2023-2024学年高一数学2019单元复习试题单元复习13立体几何初步提高题-1

单元复习13立体几何初步

基础纲3

一、单选题

1.下列说法中正确的是()

A.直四棱柱是长方体

B.圆柱的母线和它的轴可以不平行

C.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形

D.以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为

圆锥

【答案】C

【分析】根据相关立体几何图形的性质逐项判断即可.

【解析】对于A：由直四棱柱的定义可知，长方体是直四棱柱，

但当底面不是长方形时，直四棱柱就不是长方体，故A错误；

对于B：根据圆柱母线的定义可知，圆柱的母线和它的轴平行，故B错误；

对于C：由正棱锥的定义可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故C正确；

对于D：当以斜边为旋转轴时，会得到两个同底的圆锥组合体，故D错误.

故选：C.

2.如图正方形以8c边长为1cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长

是多少cm?()

【答案】B

【分析】根据直观图与原图形的关系可知原图为平行四边形，且也，利用勾股定理

计算出其边长即可求得结果.

【解析】根据直观图可画出原图形如下图所示:

根据斜二测画法可知，原图四边形。/eG为平行四边形，且

易知«4=。/=1,O\B\=2OB=26.,

所以4g=J1+(2厨=3,

因此。。44G的周长为2（。4+4片）=2（1+3）=8.

故选：B

3.设/,加是两条不同的直线，a,p,y是三个不同的平面，下列说法正确的是（）

A.若〃/a,mlla,则/〃加B.若〃/a,〃/4，则a//£

C.若Ua,mla,则"/胴D.若aly,。Ly,则a〃尸

【答案】C

【分析】根据直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系依

次判断选项即可.

【解析】对选项A,若〃/a,〃?〃a,贝”与加的位置关系是平行，相交和异面，故A错误.

对选项B,若〃/a,〃啰，则a与尸的位置关系是平行和相交，故我昔误.

对选项C,若mla,则根据线面垂直的性质得/与族的位置关系是平行，故C正确.

对选项D,若£17,则a与夕的位置关系是平行和相交，故D错误.

故选：C

4.四棱锥P-/8C。如图所示，则直线和（)

A.与直线力。平行B.与直线/摊交

C.与直线劭平行D.与直线8〃是异面直线

【答案】D

【分析】根据异面直线的定义即可求解.

【解析】根据异面直线的定义，不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线，可以判

断直线PC与直线力以直线能是异面直线.

故选：D.

5.已知“8C是边长为3的等边三角形，其顶点都在球族球面上，若球徽体积为等则

球心分U平面4成的距离为（）

A.也B,-C.1D.理

22

【答案】C

【分析】设的中心为。-求得。产=百，再根据球切J体积为等，求得半径，然后

利用球的截面性质求解.

【解析】解：如图所示：

因为“8C是边长为3的等边三角形，且的中心为。一

所以。/=6，

又因为球加勺体积为等，

所以P=4羊X）〃，

解得r=2,即OB=2,

22

所以oq=^OB-O{B=1,

即球心分U平面力比的距离为1,

故选：c

6.如图，在正方体/8C。-4耳CQ中，也八分别为然，48的中点，则下列说法中不氐确

A.MV//平面/

B.MN1AB

C.直线版修平面力物所成的角为60°

D.异面直线物与DD｝所成的角为45°

【答案】C

【分析】取棱力。，/4中点反产，利用线面平行的判定推理判断A；利用线面垂直的性质推理

判断B；求出线面角、线线角判断CD作答.

【解析】在正方体/BCD-44GA中，取棱4),44中点反尸，连接ME,EF,FN,

因为〃，粉别为/c,48的中点，W\MEIICD//ABIINF,ME=LCD=；AB=NF,

因此四边形MEFN为平行四边形，则EF//MN,EFu平面4,

政Vu平面4044，所以MN//平面4DD|4,A正确；

因为48/平面则所以B正确；

显然X尸，平面48C。，则ZFEZ是EF与平面Z8CO所成的角，又AE=AF/EAF=90,

有NFE4=45",由于EF//MN,所以直线』你与平面力6a所成的角为45、C错误；

因为彳4〃。2，EF//MN,则Z/也是异面直线明平与。A所成的角，显然乙4FE=451D

正确.

故选:C

二、多选题

7.下列命题中正确的是（）

A.如果一个平面内有两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

B.如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

C.分别在两个平行平面内的两条直线互相平行

D.过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行

【答案】BD

【分析】根据面面平行的判定定理及性质定理，即可做出判断.

