2023-2024学年广东省广州市番禺区高二下学期期末教学质量监测数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省广州市番禺区高二下学期期末教学质量监测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={1,−1}，B={1,0,−1}，则集合C={a−b|a∈A,b∈B}中元素的个数为(

)A.2 B.3 C.4 D.52.已知复数z=2−ii，则z的虚部为(

)A.2 B.2i C.−2 D.−2i3.“a=1”是“函数fx=2xA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，m，12，14，21，若该组数据的中位数是极差的25，则该组数据的第45百分位数是(

)A.4 B.6 C.8 D.125.过坐标原点O向圆C:x2+y2−4x−2y+4=0作两条切线，切点分别为A.34 B.43 C.36.菱形ABCD中，AC=2,BD=4，点E在线段CD上，则AB⋅AE的取值范围是(

)A.2,3 B.0,1 C.0,2 D.−3,27.为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1∼6月的GDP的数据y(单位：百亿元)建立了线性回归模型，得到的经验回归方程为y=0.4x+a，其中自变量x指的是1∼6时间1月2月3月4月5月6月编号x123456y百亿元yyy11.1yy参考数据：i=16yiA.经验回归直线经过点3.5,11

B.a=9.6

C.根据该模型，该地2023年12月的GDP的预测值为14.4百亿元

D.相应于点x48.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.将油纸伞撑开后摆放在户外场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子(某时刻，阳光与地面夹角为60∘)，若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为A.2−3 B.2−1 C.二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数fx=sinx⋅A.fx是奇函数 B.fx的最小正周期为π

C.fx的最小值为−12 10.设函数f(x)=2x3−3axA.当a>1时，f(x)有三个零点

B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点

C.存在a，b使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴

D.存在a使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心11.半正多面体(semiregular solid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.传统的足球，就是根据这一发现而制成，最早用于1970年的世界杯比赛.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成(如图所示)，若这个二十四等边体的棱长都为2，则下列结论正确的是(

)

A.MQ⊥平面AEMH B.异面直线BC和EA所成角为60∘

C.该二十四等边体的体积为402三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.二项式2x+1x313.某中学1600名学生参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩X近似服从正态分布N150,σ2，已知成绩小于130的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩X在150∼170次之间的人数约为

14.已知在锐角ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosC=ccosB，则1tan四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)在▵ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且sinC+(1)求角B；(2)若a+c=2,b=3,∠ABC的角平分线交AC于点D，求16.(本小题12分)人工智能研究实验室发布了一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话.在测试聊天机器人模型时，如果输入的问题没有语法错误，则聊天机器人模型的回答被采纳的概率为85%；如果输入的问题出现语法错误，则聊天机器人模型的回答被采纳的概率为50%．(1)在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人模型的回答有5个被采纳.现从这8个问题中抽取3个.以ξ表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求ξ的分布列和数学期望；(2)已知输入的问题出现语法错误的概率为10%．(i)求聊天机器人模型的回答被采纳的概率；(ii)若已知聊天机器人模型的回答被采纳，求该输入的问题没有语法错误的概率．17.(本小题12分)如图，在正方体ABCD−A1B1C(1)求直线B1D与平面(2)求平面C1GF与平面(3)若点H为棱DD1的中点，试探究点H是否在平面EFG18.(本小题12分)已知数列an为等差数列，a1=1,a3=43+1(1)求证：数列bn(2)试探究数列an中是否存在三项构成等比数列？若存在，请求出这三项；若不存在，请说明理由．19.(本小题12分)已知函数fx(1)求曲线y=fx在点1,f(2)判断函数fx(3)若fx>ax，其中a>0且a≠1，求实数参考答案1.D

2.C

3.C

4.A

5.B

6.D

7.D

8.A

9.ABC

10.AD

11.BCD

12.448

13.500

14.215.(1)由正弦定理可得sinC+即有sinB即sinBsinC=3即tanB=3，又B∈(2)S▵ABC=S即acsinπ3即BD=由余弦定理b2=a即ac=13，故

16.(1)易知ξ的所有可能取值为0,1,2,3，此时Pξ=0=CPξ=2=C所以ξ的分布列为：ξ0123P115155则Eξ(2)(i)记“输入的问题没有语法错误”为事件A，记“输入的问题有语法错误”为事件B，记“聊天机器人模型的回答被采纳”为事件C，则PA=0.9，PB=0.1，P=0.1×0.5+0.9×0.85=0.815；(ii)若聊天机器人模型的回答被采纳，则该问题的输入没有语法错误的概率为：PA|C

17.(1)以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，则有D0,0,0，B12,2,2，E2,1,0，则B1D=−2,−2,−2，设平面EFG的法向量为m=则有m⋅EF=−x1+y即m=则有cosm故直线B1D与平面EFG所成角的正弦值为

(2)由z轴⊥平面C1GF，则平面C1则有cosm故平面C1GF与平面EGF的夹角的余弦值(3)由点H为棱DD1的中点，则H0,0,1由m⋅HG=0−1+1=0，则m⊥HG故HG⊂平面EFG，故点H在平面EFG上.

18.(1)由数列an为等差数列，则其公差d=故an故Sn则bn=Snn(2)假设存在，且为am,a即有2即有6mt+6m+t由m、t、s均为整数，则有mt+即有mt+m+t=m+t即m=t，其与m≠s≠t矛盾，故数列an

19.(1)由题意f1=e−1，即切点为f′x=x所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为

即y=x+e−2；(2)证明：由f′x=x−1则g′x所以当x<0时，g′x<0，当x>0时，g′x>0，gx所以对于任意的x≠0有gx>0，即因此fx在(−∞,0)单调递增，在(0,+∞)即ℎx=e所以x<0时，ℎ′x<0，所以ℎx>ℎ0=0，即x>0时，ℎ′x>0，ℎx

即ex−1>x，即ex(3)由(2)可知，x<0时，fx<1，所以ax令a=ek，k>0，由题意x<0时，Fx<0，x>0时