练掌握实数的运算法则、分式的化简与求值、函数图象交点的求法是解题关键．19．（2021·江苏徐州·）（1）解方程：（2）解不等式组：【答案】（1），；（2）【分析】（1）根据分解因式法求解一元二次方程，即可得到答案；（2）根据一元一次不等式组的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）∵∴∴，；（2）∵∴∴∴．【点睛】本题考查了一元二次方程、一元一次不等式组的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、一元一次不等式组的解法，从而完成求解．20．（2021·建昌县教师进修学校九年级）某儿童玩具店销售一种玩具，每个进价为60元，现以每个100元销售，每天可售出20个，为了迎接六一儿童节，店长决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：若每个玩具每降价1元，则每天多售出2个．设该玩具的销售单价为（元），日销售量为（个）．（1）求与之间的函数关系式．（2）为了增加盈利，减少库存，且日销售利润要达到1200元，销售单价应定为多少元？（3）若销售单价不低于成本价，每个获利不高于成本价的30%，将该玩具的销售单价定为多少元时，玩具店每天销售该玩具获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）；（2）销售单价应定为元；（3）销售单价定为元时，玩具店每天销售该玩具获得的利润最大，最大利润是元【分析】（1）根据：日销售量=每个玩具的销售单价×降价后每天的销售数量，可列出y关于x的函数关系式；（2）根据：每天的总利润=每个玩具利润×降价后每天的销售数量，列方程即可求解；（3）设日销售利润为元，根据题意得到二次函数，利用二次函数的性质，结合x的范围可求出最大利润．【详解】解：（1）根据题意，得：，即，∴y与x之间的函数关系式为；（2），，解，得，（不合题意，舍去），答：销售单价应定为元；（3）设日销售利润为元，根据题意，得，∵＜0，∴抛物线开口向下，有最大值，由已知，∴≤≤，∴时，随的增大而增大，∴时，有最大值，，答：销售单价定为元时，玩具店每天销售该玩具获得的利润最大，最大利润是元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数以及二次函数的实际应用，求函数的最值时，应注意自变量的取值范围．21．（2021·银川市第三中学）如图，在平面直角坐标系中有矩形，，，连接，点从顶点出发以1.5个单位/秒的速度在线段上向点运动，同时点从顶点出发以1个单位/秒的速度在线段上向点运动，只要有一个点先到达终点，两个点就停止运动．过点作，交于点，连接，设运动时间为秒．（1）当时，______．（2）设的面积为，写出关于的函数表达式，并写出的面积最大时点的坐标；（3）直接写出运动过程中，为等腰三角形时的值．【答案】（1）；（2），；（3），，【分析】（1）延长交于点，由四边形AOBC为矩形，可得AC∥OB，AC=OB=8，由，可证四边形为矩形，当时，QB=2，由EF∥OA，可证，可求．由，可求即可；（2）由，与，可得与，可求，利用三角形面积公式，利用二次函数性质可得当时，S△PCE最大，S△PCE最大=4即可；（3）先分别求出，CE=，PE=，根据为等腰三角形时可分为三种情况当，，时，分别列方程求解即可．【详解】解：（1）延长交于点，∵四边形AOBC为矩形，∴AC∥OB，AC=OB=8，∵，∴，∴∠FQB=∠QBC=∠BCF=90°，∴四边形为矩形，当时，QB=2×1=2∴．∵EF∥OA，∴∠EFC=∠OAF，∠FEC=∠AOC，∴，∴，即，∴．∵，∴，∴．故答案为；（2）∵，∵，∴，即，∴．∵，∴，∴∵，∴当时，S△PCE最大，S△PCE最大=4．∴，QE=QF-EF=6-2=4，∴OQ=OB-QB=∴；（3）由（2）得，，，PF=8-AP-CF=8-1.5t-t=8-2.5t在Rt△ECF中，由勾股定理CE=，在Rt△PFE中由勾股定理PE=，①如图，当时，EF⊥PC，∴PF=CF，即解得；②当时，即解得；③当时，整理得，，t=0（舍）．∴为等腰三角形时的值为或或．【点睛】本题考查锐角三角函数，平面直角坐标系中图形动点问题，三角形面积，二次函数最值问题，矩形性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，等腰三角形，建构方程与解方程，掌握锐角三角函数，图形动点的速度，时间与路程关系，三角形面积，二次函数最值问题，矩形性质，勾股定理应用，三角形相似判定与性质应用，等腰三角形分类思想的运用，建构方程与解方程是解题关键．22．（2021·辽宁本溪·中考真题）某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）y=-2x