【解析】对于A,一个平面内两条直线相交平行于另一个平面，这两个平面平行，故错误；

对于B,如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，满足有两条相交直线与另一

个平面平行，那么这两个平面平行，故正确；

对于C,分别在两个平行平面内的两条直线，可能平行也可能异面，故错误；

对于D,过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行，正确，否则若有两个平面与已知

平面平行，则重合.

故选：BD

8.圆柱的侧面展开图是长4cm,宽2cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是（）

A.8兀cirPB.-cm3

n

八16343

C.一cmD.-cm3

n兀

【答案】BD

【分析】由已知中圆柱的侧面展开图是长4cm,宽2cm的矩形，我们可以分圆柱的底面周长

为4cm,高为2cm的和圆柱的底面周长为2cm,高为4cm,两种情况分别由体积公式即可求解.

【解析】••・侧面展开图是长4cm,宽2cm的矩形,

7

若圆柱的底面周长为4cm,则底面半径R=-cm,h=2cm,

71

Q

此时圆柱的体积P=兀川〃=一cn?

7C

若圆柱的底面周长为2cm,则底面半径&=Lm,A=4cm,

7t

4

此时圆柱的体积V=nR2h=-cm5

71

故选:BD

9.如图所示，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，S£>_L平面4BC。，则下列结论中正确的

是（）

S

A.ACVSB

B.43//平面SCQ

C.三棱锥S-N8。与三棱锥C-S8O表面积相同

D.AD与SC所成的角等于0c与阳所成的角

【答案】ABCD

【分析】由线面垂直的判定定理证线面垂直后得证线线垂直判断AD,由线面平行的判定定

理判断B,由棱锥表面积的定义判断C.

【解析】选项A,5£），平面/8。。，/。匚平面/88,则S0_L/C,又正方形“8C£>中，

AC1BD,

SDC\BD=D,SZ）,8Z）u平面S3。，所以4C_L平面S3。，而S8u平面S8。，所以NC_LS8,

A正确；

选项B,ABHCD,平面SCO,CDu平面SC。，所以ZB//平面SCO,B正确；

选项C,四棱锥S-48CD中，SA=SC（因为射影，AB=BC=CD=DA,

三棱锥C-S8D即为三棱锥S-C8。，它与三棱锥5-/8。的底面全等："BD*CBD，三

个侧面有三对全等：！"8』SC8,ASAD京SCD,ASA）是共用侧面，所以表面积相等，C

正确；

选项D,SD1TLUABCD,ADcABCD,SZ）_LAD,又XZ）_LC。，SDCCD=D,CD,SDu

平面SCO,所以4)_L平面SCA,而SCu平面SCD,所以4)_LSC,即/。与SC所成

的角是90°,同理。C与SA所成的角也是90°,两者相等，D正确.

故选：ABCD.

三、填空题

10.直三棱柱48C-/SG中，48c=90。，AB=BC=BB、=l,则曲与8G所成角大小为

【答案】60。

【分析】作出/耳与8G所成角，并判断出角的大小.

【解析】设8608(=。，设E是/C的中点，连接

则DEHAB、,所以4/与BC｝所成角是NBDE或其补角.

根据直棱柱的性质以及NABC=90。可知ABt==4C=0,

所以DE=BD=BE=^,

2

所以三角形8DE是等边三角形，所以N8CE=60。，

所以/片与8G所成角大小为60。.

故答案为：60°

11.用一个圆心角为120。，半径为4的扇形做一个圆锥，则这个圆锥的底面周长为.

Q

【答案】声

【分析】根据圆锥的结构特征结合扇形的弧长公式即可得解.

【解析】解：由题意，圆锥的底面周长为扇形的弧长，

20°=—,

3

则圆锥的底面周长为4x?=?.

33

故答案为：~~.

12.已知如图边长为。的正方形Z8C。外有一点P且P4J.平面PA=a,二面角

P-BD-A的大小的正切值.

【答案】V2

【分析】由线面垂直的判定和性质，结合二面角平面角定义可知所求角为/尸。4,根据长

度关系可求得结果.

