4.5.2用二分法求方程的近似解课件高一上学期数学人教A版2

第四章指数函数与对数函数4.5函数的应用(二)4.5.2用二分法求方程的近似解内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.探索二分法求方程近似解的思路并会画程序框图．2.能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性．活动方案我们已经知道，函数f(x)＝lnx＋2x－6在区间(2,3)内存在一个零点．进一步的问题是，如何求出这个零点呢？一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值．为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围．活动一二分法的概念思考1►►►如何缩小零点所在区间(2,3)的范围？【解析】

取区间(2,3)的中点2.5.思考2►►►区间分成两段后，又怎样确定零点在哪一个小的区间内呢？【解析】

用计算工具算得f(2.5)≈－0.084.因为

f(2.5)f(3)<0，所以零点在区间(2.5,3)内．思考3►►►假设f(2.5)＝0说明什么？【解析】

若f(2.5)＝0，则2.5就是函数的零点．思考4►►►如何进一步的缩小零点所在的区间？

零点所在区间中点的值中点函数近似值(2,3)2.5－0.084(2.5,3)2.750.512(2.5,2.75)2.6250.215(2.5,2.625)2.56250.066(2.5,2.5625)2.53125－0.009(2.53125,2.5625)2.5468750.029(2.53125,2.546875)2.53906250.010(2.53125,2.5390625)2.535156250.001思考5►►►若给定精确度0.01，如何选取近似值？【解析】

因为|2.5390625－2.53125|＝0.0078125<0.01，所以区间(2.53125,2.5390625)内任意一点都可以作为零点的近似值，也可以将x＝2.53125作为函数f(x)＝lnx＋2x－6零点的近似值，也即方程lnx＋2x－6＝0的近似解．对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法.它是求一元方程近似解的常用方法．运用二分法的前提是要先判断某解所在的区间.思考6►►►下列图象中的函数，能否用二分法求函数零点的近似值？为什么？活动二二分法求函数零点近似值的步骤【解析】

不能．因为不存在一个区间[a，b]，使f(a)·f(b)<0.用二分法求方程近似解的步骤给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0.(2)求区间(a，b)的中点c.(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4).由函数零点与相应方程解的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．思考7►►►如何把求方程的近似解化归为求函数的零点？活动三用二分法求方程的近似解【解析】

对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照二分法求函数零点近似值的步骤求解．例

1利用计算器，求方程lg

x＝3－x的近似解．(精确度为0.1)【解析】

分别画出函数y＝lgx和y＝3－x的图象，如图所示．在两个函数图象的交点处，函数值相等，因此，这个点的横坐标就是方程lgx＝3－x的解．由图知，方程lgx＝3－x有唯一解，记为x1，且x1∈(2,3)．设f(x)＝lgx＋x－3，用计算器计算，得f(2)＜0，f(3)＞0⇒

x1∈(2,3)，f(2.5)＜0，f(3)＞0⇒

x1∈(2.5,3)，f(2.5)＜0，f(2.75)＞0⇒

x1∈(2.5,2.75)，f(2.5)＜0，f(2.625)＞0⇒

x1∈(2.5,2.625)，f(2.5625)＜0，f(2.625)＞0⇒

x1∈(2.5625，2.625)．因为|2.625－2.5625|＝0.0625＜0.1，所以原方程的近似解可取为2.5625.用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算.借助计算器用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解．(精确度为0.1)【解析】

令f(x)＝2x＋3x－7，则f(1)＝－2<0，f(2)＝3>0，所以f(1)f(2)<0，说明函数f(x)＝2x＋3x－7在区间(1,2)内有零点．又f(x)在其定义域内是增函数，所以函数f(x)只有一个零点，记为x0，则x0∈(1,2)．用计算器计算得f(1)<0，f(2)>0⇒x0∈(1,2)，f(1)<0，f(1.5)>0⇒x0∈(1,1.5)，f(1.25)<0，f(1.5)>0⇒x0∈(1.25,1.5)，f(1.375)<0，f(1.5)>0⇒x0∈(1.375,1.5)，f(1.375)<0，f(1.4375)>0⇒x0∈(1.375，1.4375)．因为|1.4375－1.375|＝0.0625＜0.1，所以原方程的近似解可取为1.375.例

