2024届焦作市数学八年级下册期末经典试题含解析

2024届焦作市数学八下期末经典试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处〃。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.如图，QABCD的周长为32cm,AC,BD相交于点O,OE_LAC交AD于点E,则4DCE的周长为（）

A.8cmB.24cmC.10cmD.16cm

3

2.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=士的图象经过A，B两点,A，B两点的纵坐标分别为3,1,若A3

X

的中点为M点，则M点向左平移个单位后落在该反比例函数图象上？（）

3.已知直线y=-x+4与y=x+2如图所示，则方程组y［=二-x升+4？的解为（）

x=0\x=4

C.<D.<

y=41y=0

4,下列事件中，是必然事件的是（)

A.3天内会下雨

B.经过有交通信号灯的路口遇到红灯

C.打开电视，正在播广告

D.367人中至少有2个人的生日相同

5.使VT五有意义的x取值范围是（）

A.x>2B.x>—2C.x>2D.x>—2

6.如图,在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）cm2.

D

A.16-873B.-12+873C.8-473D.4-273

7.小华的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢跑从家到中山公园,打了一会儿太极拳后坐公交车回家.下面能反映当天

小华的爷爷离家的距离y与时间X的函数关系的大致图像是（）.

A.Q7=-2B.7（-3）2=±3c.=xD.函）2=6

9.下列函数中，对于任意实数Xl,X2,当1>也时，满足的是（）

A.y=-3x+2B.y=2x+lD.y=----

x

10.要使分式正有意义，X的取值范围为（）

x+3

A.3B.x>0C.x>0D.尤w-3且x>0

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.“校安工程”关乎生命、关乎未来目前我省正在强力推进这重大民生工程.2018年，我市在省财政补助的基础上投

人600万元的配套资金用于“校安工程”，计划以后每年以相同的增长率投人配套资金,2020年我市计划投人“校安工程”

配套资金1176万元从2018年到2020年，我市三年共投入“校安工程”配套资金_________万元.

12.如图，A/DE的顶点尸在矩形ABC。的边8C上，点尸与点3、。不重合，若AAED的面积为4,则图中阴

影部分两个三角形的面积和为.

13.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形45。中，若45=10,AC=12,则80的长

14.将直线y=-2x-2沿y轴向上平移5个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为.

15.已知反比例函数y=A的图像经过点A（2,加）、8（加+3,1）,则左的值等于.

x

2

16.已知一个函数的图象与反比例函数y=-的图象关于）’轴对称，则这个函数的表达式是

x

17.如图，已知正五边形ABCDE,AF〃CD,交DB的延长线于点F,则NDFA=__度.

18.如图，已知一次函数.丫=依+人的图象为直线，则关于x的方程公+人=1的解x=

三、解答题（共66分）

19.（10分）已知：在矩形ABCD中，点F为AD中点，点E为AB边上一点，连接CE、EF、CF,EF平分NAEC.

（1）如图1,求证：CF±EF;

（2）如图2,延长CE、DA交于点K,过点F作FG〃AB交CE于点G若，点H为FG上一点，连接CH,若NCHG=NBCE,

求证：CH=FK;

⑶如图3,过点H作HN±CH交AB于点N,若EN=H,FH-GH=1,求GK长.

A

20.(6分)在矩形ABC。中，AB=6,AD=S,E是边BC上一点,以点E为直角顶点，在AE的右侧作等腰直

图1

(1)如图1,当点尸在CD边上时，求的长;

如图2,若EF上DF,求雇的长;

(3)如图3,若动点E从点8出发，沿边向右运动，运动到点C停止，直接写出线段AE的中点。的运动路径

长.

21.（6分）小东拿着一根长竹竿进一个宽为5米的矩形城门，他先横着拿但进不去；又竖起来拿，结果竹竿比城门还

高1米，当他把竹竿左右斜着拿时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米?

22.（8分）如图，在AABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=1.CD_LAB于点D.点P从点A出发，以每秒1个单

位长度的速度沿线段AB向终点B运动.在运动过程中，以点P为顶点作长为2,宽为1的矩形PQMN,其中PQ=2,

PN=1,点Q在点P的左侧，MN在PQ的下方，且PQ总保持与AC垂直.设P的运动时间为t（秒）（t>0）,矩形

PQMN与AACD的重叠部分图形面积为S（平方单位）.

（1）求线段CD的长;

（2）当矩形PQMN与线段CD有公共点时，求t的取值范围;

（3）当点P在线段AD上运动时，求S与t的函数关系式.