【解析】设/cn&)=o,连接P。，

平面Z5C£>,8。,40匚平面48(7£),:.PALAO,PAVBD,

••,四边形为正方形，.•.8OJ.4。，

•：PAr\AO=A,4,/Ou平面尸/0,.•.8D_L平面尸/0,

又尸Ou平面PN。，，8D_LP0,:.NP04是二面角的平面角,

»历,口tanAPOA=—=-^=

由4。=2“，P4=a得:AO&

2丁a

故答案为：

四、解答题

13.如图，已知长方体/8CZ)-43|Ca中，AB=AD=2,=1.E为4。的中点，平面C8,E

交棱。乌于点F.求证：B.CHEF.

【答案】证明见解析

【分析】由面面平行的性质可得与c〃平面再由线面平行的性质即可证结论.

【解析】由长方体的性质知：平面8CC圈〃平面力。。4,又8CU面8CG4，

.•.8。//面/。。4，又平面CB|Ec平面2。。4=即，且4Cu面C8,E,

:.B'C”EF.

14.如图，在四棱锥P一力以力中，四边形被力是菱形，琢阳阴心的中点.求证：

(1)PZ)〃平面力比；

(2)平面平面力初.

【答案】(D证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)设4。口8。=。，连接E0,根据中位线可得PD〃E。，再根据线面平行的判定定

理即可证明；

⑵根据PA=PC可得ACVPO,根据四边形ABCD为菱形,可得AC1BD,再根据线面垂直

的判断定理可得/C_L平面P8D,再根据面面垂直的判定定理即可得出结果.

【解析】(1)设月Cn80=O,连接E0,如图所示：

因为。，份另IJ为BO,P8的中点，所以尸。〃E。,

又因为P£)U平面NEC,EOu平面4EC,

所以P。〃平面4EC.

(2)连接PO,如图所示：

因为P/=PC,。为ZC的中点，所以ZCLPO,

又因为四边形ABCD为菱形，所以/C工8。，

因为POu平面尸3。，BOu平面PBD,且尸OC|8O=O,

所以/C_L平面PBD,又因为/Cu平面/EC,

所以平面/EC_L平面尸50.

15.在四棱锥力比力中，底面16(渥正方形，若/。=2,QD=QA=#,QC=3.

(1)证明：平面平面/BCD：

(2)求四棱锥。-Z8C。的体积与表面积.

【答案】(1)证明见解析

Q

(2)体积为表面积为6+26+26

【分析】（1）作出辅助线，由等腰三角形三线合一得到。求出各边长，由勾股定

理逆定理得到。OLOC,证明出线面垂直，得到面面垂直；

（2）在（1）的基础上，得到。。为四棱锥的高，由体积公式求出四棱锥的体积，得到△力8

和△史嫄为直角三角形，△3圻口△仇功均为等腰三角形，求出四个三角形面积，求出表面

积.

【解析】（1）取力胸中点为0,连接。。，C0.

因为04=0。，OA=OD,则。。1/。，

而4。=2,QA=45,故。O=7^T=2.

在正方形/故中，因为/。=2,故。0=1,故CO=JCQ2+OQ2=石,

因为0C=3,^LQC2=QO2+OC2,

故A0OC为直角三角形且QO1OC,

因为。Cn/D=O,0。,/。＜=平面/88,故0O_L平面/8CO,

因为00u平面Q4〃，故平面•平面力融力.

（2）取8C中点E,连接OE,0E,OB,OC,

由（1）可知。。为四棱锥。-彳BC。的高，且。0=2,

底面正方形/跄的边长为2,

1Q

所以四棱锥0-/3。的体积心烦=铲2?X2）,

由（1）可知平面，〃1平面

又因为48J.4。，力6u平面45G9,平面平面/8。=力。，

所以48,平面。1〃，

又因为/Qu平面/。，"u平面Q1。，

所以48_L0/,ABLQD,故C。，。。

y.OB=OC=yl\2+22=V5>QB=QC=打+5=3，

故OE，8C,△团蹄口△0。均为直角三角形，△如〃和△。或均为等腰三角形,

其中°E="Q2+CE2=20,

四边形的面积为2x2=4,三角形的面积为:4O-0O=；x2x2=2,

三角形28c的面积为:8C.=；x2x2&=2应，S@D==92亚=亚,

所以棱锥。一N8CD的表面积为s=4+2+2岔+26=6+26+2方.

提升纸T

一、单选题

1.已知见”是两条不重合的直线，a,夕是两个不重合的平面，下列命题正确的是（）

A.若〃?〃a,加〃夕,,则a〃夕

B.若，〃_1_〃,阳〃a,〃_1_/?,则a_L/?

