河南省2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题【含答案解析】

2023~2024学年高二下学期期中联考考试数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.垃圾分类是保护环境、改善人居环境、促进城市精细化管理、保障可持续发展的重要举措，现将3袋垃圾随机投入4个不同的垃圾桶，则不同的投法有（）A.7种 B.12种 C.64种 D.81种【答案】C【解析】【分析】因为每袋垃圾均有4个垃圾桶可以选择，结合分步乘法计数原理运算求解.【详解】因为每袋垃圾均有4个垃圾桶可以选择，不同的投法有种.故选：C.2.若函数，则（）A.3 B. C.1 D.0【答案】A【解析】【分析】求导可得，即可得结果.【详解】由题意可得：，所以.故选：A.3.记等差数列的前项和为，已知，则公差（）A.-1 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】根据等差数列求和公式得到方程组，求出公差.【详解】由等差数列求和公式得，解得.故选：A4.小明骑自行车上学，从家到学校需要经过三个十字路口，已知在十字路口遇到红灯的概率均为，每次红灯需要等待一分钟且在每个路口是否遇到红灯相互独立，则红灯等待时间不少于两分钟的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可知：小明遇到2个或3个红绿灯，结合独立重复事件概率公式运算求解.【详解】记“红灯等待时间不少于两分钟的概率”为事件A，由题意可知：事件A：小明遇到2个或3个红绿灯，所以.故选：C.5.王华有张不同的邮票要分给、、三个好朋友，其中分得张，、每人至少分得一张，则不同的分法有（）A.120种 B.210种 C.240种 D.360种【答案】B【解析】【分析】分两种情况讨论，、各分得张与、两人一人得张、另外一人得张，按照分步、分类计数原理及组合数公式计算可得.【详解】依题意，若、各分得张，则有种不同的分法；若、两人一人得张、另外一人得张，则有种不同的分法；综上可得一共有种不同的分法.故选：B6.某养猪场圈养了1000头小猪，计划半年后出栏，根据经验，该品种的猪生长半年后达到的重量（kg）服从正态分布，当猪的重量大于90kg时，即可出栏，则半年后即可出栏的猪的数量约为（）（参考数据：若，则，）A.683 B.841 C.977 D.955【答案】C【解析】【分析】由题意可知：，则，结合正态分布的原则分析求解.【详解】由题意可知：，则，可得，所以半年后即可出栏的猪的数量约为.故选：C.7.已知是等比数列的前n项和，若，，则（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】【分析】由题可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.【详解】∵为等比数列的前n项和，∴，，成等比数列，∴，，∴，∴.故选：B.8.已知为双曲线的右顶点，为坐标原点，，为双曲线上两点，且，直线，的斜率分别为3和，则双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】根据，可知两点关于原点对称，设出的坐标，可得直线的斜率，利用点差法求得，进而求得双曲线的离心率.【详解】因为，则，可知是中点，即两点关于原点对称，由题意可知：，设，则，则，可得，所以.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在的展开式中，下列命题正确的是（）A.二项式系数之和为64 B.所有项系数之和为C.常数项为60 D.第3项的二项式系数最大【答案】AC【解析】【分析】对于A：根据二项式系数之和为分析判断；对于B：令，可得所有项系数之和；对于C：结合二项展开式的通项分析求解；对于D：根据二项式系数的最值分析求解.【详解】对于选项A：因为，可知二项式系数之和为，故A正确；对于选项B：令，可得所有项系数之和为，故B错误；对于选项C：因为展开式的通项为，令，可得，所以常数项为，故C正确；对于选项D：因为，可知二项式系数最大值为，为第4项，故D错误；故选：AC.10.已知圆，，则下列结论正确的有（）A.若圆和圆相交，则B.若圆和圆外切，则C.当时，圆和圆有且仅有一条公切线D.当时，圆和圆相交弦长为【答案】ABD【解析】【分析】根据题意求圆心和半径.对于AB：根据圆与圆的位置关系分析求解；对于C：结合选项A分析判断；对于D：先两圆方程作差求公共弦所在直线的方程，结合垂径定理求弦长.【详解】由题意可知：圆的圆心，半径；圆的圆心，半径；则，对于选项A：若圆和圆相交，则，即，解得，故A正确；对于选项B：若和外切，则，即，解得，故B正确；对于选项C：当时，由选项A可知：圆和圆相交，所以圆和圆有且仅有2条公切线，故C错误；对于选项D：当时，由选项A可知：圆和圆相交，且圆，，两圆方程作差得，即公共弦所在直线的方程为，圆心到直线的距离，所以公共弦长为，故D正确.故选：ABD11.已知定义在上的可导函数满足，当且仅当时，等号成立，，下列说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】构建，求导，结合题意分析可知在上单调递增，结合单调性分析判断.【详解】构建，可知的定义域为，则，由题意可知：，当且仅当时，等号成立，所以在上单调递增，则，即，可得，，，，故BCD正确，A错误.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则__________.【答案】3【解析】【分析】根据排列数和组合数可得，且，运算求解即可.【详解】因为，则，且，整理得：，解得或（舍去）.故答案：3.13.已知甲射击命中的概率为，且每次射击命中得分，未命中得分，每次射击相互独立，设甲次射击的总得分为随机变量，则__________.【答案】【解析】【分析】设命中的次数为，则，，根据二项分布的方差公式及方差的性质计算可得.【详解】设命中的次数为，则，所以，又，所以.