备•用国

23.（8分）问题提出：

（1）如图1,在ABC中，AB=ACoBC,点D和点A在直线8C的同侧，BD=BC,ABAC=90°,ZDBC=30°,

连接AO,将△AB。绕点A逆时针旋转90°得到_AC。，连接8。'（如图2）,可求出NAQ6的度数为.

问题探究：

(2)如图3,在(1)的条件下，若N84C=a,QBC=。，且a+£=120。，ZDBC<ZABC,

①求NADB的度数.

②过点A作直线AE_LBD,交直线BD于点E,BC=7,AD=2.请求出线段3E的长.

24.（8分）布袋中放有x只白球、y只黄球、2只红球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋中随机摸出一个球，恰

好是红球的概率是：.

O

（1）试写出y与x的函数关系式；

（2）当x=6时，求随机地取出一只黄球的概率P.

25.（10分）甲、乙两人分别加工100个零件，甲第1个小时加工了10个零件，之后每小时加工30个零件.乙在甲加

工前已经加工了40个零件，在甲加工3小时后乙开始追赶甲，结果两人同时完成任务.设甲、乙两人各自加工的零件

数为y（个），甲加工零件的时间为X（:时），y与X之间的函数图象如图所示.

（1）在乙追赶甲的过程中，求乙每小时加工零件的个数.

(2)求甲提高加工速度后甲加工的零件数y与x之间的函数关系式.

(3)当甲、乙两人相差12个零件时，直接写出甲加工零件的时间.

26.(10分)如图，在平行四边形ABC。中，NC=60°,E,尸分别是8c的中点，BC=2CD=4.

(1)求证：四边形8£尸是菱形;

(2)求8D的长.

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

1、D

【解题分析】

根据平行四边形性质得出AD=BC,AB=CD,OA=OC,根据线段垂直平分线得出AE=CE,求出CD+DE+EC=AD+CD,

代入求出即可.

【题目详解】

•平行四边形ABCD,

/.AD=BC,AB=CD,OA=OC,

VEO±AC,

.,.AE=EC,

VAB+BC+CD+AD=32cm,

/.AD+DC=16cm,

/.△DCE的周长是：CD+DE+CE=AE+DE+CD=AD+CD=16cm,

故选D.

【题目点拨】

本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的周长，熟练掌握相关性质定理是解题的关键.

2、D

【解题分析】

根据题意可以推出A,B两点的坐标，由此可得出M点的坐标，设平移n个单位，然后表示出平移后的坐标为(2-n,

2),代入函数解析式，即可得到答案.

【题目详解】

由题意可得A(1,3),B(3,1),

AM(2,2),

设M点向左平移n个单位，则平移后的坐标为(2-n,2),

(2-n)X2=3,

1

,n=—.

2

故选：D.

【题目点拨】

本题主要考查了中点坐标的计算，反比例函数，细心分析即可.

3、B

【解题分析】

二元一次方程组「c的解就是组成二元一次方程组的两个方程的公共解，即两条直线y=-x+4与y=x+2

y=x+2

一x=l

的交点坐标｛.

故选B

点睛：本题考查了一次函数与二元一次方程组.二元一次方程组的解就是组成该方程组的两条直线的图象的交点.

4、D

【解题分析】

根据必然事件的概念.(有些事情我们事先肯定它一定会发生，这些事情称为必然事件.)

【题目详解】

解：3天内会下雨是随机事件，4错误；

经过有交通信号灯的路口遇到红灯是随机事件，3错误；

打开电视，正在播广告是随机事件，C错误；

367人中至少有2个人的生日相同是必然事件，O正确，

故选：D.

【题目点拨】

本题主要考查必然事件与随机事件的区别，他们的区别在于必然事件一定会发生，随机事件有可能发生，有可能不发

生.

5、C

【解题分析】

根据二次根式的非负性可得x-220,解得：^>2

【题目详解】

解：•.•使有意义，

/.x-2>0

解得xN2

故选C

【题目点拨】

本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的非负性为解题关键

6、B

【解题分析】

根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC,再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正

方形的面积列式计算即可得解.

【题目详解】

•.•两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2,

•••它们的边长分别为瓦=4cm,

x/12=2V3cm,

AB=4cm,BC=(2^/3+4)cm,

...空白部分的面积=(26+4)x4-12-16=86+16-12-16=(—12+8百)cm2.

故选B.

【题目点拨】

此题考查二次根式的应用，解题关键在于将正方形面积直接开根即是正方形的边长.