C.若〃2_1〃,加<=。,〃（=4，则a_L4

D.若用〃〃，m_L_L/，则

【答案】D

【分析】在A中，a与尸相交或平行；在B中，a与4相交或平行；在C中，口与#相交或平

行；在D中，由线面垂直，线线平行的性质得&//〃.

【解析】〃?，〃是两条不重合的直线，。，尸是两个不重合的平面，知：

在A中，若m”a,mllp,ntla,nllp,则a与夕相交或平行，故A错误；

在B中，若mlla,np,则a与4相交或平行，故B错误；

在C中，若mJ_〃，mua,〃up，则a与夕相交或平行，故C错误；

在D中，若m〃”，nip,则由线面垂直，线线平行的性质可得a///,故D正确.

故选:D.

2.如图，菱形纸片/BCD中，=。为菱形N8CD的中心，将纸片沿对角线8。折起，

使得二面角4-8O-C为g,E,F分别为的中点，则折纸后cosNEOF=()

【答案】A

【分析】作出二面角/-8Q-C得平面角，设出菱形/BCD的边长，求出EF的长，利用余

弦定理即可求得答案.

【解析】如图，连接。4OC,则。4_L8£>,OCC

故NCOA即为二面角N-8。-C得平面角，即ACOA=y,

设的中点为科，连接尸M,则尸M〃/C,

设菱形纸片中的边长为2,因为//=方，则A/BRABOC为正三角形,

5PjOO=gBQ=l,OC=O/=6,

故为正三角形，故AC=&.MF=W，

又。八BDQCLBD,OAflOC=O,OA,OCcOAC,则8。，平面0/C,

NCu平面。4C,故8O_L/C,

又因为为AD,ZB的中点，所以所以

又ME=LBD=I,MF=6,故EFZME'MF?=昱

222

故在AOE尸中，OE=-AD=\,Of=-BC=\,

22

[17

故“。心空卫上史上A

1，

2OEOF2x1x18

故选：A

3.在平面四边形45CQ中，4B=BD=DA=4,BC=CD=?4i,现将△43。沿8。折起，连

接ZC,得到一个三棱锥，当二面角。的大小为60。时，所得三棱锥的体积为

()

A.拽B.4C.473D.12

3

【答案】B

【分析】根据给定条件，作出二面角/-8O-C的平面角，借助面面垂直求出点A平面C8O

的距离作答.

【解析】因为/8=8Z)=O/=4,BC=CD=2五,则BC"+CD?=16=8D?,即4CD=9(T,

取8。的中点E,连接4E,CE,如图，显然4E，3aCEJ.8。，则/NEC是二面角4-8D-C

的平面角,即4£C=60°,

而/EnCE=E,HE,CEu平面ZCE,于是8。2平面ZCE,而8Ou平面C5O,则平面4CE_L

平面CBD,

在平面NCE内过A作NO_LCE于O,而平面/CEfl平面C8D=CE,因此NO_L平面C8。，

在正△48。中，AE=2^j3,AO=AEsinZAEC=2y/3sin60=3,S^CD=^BC-CD=4,

所以三棱锥Z-8C£＞的体积为/=g久BS/。=3x4=4.

故选：B

4.如图，在已知直四棱柱Z88-44GA中，四边形N2C。为平行四边形，E,M,N,P分

别是8c,8综的中点，以下说法错误的是（）

A.若SC=1,AAt=5/2,贝!]DPBC]

B.MNUCD

C.MN〃平面CjDE

D.若4B=BC,则平面44CC，平面48。

【答案】B

【分析】利用正切值相等可说明444=4尸。，由此可得尸，结合平行关系可知

A正确；由CD//VP,=M可知B错误；通过证明四边形。EAW为平行四边形可得

MN//DE,由线面平行判定可知C正确；根据BO_L4C,BD144,由线面垂直和面面垂

直的判定可知D正确.