故答案为：14.已知抛物线的焦点为，准线为，点是上一点，过点作的垂线交轴的正半轴于点，交于点，与轴平行，则__________.【答案】【解析】【分析】设，结合已知条件，求出点和点的坐标表示，由三点共线求出的值，再结合两点之间的距离公式求出结果.【详解】由抛物线的方程，可得焦点为，准线方程为，设，则，因为，所以，直线：，令，得，即，设，由，，三点共线，得，整理得，解得或(舍)，所以，所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤；15.已知数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）已知，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意分和两种情况，分析可知数列等比数列，结合等比数列分析求解；（2）由（1）可得，利用裂项相消法分析求解.【小问1详解】因为，若，可得，解得；若，可得，，两式相减得，整理得，且，可得，可知数列是以首项为1，公比为的等比数列，所以.【小问2详解】由（1）可得：，则，所以.16.如图，在四棱锥中，平面，，，是等边三角形，为的中点.（1）证明：；（2）若，求平面与平面夹角正弦值.【答案】（1）证明见详解（2）【解析】【分析】（1）先证明，，然后利用线面垂直的判定定理证明垂直于平面；（2）通过建立空间直角坐标系，由空间向量法即可求出两平面夹角的余弦值.【小问1详解】由于是等边三角形，为的中点．故是等边的中线，则，又因为平面，平面内，可得，且，平面，可得平面，由平面，所以.【小问2详解】取的中点，连接，因为是的中点，可知是三角形的中位线，故∥.因为平面，∥，所以平面，即三线两两垂直.以为坐标原点，方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则由，，，，则，可得，，，则，．设平面的法向量为，则，令，则，，故．由题意可知：平面的一个法向量为.可得，所以平面与平面夹角的余弦值为．17.已知椭圆过点，直线过的上顶点和右焦点，的倾斜角为，且满足.（1）求椭圆的标准方程；（2）设两点为椭圆的左、右顶点，点（异于左、右顶点）为椭圆上一动点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值.【答案】（1）（2）证明见详解【解析】【分析】（1）先利用倍角公式结合，结合椭圆的性质列式求，即可得方程；（2）设，可得，结合斜率公式分析证明.【小问1详解】因为，由题意可知：，则，可得，解得或（舍去），即的斜率为，由题意可知：，解得，所以椭圆方程为.【小问2详解】由（1）可知，设，由可得，则，所以为定值.18.智能制造离不开精密的零件，某车间生产精密零件，按照包装每箱10个，某工厂质检人员需要开箱随机检查零件质量.（1）已知某箱零件中有2个次品，从中随机抽取3个零件检查，设随机变量为次品个数，求；（2）根据历年数据统计该车间生产的零件中，每箱有0个，1个，2个次品的概率分别为0.6，0.3，0.1，每箱随机检查3个零件，若发现有次品，则质检不合格，从某批次的产品中，任选一箱，求检测合格的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可知：随机变量的可能取值有0，1，2，结合超几何分步求相应的概率，进而可求期望；（2）记抽到0个，1个，2个次品的箱子分别为事件，检测合格为事件，由题意可得，，利用全概率公式分析求解.【小问1详解】由题意可知：随机变量的可能取值有0，1，2，则：，可知.【小问2详解】记抽到0个，1个，2个次品的箱子分别为事件，检测合格为事件，则，且，由全概率公式可得：.所以检测合格的概率为.19.已知函数有两个零点.（1）求取值范围；（2）函数，若与有相同的值域，求的值，并证明：，恒成立.【答案】（1）（2），证明见解析【解析】【分析】（1）利用为偶函数，利用导数可得时，为增函数，可得的最小值，从而可得，求解即可；（2）利用放缩法可得利用导数可证，再利用放缩法可得,进而可证结论.【小问1详解】因为，定义域为，又,所以函