7、C

【解题分析】

根据在每段中，离家的距离随时间的变化情况即可进行判断.

【题目详解】

图象应分三个阶段，第一阶段：慢步到离家较远的绿岛公园，在这个阶段，离家的距离随时间的增大而增大；第二阶

段：打了一会儿太极拳，这一阶段离家的距离不随时间的变化而改变。故D错误；第三阶段：搭公交车回家，这一阶

段，离家的距离随时间的增大而减小，故A错误，并且这段的速度大于第一阶段的速度，则B错误.

故选：c.

【题目点拨】

本题考查函数图象，解题的关键是由题意将图象分为三个阶段进行求解.

8、D

【解题分析】

直接利用二次根式的性质分别化简得出答案.

【题目详解】

解：4、必9=2,故此选项错误；

B、J(-3)2=3，故此选项错误；

c、7?=|4故此选项错误；

。、(A/6)2=6,正确.

故选：D.

【题目点拨】

此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键.

9、A

【解题分析】

根据一次函数和反比函数的增减性，即可判断.

【题目详解】

在y=-3x+2中,y随x的增大而减小，，对于任意实数不，x2,当1＞为时，满足》＜以，故选项4正确，

在y=2x+l中，y随x的增大而增大，.•.对于任意实数X”x2,当心＞也时，满足》＞以，故选项8错误，

在y=5x中，y随x的增大而增大，.•.对于任意实数X”皿，当。＞也时，满足力＞»,故选项C错误，

在y=-J_中，在每个象限内，y随x的增大而增大，当日＞*2＞0时，满足”＞以，故选项。错误，

x

故选：A.

【题目点拨】

本题重点考查了函数的增减性,一次函数的增减性由k来决定,k＞O,y随x增大而增大，反之增大而减小，反比例函数的

增减性也是由k来决定，在每一个象限内，当k＞0时，y随x增大而减小，反之，则增大而增大，因此熟练掌握相关

的知识点是解题的关键.

10、C

【解题分析】

根据分式有意义的条件可得x+3。（）,再根据二次根式有意义的条件可得X之0,再解即可.

【题目详解】

由题意得：x+3/O,且

解得：x>0,

所以，C选项是正确的.

【题目点拨】

此题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零，二次根式中的被开方数

是非负数

二、填空题（每小题3分，共24分）

11、2616

【解题分析】

先设出年平均增长率，列出方程，解得年平均增长率，然后求出2019年的配套资金，将三年资金相加即可得到结果

【题目详解】

设配套资金的年平均增长率为x,则由题意可得6001+/=1176,解之得x=0.4或x=24（舍），故三年的共投入的

资金为600+600X（1+0.4）+1176=2616（元），故填2616

【题目点拨】

本题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程得到平均增长率，重点注意最后是要求三年的资金总和，不要

看错题

12、1

【解题分析】

由平行四边形的性质可得SAADE=SAADF=L由矩形的性质可得阴影部分两个三角形的面积和=SAADF=1.

【题目详解】

解：1•四边形AFDE是平行四边形

••SAADE=SAADF=1，

四边形ABCD是矩形，

阴影部分两个三角形的面积和=SAADF=4,

故答案为L

【题目点拨】

本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键.

13、1

【解题分析】

过点A作AE，3c于E,Ab_LC£＞于尸，设AC、BD交点为0,首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸

条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形.然后依据勾股定理求得。B的长，从而可得

到BD的长.

【题目详解】

解：过点A作AELBC于E,A尸_LCD于F,设AC、3。交点为0.

两条纸条宽度相同，

：.AE^AF.

AB//CD,AD/IBC,

•••四边形ABC。是平行四边形.

SABCD=BC-AE=CD-AF.

又,

BC=CD,

四边形ABC。是菱形；

:.OB=OD,OA=OC=6,AC±BD.

:.OB=A/AB2-Q42=V102-62=8•

:.BD=2OB=\6.

故答案为L

【题目点拨】

本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及四边形的面积，证得四边形ABC。为菱形是

解题的关键.

14、y=-2x+3

【解题分析】

分析：直接根据“上加下减”的原则进行解答即可.

详解：由“上加下减”的原则可知，直线产一2丫-2向上平移5个单位，所得直线解析式是：y=~2x-2+5,即

y=—2x+l.

故答案为：y=~2x+l.

点睛：本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.