【解析】对于A,连接“2，

赵=&tan49=有=a=C

tanZ.ADtAt=7

7T7T

/.ZAD.A,=AAPD,又NZA4+ZD/4=m，ZAPD+ZD}AA}=,即4Q|_LQP；

•:C、D\HCDHAB,C<Dl=CD=AB,.•.四边形48GA为平行四边形，BCJ/AD,,

：.DPVBCX,A正确；

对于B,连接MP,CM,

分别为88/4中点，又ABHCD,;.MPHCD,

,:MNcMP=M,.•.A/N与C。不平行，B错误;

对于C,连接

分别为中点，EMHB.C,EM=^ByC-

■：A^Z/CD,A、B、=CD,，四边形44co为平行四边形，AXD=B,C,

QN为4。中点，:.ND="D,NDHEM,ND=EM,

.•・四边形。EM/V为平行四边形，DE//MN,

又QEu平面CQE,九W<z平面CQE,；.MV〃平面G〃E，C正确;

对于D,连接43,

•：AB=BC,四边形力BCD为平行四边形，，四边形Z8CQ为菱形，..BDL/C；

•.♦A4_L平面/8CD,8。仁平面48。£）,；.44_18。，

又44n/c=/i,/4，/Cu平面A4CC，二8。1平面44£C,

Q8Ou平面48。，.•.平面44GCJ.平面48。，D正确.

故选：B.

7T1

5.如图，在直角梯形P/3C中，AB//PC,ZC=-,AB=BC=-PC=\,妫PC边中点，将

△P4D沿4D边折到QD.连接08,℃得到四棱锥。-48。，记二面角。-4O-C的平面

角为。，下列说法中错误的是（）

Q

A.若则四棱锥。一48co外接球表面积加

B.无论。为何值，在线段。8上都存在唯一一点用吏得。”=1

C.无论6为何值，平面。8C_L平面。C。

一

D.若。=J?T,则异面直线ZC,8。所成角的余弦值为:1

34

【答案】B

【分析】根据梯形的长度和角度关系可知四边形48CZ）为矩形，折叠后根据线面垂直的判

定定理可知平面0C。，根据二面角的定义可知二面角。-/D-C的平面角即为

ZQDC,根据。=],可将四棱锥。-48。放在长方体18。-48£。中，所以长方体外

接球即为四棱锥外接球，求出长方体外接球表面积后即可判断A；根据。"=1=。。可知，

若B成立，则以。为圆心，1为半径的圆与线段8。须有除0点外的另一个交点，当8。与该

圆相切时不成立，即可判断B；根据8c及面面垂直判定定理即可判断C；根据，=g,

过点。做。8,垂足为尸分别取3。,。。中点。,£,连接尸可知所求异面直线

所成角即为EO，/C所成角，根据线面垂直的判定定理及性质定理可知。尸，3尸，根据长度

和垂直关系可求得4E,E0,0N,再根据余弦定理即可求得cos4OE,即可判断D.

【解析】解：由题知直角梯形P48C,且妫PC边中点，AB=BC=；PC=l,

7T

所以/8=CD,由于45〃PC,ZC=p所以四边形Z88为矩形，

所以。尸14»。，。>,即折叠后有。014。，

当0=1时，即平面Q1。，平面力8c。，

因为平面0/Qc平面=D0u平面3。，

所以。0_L平面因为4QJ.C。，

所以四棱锥。-48C。可看作长方体28cz>-/4G。的一部分，如图所示：

所以长方体的外接球即为四棱锥。-48C。的外接球，

因为N8=8C=；PC=0/)=1,

所以长方体体对角线08=«+]2+[2=栏即为外接球直径,

所以四棱锥。外接球半径为3,

2

在△008中，DQ=l,DB=g,

TT

当4008=］时，8。与以。为圆心，1为半径的圆相切，

此时线段。B上不存在点砸得。〃=DQ=1,

所以选项B错误；

因为。0J_/DMO_LCZ),DQC\CD=D,

且。0u平面。CD,COu平面。CO,

所以_L平面。8,因为四边形为矩形，所以

所以8C1平面0C。，因为8Cu平面QBC,所以平面。8C_L平面0。,

故选项C正确；

因为。。I/。,/。_Lc。，平面xoon平面

所以NQDC即为二面角0-/O-C的平面角，

因为。=方，所以N0OC=1,

连接ZC,8O,交点为0,取。。中点E,连接/及OE,

过点。做。尸，CD,交CD于点F,连接8尸，如图所示：

因为四边形/8CL1为矩形，所以可得。为8。中点，由E为。。中点，

所以E。〃8。，所以异面直线AC,BQ所成角即为EO,NC所成角，

因为平面。8,0Fu平面0C。，所以工。，。尸，

因为。/_LCQ,ADC\CD=D,4。u平面｛BCD,CZ)u平面力88,

所以0尸1平面488,因为BFu平面N8C。，所以0F_L8F,

因为。0=1,NQDC二，所以。尸=!，QF=—，

因为。=1,所以C尸=；,

因为4。。=三，BC=1,所以3尸=立，

22

因为。尸，3尸，所以。B=&,所以E0=也，

2

因为E为。。中点，所以=因为所以AE=

因为48=3C=1,所以/C=0,即4。=也，

2

在△NEO中，由余弦定理得：

115

AO2+EO2-AE22^2~4

cosZ.AEO===

2AOEO--26宣4

所以直线E。,"。所成角的余弦值为:,

即异面直线ZC,8。所成角的余弦值为

4

故选项D正确.

