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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在中,为边上的中点,且,则()A. B. C. D.2.若复数为虚数单位在复平面内所对应的点在虚轴上,则实数a为()A. B.2 C. D.3.过双曲线的左焦点作直线交双曲线的两天渐近线于,两点,若为线段的中点,且(为坐标原点),则双曲线的离心率为()A. B. C. D.4.将函数图象向右平移个单位长度后,得到函数的图象关于直线对称,则函数在上的值域是()A. B. C. D.5.若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数,则实数的取值范围是()A. B.C. D.6.已知全集为,集合,则()A. B. C. D.7.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,则双曲线的离心率为()A. B. C.3 D.48.设复数满足,则在复平面内的对应点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.已知a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且a⊂α,b⊂β,aβ,bα,则“ab“是“αβ”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10.若平面向量,满足,则的最大值为()A. B. C. D.11.已知复数满足,则()A. B. C. D.12.如图,在直三棱柱中,,,点分别是线段的中点,,分别记二面角,,的平面角为,则下列结论正确的是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在中,已知,,是边的垂直平分线上的一点,则__________.14.已知复数,其中为虚数单位,若复数为纯虚数,则实数的值是__.15.已知双曲线的一条渐近线为,且经过抛物线的焦点,则双曲线的标准方程为______.16.设、分别为椭圆:的左、右两个焦点,过作斜率为1的直线,交于、两点,则________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在四棱锥中,底面是平行四边形,底面.(1)证明:;(2)求二面角的正弦值.18.(12分)如图,在斜三棱柱中,已知为正三角形,D,E分别是,的中点,平面平面,.(1)求证:平面;(2)求证:平面.19.(12分)设函数.(Ⅰ)当时,求不等式的解集;(Ⅱ)若函数的图象与直线所围成的四边形面积大于20,求的取值范围.20.(12分)已知函数,(1)证明:在区间单调递减;(2)证明:对任意的有.21.(12分)已知函数,其中为自然对数的底数,.(1)若曲线在点处的切线与直线平行,求的值;(2)若,问函数有无极值点?若有,请求出极值点的个数;若没有,请说明理由.22.(10分)已知在四棱锥中,平面,,在四边形中,,,,为的中点,连接,为的中点,连接.(1)求证:.(2)求二面角的余弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
由为边上的中点,表示出,然后用向量模的计算公式求模.【详解】解:为边上的中点,,故选:A【点睛】在三角形中,考查中点向量公式和向量模的求法,是基础题.2、D【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为求得值.【详解】解:在复平面内所对应的点在虚轴上,,即.故选D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.3、C【解析】由题意可得双曲线的渐近线的方程为.∵为线段的中点,∴,则为等腰三角形.∴由双曲线的的渐近线的性质可得∴∴,即.∴双曲线的离心率为故选C.点睛:本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质,考查了离心率的求解,同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用,对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出,代入公式;②只需要根据一个条件得到关于的齐次式,转化为的齐次式,然后转化为关于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范围).4、D【解析】
由题意利用函数的图象变换规律,三角函数的图象的对称性,余弦函数的值域,求得结果.【详解】解:把函数图象向右平移个单位长度后,可得的图象;再根据得到函数的图象关于直线对称,,,,函数.在上,,,故,即的值域是,故选:D.【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律,三角函数的图象的对称性,余弦函数的值域,属于中档题.5、C【解析】
由题可知,设函数,,根据导数求出的极值点,得出单调性,根据在区间内的解集中有且仅有三个整数,转化为在区间内的解集中有且仅有三个整数,结合图象,可求出实数的取值范围.【详解】设函数,,因为,所以,或,因为时,,或时,,,其图象如下:当时,至多一个整数根;当时,在内的解集中仅有三个整数,只需,,所以.故选:C.【点睛】本题考查不等式的解法和应用问题,还涉及利用导数求函数单调性和函数图象,同时考查数形结合思想和解题能力.6、D【解析】
对于集合,求得函数的定义域,再求得补集;对于集合,解得一元二次不等式,再由交集的定义求解即可.【详解】,,.故选:D【点睛】本题考查集合的补集、交集运算,考查具体函数的定义域,考查解一元二次不等式.7、A【解析】
根据题意,由抛物线的方程可得其焦点坐标,由此可得双曲线的焦点坐标,由双曲线的几何性质可得,解可得,由离心率公式计算可得答案.【详解】根据题意,抛物线的焦点为,则双曲线的焦点也为,即,则有,解可得,双曲线的离心率.故选:A.【点睛】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程,关键是求出抛物线焦点的坐标,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8、C【解析】
化简得到,得到答案.【详解】,故,对应点在第三象限.故选:.【点睛】本题考查了复数的化简和对应象限,意在考查学生的计算能力.9、D【解析】