2利用计算器，求方程sinx＝1－x的近似解．(精确度为0.1)【解析】

因为方程sinx＝1－x可化为x＋sinx－1＝0，所以原方程的解即函数f(x)＝x＋sinx－1的零点．先画出函数y＝sinx和y＝1－x的图象，如图所示．观察图象，因为f(0)＝－1＜0，f(1)＝sin1＞0，所以函数f(x)的零点在区间(0,1)内，记为x0.用计算器计算得f(0)＜0，f(1)＞0⇒

x0∈(0,1)，f(0.5)＜0，f(1)＞0⇒

x0∈(0.5,1)，f(0.5)＜0，f(0.75)＞0⇒

x0∈(0.5,0.75)，f(0.5)＜0，f(0.625)＞0⇒

x0∈(0.5,0.625)，f(0.5)＜0，f(0.5625)＞0⇒

x0∈(0.5,0.5625)．因为|0.5625－0.5|＝0.0625＜0.1，所以原方程的近似解可取为0.5.思考8►►►用二分法求方程的一个近似解的操作流程是怎样的？【解析】

“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数的零点．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个近似零点，其参考数据如下：

根据此数据，求方程3x－x－4＝0的一个近似解．(精确度为0.01)【解析】

因为f(1.5625)·f(1.5562)<0，所以函数的零点在区间(1.5562,1.5625)内．因为|1.5625－1.5562|＝0.0063＜0.01，所以方程3x－x－4＝0的一个近似解为1.5625.f(1.6000)＝0.200f(1.5875)＝0.133f(1.5750)＝0.067f(1.5625)＝0.003f(1.5562)＝－0.029f(1.5500)＝－0.060检测反馈245131.(2022·荆州高一期末)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(

)【解析】

由二分法的定义知，若函数f(x)在区间[a，b]上连续，且满足f(a)·f(b)<0，则可以利用二分法求函数f(x)的零点的近似值，故A不能用二分法求图中函数零点．【答案】A245132.(2022·哈尔滨高一期中)设f(x)＝3x＋3x－8，现用二分法求关于x的方程3x＋3x－8＝0在区间(1,2)内的近似解，已知f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(2)>0，则方程的根落在区间(

)A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)C.(1.5,2) D.不能确定【解析】

因为f(1)<0，f(2)>0，且f(x)的图象在区间(1,2)上连续，所以f(x)在区间(1,2)上至少存在一个零点．因为f(1.5)>0，所以f(x)在区间(1,1.5)上存在零点．因为f(1.25)<0，所以f(x)在区间(1.25,1.5)上存在零点，所以方程的根落在区间(1.25,1.5)内．【答案】B24533.(多选)(2022·宁德第一中学高一练习)关于函数f(x)＝lgx＋x－2的零点，下列说法中正确的是(参考数据：lg1.5≈0.176，lg1.625≈0.211，lg1.75≈0.243，lg1.8125≈0.258，lg1.875≈0.273，lg1.9375≈0.287)(

)A.函数f(x)的零点个数为1B.函数f(x)的零点个数为2C.用二分法求函数f(x)的一个零点的近似解可取为1.8(精确到0.1)D.用二分法求函数f(x)的一个零点的近似解可取为1.9(精确到0.1)124531【解析】

易知函数f(x)＝lgx＋x－2在区间(0，＋∞)上单调递增，因为f(1.5)＝lg1.5＋1.5－2≈0.176＋1.5－2＝－0.324<0，f(2)＝lg2＋2－2＝lg2>0，所以函数f(x)在区间(1.5,2)上有1个零点，取区间中点x＝1.75，则f(1.75)＝lg1.75＋1.75－2≈0.243＋1.75－2＝－0.007<0，所以函数f(x)在区间