故选：B

6.如图，在棱长为a的正方体/58-44GA中，必，N,P分别是44，Ca，CQ的中点，。

是线段。圈上的动点，则下列命题：

①不存在点。，使尸。〃平面物M

②三棱锥B-CNQ的体积是定值；

③不存在点0,使用。，平面Q即；

④8,C,〃，物力五点在同一个球面上.

其中正确的是（）

C.①③D.②④

【答案】D

【分析】当妫。4的中点时，证明尸。//用2判断①，证明判断③；利用等体积法

分析判断②；构造长方体判断④作答.

【解析】对于①，当。为。4的中点时，连接尸24G，因为碟GA中点，则P。〃&c-

而MA分别是44,CG的中点，有A,M/QN,A、M=CN,即四边形4GM1是平行四边形，

因此MN〃4£//P0,MNu平面8MN,P。U平面BMN,所以「。〃平面8MN,①错误;

AB

对于③，当妫。d的中点时，连接M0,ZA，/(C,Br),因为84_L平面/SCO,ZCu平面

ABCD,

则8月J_ZC,而8。L/C,8。n84=8,8。,Bqu平面瓦叫，于是/C_L平面8。耳，

又8Qu平面8。片，则片AC,同理用。J.4。…因为MNI/AC,MQ"AD、,

从而AW_L8Q,〃Q18Q,而仞7。〃0=M,也,加0€：平面0的7,所以8QJ•平面QMN,

③错误；

对于②，aBCN面积是定值，而点(®J平面5CW的距离为棱长a,

三棱锥8-0V。的体积又一cm二^Q-BCN=ga£scN为定值，②正确；

对于④，取阴,。2的中点E,F,连接EM,EN,FM,FN,则几何体"8-MEN尸是长方体,

所以6,C,。，机A五点在长方体/3C0-A/ENF的外接球球面上，④正确，

所以正确命题的序号是②④.

故选：D

二、多选题

7.已知工8。是等腰直角三角形，AB=AC=2,用斜二测画法画出它的直观图^A'B'C,

则"C的长可能是（）

A.272B.276C.75-2-72D.1

【答案】AC

【分析】通过斜二测画法的定义可知比为£轴时，"C'=2应为最大值，以以为/轴，则

此时8，C=；BC=应为最小值，故8C'的长度范围是［忘,2近］,C选项可以

以｛映x'轴进行求解出，从而求出正确结果.

【解析】以6c为X，轴，画出直观图，如图2,此时8，C=8C="7I=27I，

A正确，

以比为_/轴，贝I］此时BC=；BC=6,

则8'C.的长度范围是［0,2到，

若以4碱力况刷，画出直观图，如图1,以防为V轴，则/'*=2,/仁=1,此时过点（7作仁。

■Lx'于点〃，则NCW8'=45。，

/7万

则=B'D=2-J,

22

由勾股定理得：-也］+佟］=75-2/2,C正确；

B'

图I

故选：AC

8.如图所示，在直三棱柱N8C-4AG中，底面是以/N8C为直角的等腰直角三角形，

AC=2a,BB、=3a,。是4G的中点，点E在棱44上，要使CE_L平面为DE,则4E的值

可能是()

A.aB.—aC.2aD.—a

22

【答案】AC

【分析】利用已知条件判断8Q1平面4CCd，然后说明CE_LDE,设/E=x(0<x<3a),

然后可得。炉=*2+402,。炉=/+(%_》)2,又。2=“2+942=］0.2,然后可求出答案.

［解析］由已知得=瓦G,又〃是4G的中点，

所以耳。一4G，又侧棱,底面四c,

可得侧棱M-L平面44G,又B、Du平面，

所以

因为44Ic4G=4,所以8Q1平面AA^C,

又CEu平面44CC，所以8QLCE,

故若CE平面B、DE,则必有CEJ.Z>E.