根据面面平行的判定及性质求解即可.【详解】解:a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α,由a∥b,不一定有α∥β,α与β可能相交;反之,由α∥β,可得a∥b或a与b异面,∴a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α,则“a∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要条件.故选:D.【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断,考查面面平行的判定与性质,属于基础题.10、C【解析】
可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达,利用向量数量积的性质,化简为三角函数最值.【详解】由题意可得:,,,故选:C【点睛】本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点.本题属中档题.11、A【解析】
由复数的运算法则计算.【详解】因为,所以故选:A.【点睛】本题考查复数的运算.属于简单题.12、D【解析】
过点作,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法求解二面角的余弦值得答案.【详解】解:因为,,所以,即过点作,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,则,0,,,,,,0,,,1,,,,,,,设平面的法向量,则,取,得,同理可求平面的法向量,平面的法向量,平面的法向量.,,..故选:D.【点睛】本题考查二面角的大小的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
作出图形,设点为线段的中点,可得出且,进而可计算出的值.【详解】设点为线段的中点,则,,,.故答案为:.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算,涉及平面向量数量积运算律的应用,解答的关键就是选择合适的基底表示向量,考查计算能力,属于中等题.14、2【解析】
由题,得,然后根据纯虚数的定义,即可得到本题答案.【详解】由题,得,又复数为纯虚数,所以,解得.故答案为:2【点睛】本题主要考查纯虚数定义的应用,属基础题.15、【解析】
设以直线为渐近线的双曲线的方程为,再由双曲线经过抛物线焦点,能求出双曲线方程.【详解】解:设以直线为渐近线的双曲线的方程为,∵双曲线经过抛物线焦点,∴,∴双曲线方程为,故答案为:.【点睛】本题主要考查双曲线方程的求法,考查抛物线、双曲线简单性质的合理运用,属于中档题.16、【解析】
由椭圆的标准方程,求出焦点的坐标,写出直线方程,与椭圆方程联立,求出弦长,利用定义可得,进而求出。【详解】由知,焦点,所以直线:,代入得,即,设,,故由定义有,,所以。【点睛】本题主要考查椭圆的定义、椭圆的简单几何性质、以及直线与椭圆位置关系中弦长的求法,注意直线过焦点,位置特殊,采取合适的弦长公式,简化运算。三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析(2)【解析】
(1)利用正弦定理求得,由此得到,结合证得平面,由此证得.(2)建立空间直角坐标系,利用平面和平面的法向量,计算出二面角的余弦值,再转化为正弦值.【详解】(1)在中,由正弦定理可得:,,底面,平面,;(2)以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,,设平面的法向量为,由可得:,令,则,设平面的法向量为,由可得:,令,则,设二面角的平面角为,由图可知为钝角,则,,故二面角的正弦值为.【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明,考查空间向量法求二面角,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.18、(1)见解析;(2)见解析【解析】
(1)根据,分别是,的中点,即可证明,从而可证平面;(2)先根据为正三角形,且D是的中点,证出,再根据平面平面,得到平面,从而得到,结合,即可得证.【详解】(1)∵,分别是,的中点∴∵平面,平面∴平面.(2)∵为正三角形,且D是的中点∴∵平面平面,且平面平面,平面∴平面∵平面∴∵且∴∵,平面,且∴平面.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定,面面垂直的性质等,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养,中档题.19、(1)(2)【解析】
(Ⅰ)当时,不等式为.若,则,解得或,结合得或.若,则,不等式恒成立,结合得.综上所述,不等式解集为.(Ⅱ)则的图象与直线所围成的四边形为梯形,令,得,令,得,则梯形上底为,下底为11,高为..化简得,解得,结合,得的取值范围为.点睛:含绝对值不等式的解法有两个基本方法,一是运用零点分区间讨论,二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想,法二是运用数形结合思想,将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用,这是命题的新动向.20、(1)答案见解析.(2)答案见解析【解析】
(1)利用复合函数求导求出,利用导数与函数单调性之间的关系即可求解.(2)首先证,令,求导可得单调递增,由即可证出;再令,再利用导数可得单调递增,由即可证出.【详解】(1)显然时,,故在单调递减.(2)首先证,令,则单调递增,且,所以再令,所以单调递增,即,∴【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数证明不等式,解题的关键掌握复合函数求导,属于难题.21、(1)(2)没有,理由见解析【解析】
(1)求导,研究函数在x=0处的导数,等于切线斜率,即得解;(2)对f(x)求导,构造,可证得,得到,即得解【详解】(1)由题意得,∵曲线在点处的切线与直线平行,∴切线的斜率为,解得.(2)当时,,,设,则,则函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,又函数,故恒成立,∴函数在定义域内单调递增,函数不存在极值点.【点睛】本题考查了导数在切线问题和函数极值问题中的应用,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.22、(1)见解析;
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