15、6

【解题分析】

根据反比例函数的性质，k=xy,把A、B坐标代入列出方程组求解即可得k的值。

【题目详解】

解：8(/〃+3,1)在丁=人的图像上，

X

k=2m

k=机+3

解得：m=3,k=6

k=6

【题目点拨】

本题考查了反比例函数，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键。

c-2

16、y二—

x

【解题分析】

直接根据平面直角坐标系中，关于y轴对称的特点得出答案.

【题目详解】

2

解：・・•反比例函数y=—的图象关于y轴对称的函数x互为相反数，y不变，

x

._2_2

••y=—=—9

-xx

2

故答案为：y=—.

x

【题目点拨】

本题考查反比例函数与几何变换，掌握关于y轴对称时，y不变，x互为相反数是解题关键.

17、1

【解题分析】

首先求得正五边形内角NC的度数，然后根据CD=C第求得NCD8的度数，然后利用平行线的性质求得NOE4的度数

即可.

【题目详解】

解：•.•正五边形的外角为10°+5=72。，

.\ZC=180o-72°=108°,

•；CD=CB,

：.ZCDB=1°,

'：AF//CD,

：.ZDFA=ZCDB=1°,

故答案为1.

【题目点拨】

本题考查了多边形的内角和外角及平行线的性质，解题的关键是求得正五边形的内角.

18、1.

【解题分析】

解：根据图象可得，一次函数丫=8*+1）的图象经过（1,1）点,

因此关于x的方程ax+b=l的解x=l.

故答案是1.

【题目点拨】

本题考查一次函数与一元一次方程，利用数形结合思想解题是关键.

三、解答题（共66分）

19、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）CN=25.

【解题分析】

（1）如图，延长EF交CD延长线于点Q,先证明CQ=CE,再证明△FQD^^FEA,根据全等三角形的对应边相等可

得EF=FQ,再根据等腰三角形的性质即可得CFLEF；

⑵分别过点F、H作FM_LCE,HP±CD,垂足分别为M、P,证明四边形DFHP是矩形，继而证明AHPCW/kFMK,

根据全等三角形的性质即可得CH=FK；

（3）连接CN,延长HG交CN于点T,设NDCF=a,则NGCF=a,先证明得至UFG=CG=GE,ZCGT=2a,再由FG

是BC的中垂线，可得BG=CG,NCGT=NFGK=NBGT=2a,再证明HN〃BG,得到四边形HGBN是平行四边

形，继而证明△HNCgZkKGF,推导可得出HT=CT=TN,由FH-HG=L所以设GH=m,则|BN=m,FH=m+l,

CE=2FG=4m+2,继而根据BC2=CN2-BN°=CE2-BE2,可得关于m的方程，解方程求得m的值即可求得答案.

【题目详解】

（1）如图，延长EF交CD延长线于点Q,

B

•矩形ABCD,AB〃CD,

:.NAEF=NCQE,NA=NQDF,

又YEF平分NAEC,

，NAEF=NCEF,

:.NCEF=NCQE,

.,.CQ=CE,

••,点F是AD中点，

.,.AF=DF,

/.△FQD^AFEA,

，EF=FQ,

又,.,CE=CQ,

ACFIEF；

(2)分别过点F、H作FM_LCE,HP±CD,垂足分别为M、P,

VCQ=CE,CF±EF,

.,.ZDCF=ZFCE,

AFM=DF,

VFG//AB,/.ZDFH=ZDAC=90°,

・•・ZDFH=ZFDP=ZDPH=90°,

・•・四边形DFHP是矩形，

ADF=HP,

AFM=DF=HP,

VZCHG=ZBCE,AD/7BC,FG//CD,

/.ZK=ZBCE=ZCHG=ZDCH,

又丁ZFMK=ZHPC=90°,

/.AHPC^AFMK,

/.CH=FK；

(3)连接CN,延长HG交CN于点T,设NDCF=a,则NGCF=Q,

VFG/7CD,：.ZDCF=ZCFG,

AZFCG=ZCFG,AFG=CG,

VCF±EF,

AZFEG+ZFCG=90°,ZCFG+ZGFE=90°,

AZGFE=ZFEG,AGF=FE,

AFG=CG=GE,ZCGT=2«,

・・・FG是BC的中垂线，

ABG=CG,ZCGT=ZFGK=ZBGT=2«,

VZCHG=ZBCE=90°-2«,ZCHN=90°,

・・・NGHN=NFGK=NBGT=2a,

/.HN〃BG,

，四边形HGBN是平行四边形，

AHG=BN,HN=BG=CG=FG,

・•・△HNC^AKGF,

AGK=CN,ZHNC=ZFGK=ZNHT=2«,

/.HT=CT=TN,

VFH-HG=1,，设GH=m,则BN=m,FH=m+LCE=2FG=4m+2,

EN11

VGT=——,ACN=2HT=ll+2m,

22

vBC2=CN2-BN2=CE2-BE2，

/.(11+2iri)2-nr=(4/w+2)2一(11+m)？

17

町=——(舍去)，加2=7,

6

ACN=GK=2HT=25.