设4E=x(0<x<3a),则CE?=/十3？,。户=/+(%-xp,

XCD2=a2+9a2=10«S

所以10/=x2+4a2+a2+(3a-x)2,

解得x=。或2a.

故选：AC

9.如图，正方体/BCD-//©"的棱长为1,线段8.上有两个动点E、F,且即=g,

则下列结论中正确的是()

B.EF〃平面ABCD

C.三棱锥4-5转的体积为定值D.^AEF的面积与LBEF的面积相等

【答案】ABC

【分析】证明/C_L平面防QQ,可判断A选项的正误；利用面面平行的性质可判断B选项的

正误；利用锥体的体积公式可判断C选项的正误；判断A到线段EF的距离与B到线段E尸的

距离的关系，即可判断D选项的正误.

【解析】对于A选项，连接ZC、BD,

因为四边形48。为正方形，则力。工8。，

_L平面/8CZ),/Cu平面Z8CZ),_L84，

BDPl=B,BD,BB\u平面BB、D、D,,

所以/CJ■平面B5QQ,

因为BEu平面BBQ。，因此ZCJ_8E,A选项正确；

对于B选项，因为平面44GR〃平面488,后F<=平面4及6。，

所以EFH平面ABCD,B选项正确；

对于C选项，因为尸的面积为二不后/14=w,

点A到平面8E尸的距离为定值，故三棱锥4-BEF的体积为定值，C选项正确;

对于D选项，设力Cn8O=。，取BQ的中点M,连接。“、AM,

由A选项可知，/C_L平面B8Q。，即ZO_L平面88QD,

QBRu平面BB,D,D,则AO15,01,

因为月.84=。口，故四边形B8QQ为平行四边形，

则BD//BR且BD=BR,

因为/、。分别为8Q、8。的中点，故。0//D附且£>。=。附，

所以四边形。为平行四边形，

QJL平面/BCD,OOu平面/BCD,所以。。1。O,

故四边形。2M。为矩形，所以。M1BR,

AOHOM=O,AO,OMu平面/。加，所以8QJ平面NOW,

22

vAMu平面AOM,AAM1BR,AM=^AO+OM>DD}=BBX,

所以S“£F=gEF.AM>；EFBBi=S△诋，D选项错误.

故选：ABC.

10.在直三棱柱/8C-/圈G中，AAl=AB=BC=2,=，.雇48的中点，隈4G的

中点，点/在线段与N上，点理线段CM上靠近，卿）三等分点，/凝线段4G的中点，箱PR//

B.仍与N的中点

748

C.三棱锥尸-8cM的体积为:D.三棱锥尸-/8C的外接球表面积为丁兀

O1

【答案】ACD

【分析】由线面平行的判定定理得线线平行，从而判断A,并利用平面几何知识证明判断B,

证明三棱锥P-8cM的体积等于三棱锥8-的体积，由体积公式计算体积后判断C,

确定三棱锥P-N8C的外接球球心。在NS上（如图），求出球半径后得球表面积判断D.

【解析】对于选项AB,连接8。并延长交C4于S,连接NS,

由平面几何知识可得：S是。的中点，且从R,S三点共线，。是“8C重心，

因为尸R〃面4CN,PRu平面&NSB,平面々NSBD平面8cM=与。，所以尸R〃4。，

作SK//B◎交BN于K,由直棱柱性质有与N//8S,因此瓦KS。是平行四边形，

B、K=SQ=；BS=：B\N,

又由平面几何知识知出是NS中点，因此P是诋中点，

从而===即P为与N上靠近A的三等分点，所以A正确，B错误；

对于选项C,B,P=BQ="S,因此与尸。8是平行四边形，所以3P与四。互相平分，从而P

与8点到平面与CN的距离相等，三棱锥尸-8cM的体积等于三棱锥8-与。河的体积，

11?

XX

而％-B1cM=%「BCM=--2xlx2=-,所以C正确;

对于选项D,MiBC的外心是S,由NS//CC,得NS1_L平面ABC,

：.三棱锥P-N8C的外接球球心一定在直线NS上,

设三棱锥尸。的外接球球心为0,半径为此OS=h,

则R1=OA2=SA2+SO2=（扃+h2=2+后

R2=OP2=NP2+ON2=f—+（2-A）2=—4i+h2,

：.2+h2=--4h+h2解得：h=-R2=2+—=—

9f9f8181

744

球表面积为5=4兀叱=等兀，所以D正确.

o1

故选：ACD.

