1.5从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式

1.5从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式课标要求精细考点素养达成1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程之间的联系3.能在具体的问题情境中识别一元二次不等式,并能用有关知识解决相应的问题一元二次不等式的求解通过研究一元二次不等式的求解,培养数学运算和直观想象素养解含参数的一元二次不等式通过研究含参数的一元二次不等式的求解,熟练掌握分类讨论的数学思想,提升逻辑推理和数学运算素养一元二次不等式恒成立、能成立问题通过运用含参数的不等式解决实际问题,培养数学抽象素养1.(概念辨析)(多选)下面结论不正确的有().A.x-ax-b≥0等价于(xa)(B.若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0C.不等式x2≤a的解集为[a,a]D.若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为R2.(对接教材)不等式(2+x)(2x)>0的解集是().A.{x|x>2} B.{x|x<2}C.{x|x<2或x>2} D.{x|2<x<2}3.(对接教材)已知不等式x2mx+2>0的解集为{x|x<1或x>2},则实数m的值为().A.2 B.3 C.1 D.34.(易错自纠)若不等式ax2+bx+2>0的解集为x|−12<x<13,则aA.10 B.14 C.10 D.145.(真题演练)已知集合A={x|x23x4<0},B={4,1,3,5},则A∩B=().A.{4,1} B.{1,5}C.{3,5} D.{1,3}解不等式典例1解下列不等式:x25x6>0;(2)x2+x+2>0;(3)x+13x-1>0;(4)2x+11−x≤1;(5)解一元二次不等式的4个步骤(1)变——把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判——计算对应方程的判别式.(3)求——求出对应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没有实根.(4)写——利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集.训练1(多选)已知a∈Z,关于x的一元二次不等式x26x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,则a的值可以是().A.6 B.7 C.8 D.9解含参数的一元二次不等式典例2(1)解关于x的不等式:ax22≥2xax(x∈R).(2)解关于x的不等式:ax22x+a<0(a>1).解含参数的一元二次不等式的步骤(1)若二次项系数含有参数,则应讨论参数是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.(2)判断方程根的个数,讨论判别式Δ与0的大小关系.(3)当确定方程无根时,可直接写出解集;当确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定不等式的解集.训练2(1)解关于x的不等式:ax-1x-3(2)解关于x的不等式:ax2(a+1)x+1<0(a∈R).(3)解关于x的不等式:2x2+ax+2>0.三个二次的关系典例3(1)若不等式x2+ax2>0在[1,5]上有解,则实数a的取值范围为.

(2)若不等式x2+ax+4≥0对一切x∈[1,3]恒成立,则a的最小值为.

(3)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3},则关于x的不等式cx2+bx+a<0的解集为.

训练3已知函数f(x)=(a2)x22(a2)x4.(1)若不等式f(x)<0对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是;

(2)若不等式f(x)<0对任意x∈[1,3]恒成立,则实数a的取值范围是;

(3)若不等式f(x)<0对任意a∈[1,3]恒成立,则实数x的取值范围是.

可化为一元二次不等式的不等式的解法典例解关于x的不等式:(xx2+12)(x+a)<0.对于分式不等式或高次不等式,常用的方法是穿针引线法.首先分解因式,判断各个因式的正负,然后根据各个因式的零点分析求解.训练关于x的不等式a(x1)(xa)<0的解集可能是().A.(∞,a)∪(1,+∞) B.(∞,1)∪(a,+∞)C.(1,a) D.⌀一、单选题1.(2023·江苏南京联考改编)不等式|x|(12x)>0的解集是().A.-∞,12 B.0,12C.(∞,0)∪12,+∞ D.(2.(2023·江苏联考模拟预测)已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|1<x<2},则不等式2x2+bx+a<0的解集为().A.x|−1<x<12 B.x|x<−1或x>12C.{x|2<x<1} D.{3.(2024·山东济南摸底)若集合A={x|x23x10≤0,x∈Z},B={x|2x2x6>0,x∈Z},则A∩B的子集有().A.15个 B.16个 C.7个 D.8个4.若不等式x22x+5≥a23a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为().A.[1,4] B.(∞,2)∪[5,+∞)C.(∞,1)∪[4,+∞) D.[2,5]二、多选题5.已知关于x的一元二次不等式x2+5x+m<0的解集中有且仅有2个整数,则实数m的值可以是().A.4 B.5 C.6 D.76.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3},则下列说法正确的是().A.a>0B.a+b+c<0C.不等式cx2bx+a<0的解集为xx<12或x>13D.c2+4a三、填空题7.不等式3x+5x-18.若关于x的不等式(2x1)2<ax2的解集中的整数恰有2个,则实数a的取值范围是.

四、解答题9.已知函数f(x)=ax2+(1a)x+a2.(1)若不等式f(x)≥2对于一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;(2)若a<0,解关于x的不等式f(x)<a1.10.已知函数f(x)=x24x+a+3,g(x)=mx+52m.(1)若函数y=f(x)在区间[1,1]上存在零点,求实数a的取值范围;(2)当a=0时,若对任意x1∈[1,4],总存在x2∈[1,4],使得f(x1)=g(x2)成立,求实数m的取值范围.11.设函数f(x)=x2+axb.当a+b=3时,f(x)≥0在x∈[0,1]上恒成立,则实数a的取值范围是.

12.某商品2024年的价格为8元/件,年销量是a件.现经销商计划在2025年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间,经调查,顾客的期望价格是4元/件