【题目点拨】

本题考查的是四边形综合题，涉及了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质,

矩形的性质与判定，三角形外角的性质等，综合性较强，难度较大，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识

是解题的关键.

20、(1)BE=2；(2)BE=2氐(3)线段AE的中点。的运动路径长为4夜.

【解题分析】

(1)如图1中，证明△ABEgAECF(AAS),即可解决问题.

(2)如图2中，延长DF,BC交于点N,过点F作FM_LBC于点M.证明△EFMgZkDNC(AAS),设NC=FM=x,

利用勾股定理构建方程即可解决问题.

(3)如图3中，在BC上截取BM=BA,连接AM,MF,取AM的中点H,连接HQ.由△ABEs^AMF,推出

ZAMF=ZABE=90",由AQ=FQ,AH=MH,推出“。二!尸加，HQ〃FM,推出NAHQ=90°,推出点Q的运动

轨迹是线段HQ,求出MF的长即可解决问题.

【题目详解】

(1)如图1中，

四边形ABCO是矩形，

.-.ZS=ZC=90°,

EF±AE,ZAEF=90°,

:.ZAEB=ZEFC,EF=AE,

：.MBE=AECF(AAS),

CE=AB=6,

.\BE=BC-CE=2.

(2)如图2中，延长OE,BC交于点N,过点F作3c于点M.

92

同理可证/SABEs^EMF,

设BE=x,则£M=AB=6,FM=BE=x

EC=8-x,EF工DF,

：.ADFE=ADCB=90°,

：.ZFEC=ZCDF,CD=AB=EM

NEFM三ADNC(AAS),

:.NC=FM=x,EN=EC+NC=8,NM=EN—EM=2,

即在RtAFMN中，FN2=%2+22»

在RtAEFM中，EF2=X2+61>

在RtAEFN中，FN2+EF2=EN2，

即/+22+/+62=82,解得尤=2g或一2G(舍弃)，即BE=2jL

(3)如图3中，在BC上截取3M=84,连接AM，MF,取AM的中点“，连接“Q.

圉3

,NB4〃=NE4尸=45°,

.-.ZBAE=ZMAF,

AB_AE_41

:.ZAMF^ZABE^90°,里=也=也，

FMAM2

AQ=FQ,AH=MH,

;.HQ=；FM,HQ//FM,

：.ZAHQ=90°,

.•・点。的运动轨迹是线段HQ,

当点£从点B运动到点C时，BE=3,

:,MF=8叵＞

线段A尸的中点Q的运动路径长为4近.

【题目点拨】

本题考查了全等三角形、勾股定理、相似三角形，掌握矩形的性质及全等三角形的性质和判定、利用勾股定理列方程、

相似三角形的性质是解题的关键.

21、12米

【解题分析】

可设竹竿长为x,再根据竹竿比城门高1米，竹竿左右斜着拿时，两端刚好顶着城门的对角，利用勾股定理可得结果.

【题目详解】

解：设竹竿长x米，

x2=(X-1)2+52；,解得x=12,答：竹竿长为12米.

【题目点拨】

本题考查勾股定理的应用，学生需要掌握勾股定理的定义即可求解.

24,、2838,、业10…3/^1028.止2832.

-一

22、JD5；(2)——＜t＜一；(3)当OVtV一时，S=—；当一StS——时，S=2；当一＜饪一时，

s=3-555353555

392

-3一

【解题分析】

(1)由勾股定理得出=亚寿=10,由AABC的面积得出AOBC=AB・CD,即可得出CD的长；

(2)分两种情形：①当点N在线段CD上时，如图1所示，利用相似三角形的性质求解即可.②当点Q在线段CD

上时，如图2所示，利用相似三角形的性质求解即可.

(3)首先求出点Q落在AC上的运动时间t,再分三种情形：①当OVt＜g时，重叠部分是矩形PHYN,如图4所

I()282832

示，②当一WW一时，重合部分是矩形PQMN,S=PQ・PN=2.③当一〈号三时，如图5中重叠部分是五边形PQMJL

3555

分别求解即可.