三、填空题

11.如图，正四面体力版的顶点C在平面a内，且直线式与平面a所成角为30。，顶点旅平

面a上的射影为点0,当顶点与点Q的距离最大时，直线切与平面”所成角的正弦值为

【分析】分析可得当四边形480c为平面四边形时，点A到点。的距离最大，。作。Nq平

面48OC,垂足为N,点。作。用工平面a,垂足为则可求。V,进而可求解.

【解析】取43中点P,连接CP,

当四边形ABOC为平面四边形时，点A到点。的距离最大,

此时，因为5。1平面a,80u平面Z8OC,

所以平面N8OC1平面a,

过。作£W/平面N8OC,垂足为N,

则N为正三角形Z8C的重心，

设正四面体的边长为i,则CN=2CP=XI,

33

因为直线8C与平面a所成角为30。即Z,BCO=30,且NBCN=30,

所以NOCN=60',

所以点N到平面a的距离等于d=CNsin60'=；,

过点。作。平面a,垂足为

则。M=d=；,

所以直线切与平面a所成角的正弦值为翳=；,

故答案为：y.

12.如图，在三棱锥。-48C中，平面//8O_L平面N8C,N8_L8C,/8=8C=2,Z）8=1,D4=7L

点尸是线段/C上一动点（不含端点），若点尸到平面D8C的距离为贝IJ

2

AP

~AC~-----------

【答案】y##0.5

【分析】由题意证明8CL8O,求得继而求得匕5CD，根据三棱锥的等体积法求得

S&BPC，即得由此可求得答案.

【解析】过点。作于点〃，连接尸8,

・;AB=2,BD=1,DA=6贝IJ/32=6Q2+OT,

ADDB

・•.NADB=90。DH==立,

AB2

•••平面ABD±平面ABC,平面ABDc平面ABC=AB,BCu平面ABC,

BC_LAB,BC_L平面ABD,,;BDu平面ABDBC1BD,

BC—2,BD—1,SRe=L2x1=1

■,^DCU2*

又点P到平面DBC的距离为近,左=k1x3=3，

2326

Vp-BCD=^D-BCP=[S出cPDH,即曰=:S.PX~~'

3632

,­,SaBCP=1,又ABLBC,4B=BC=2,则$*/比=；x/3xBC=2,

即S&BCP=3stiABC，

Ap1

故协4c中点，即笠=

AC2

故答案为：y

13.长方体4BCL>-44CQ中，AB=BC=l9AA^29平面力8。与直线的交点为M,

现将AMC与绕C片旋转一周，在旋转过程中，动直线CW与底面44GA内任一直线所成最

小角记为a，则sina的最大值是.

【答案】

2525

【分析】根据题设，将问题转化为求直线CM与面Z8C。夹角最大值，利用平面的基本性质

找到M点位置，并确定其轨迹为圆锥底面圆周，进而确定圆锥轴线与面428的夹角、CW

与圆锥轴线的夹角，利用和差角正余弦公式求它们的差、和正余弦值，即可确定sina的最

值.

【解析】由题意，0为动直线CM与底面所成角，只需求旋转过程中直线CM与面

44GA所成角的最大角即可，

又面/面ABCD,只需求直线CM与面ABCD最大夹角正弦值,

过c作CN//4S，交。6延长线于“，连接用M,显然圈二△cqw,

所以CA/=44,故N印l/C为平行四边形，则CW=0,B、M=五,B、C=后,

所以△C"4为等腰三角形，过〃作于”，则//必在线段CB,上，

综上，AMC,绕CB,旋转过程中，M点轨迹是以“为圆心，为半径的圆上，

设BR=x,则C//=右一x,故CA/2一c，2=8m2-8户2,

所以5-（百一X）2=2-X"解得B]H=x=容则C”=苧，乎，

AMC与绕CB,旋转过程中，CN是C8,为轴，圆H为底面的圆锥的母线，

所以ZMCB1为圆锥轴截面顶角的一半，且恒定不变，又sinNMM=M票H=：3,cosZMC5,=4：,

CM55

而直线CB,与面ABCD夹角为ZBCB[,且sinZBCB,=—,cosZBCB.=—,

'5'5

令B=NMCB»BCB\,则sinQ=3x拽+。、3=辿，而

555525

.4>/532^52布八

555525

令y=|NA/CBI-NBCBj,则siny==,而cosy=3x^^+』x2占=21>。

5555555555

综上，y4a4兀故sina的最大值是辿.