【题目详解】

(1),.*ZACB=90o,AC=8,BC=1,

AB=VAC2+BC2=，82+6?=10>

1I

VSAABC=-AC«BC=-AB«CD,

22

，AC・BC=AB・CD,即：8xl=10xCD,

当点N在线段CD上时，如图1所示:

,••矩形PQMN,PQ总保持与AC垂直,

；.PN〃AC,

/.ZNPD=ZCAD,

VZPDN=ZADC,

.,.△PDN<^AADC,

1殁

pD-

-8-

=一

，

。Bo

A32一

5

4

解得：PD=y,

当点Q在线段CD上时，如图2所示:

D

o

图2

••,PQ总保持与AC垂直,

；.PQ〃BC,△DPQs/\DBC,

DP_2

而二k，

J

解得：DP=y,

........_____32638

t=AD+DP=—+—=——

555

2838

当矩形PQMN与线段CD有公共点时，t的取值范围为《；

(3)当Q在AC上时，如图3所示：

Z\D

图3

：PQ总保持与AC垂直，

，PQ〃BC,AAPQ^AABC,

.AP_PQAP_2

・・-----，KP：-----——9

ABBC106

10

解得：AP=一,

3

当ovtv与时，重叠部分是矩形PHYN,如图4所示:

A

图4

•・・PQ〃BG

AAAPH^AABC,

:=里,即：J旦

ABBCPH6

.3t

/.PH=—,

5

.。3.

...S=PH・PN=—；

5

IQ28

当时，重合部分是矩形PQMN,S=PQ«PN=2.

OQq)

当胃Vts三时，如图5中重叠部分是五边形PQMJL

I528325253592

S=S矩形PNMQ-SAJIN=2-7,(—t--)[1-(--t),—•]=--12+—t-—

233542433

【点评】

本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，多边形的面积等知识，解

题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题.

23、(1)30°；(2)①30°;②7-出

【解题分析】

(1)由旋转的性质，得△ABDgAAC。'，则NAZ)3=NAD'C,然后证明ABC。'是等边三角形，即可得到

ZADB=ZAD'C=3O°i

(2)①将八48。绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，得到△ACD',连接8ZT.与(1)同理证明以D'BC为

等边三角形，然后利用全等三角形的判定和性质，即可得到答案；

②由解直角三角形求出。E=G，再由等边三角形的性质，即可求出答案.

【题目详解】

解：(1)根据题意，•：AB=AC力BC,ZBAC=90°,

二AA8C是等腰直角三角形，

：.ZABC^ZACB=45°,

V/DBC=30。,

:.ZABD=15°,

由旋转的性质，贝!J△ABDgA4C。'，

AZADB^ZAD'C,ZABD=ZACD'=15°,BC=CD',

二ZBCD=60°,

:.ABC。'是等边三角形，

AZBD'C^6Q°,BD=CD'

VAB^AC,Aiy=AU,

：.AAC。'，

/.ZAZ),fi=ZAD,C=30°,

:.ZAZ>B=ZAD,C=30°；

(2)①ZDBC<ZABC,

60<a<120•

如图L将八钻。绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，得到△AC。'，连接B力二

・•.ZABC=ZACB9

ABAC=a,

ZABC=g(180"-a)=90°—；a,

ZABD=NABC-NDBC=90"—ga—万,

:.NDCB=ZACD+ZACB=90一;a—力+90-ja=180°-(«+^).

,a+/3=120°,

ZDCS=60°.

BD=BC,BD=CD,

BC=CD,

O'BC为等边三角形，

DB=DCf

.,.二ADB^=^ADC，

・,.ZADB=ZADC9

ZADB^-ZBDC=30°,

2

：.ZADB=30°.

②如图2,由①知，ZADJB=30"，

在RfAADE中，NAQ8=30°,AQ=2,

DE=6

BCD’是等边三角形，

:.BDi=BC=7，

:.BD^BD=7,

BE=BD—DE=7—6

【题目点拨】

本题考查了解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性

质，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确利用旋转模型进行解题.

/、1

24、(1)y=14-x;⑵-

【解题分析】

⑴由2只红球的概率可求出布袋中球的总数16只，得到x+y=14,从而得到y与x的函数关系式；

(2)先求出黄球的数量，然后根据概率的求法直接得出答案.

【题目详解】

解：(1)因为布袋中放有x只白球、y只黄球、2只红球，且红球的概率是:.

O

所以可得：J=14-X；

(2)把x=6,代入y=14・6=8,

Q1

所以随机地取出一只