2023-2024学年福建省福州市闽侯二中高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省福州市闽侯二中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知i是虚数单位，则21−i的虚部为(

)A.1 B.i C.22 2.在正方体ABCD−A1B1C1D1A.π6 B.π4 C.π33.已知△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=60°，b=3，则a+csinA+sinC=(

)A.36 B.16 C.24.已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器产生1～5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：

412 451 312 533 224 344 151 254 424 142

435 414 335 132 123 233 314 232 353 442

据此估计一年内至少有1台设备需要维修的概率为(

)A.0.4 B.0.45 C.0.55 D.0.65.已知等腰△ABC中，A=23π，则BC在BA上的投影向量为A.32BA B.−32BA 6.已知平面向量a,b满足a+b=(2,k),a−A.−2 B.−12 C.127.已知三棱锥A−BCD中，AB⊥平面BCD，AB=4，BC=3，CD=5，BD=7，则该三棱锥外接球的表面积为(

)A.196π3 B.244π3 C.196π58.已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足asinA+C2=bsinA，且cosAa+cosBA.6 B.43 C.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知z1、z2都是复数，下列选项正确的是(

)A.若|z1|=|z2|，则z1=±z2 B.若z2≠0，则|10.下列对各事件发生的概率判断正确的是(

)A.某学生在上学的路，上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为427

B.三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为35

C.从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是13

D.设两个独立事件A和B都不发生的概率为19，A发生B11.如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱AD，A.直线A1G与直线C1E为异面直线

B.直线A1G与平面ADD1A1所成角的正弦值为13

C.二面角D1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A′B′C′D′，已知A′B′=3，B′C′=32，则四边形ABCD的面积为______．13.在△ABC中，其内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=3π4，b=6，a2+c14.定义轴截面为正三角形的圆锥为等边圆锥，轴截面为正方形的圆柱为等边圆柱，已知一个等边圆锥的底面圆的直径为2，在该圆锥内放置一个等边圆柱，并且圆柱在该圆锥内可以任意转动，则该圆柱的体积的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z=a+bi，a，b∈R．

(1)若a=m2+m−2，b=2m2−m−3，m∈R，z对应的点在第四象限，求m的范围．

(2)16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，M是线段PD的中点．

(Ⅰ)求证：PB//平面AMC；

(Ⅱ)求三棱锥P−ACM的体积；

(Ⅲ)求直线BM与底面ABCD所成角的正切值．17.(本小题15分)

在△ABC中，1+sinAsinB=cos2B−sin2A+sin2C.

(1)求角C的大小；

(2)若D在边AB上，DC⊥CB18.(本小题17分)

某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．

(1)根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄和第80百分位数；

(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者．

(i)若有甲(年龄38)，乙(年龄40)两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；

(ii)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这m人中35−45岁所有人的年龄的方差．19.(本小题17分)

欧拉(1707−1783)，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eiπ+1=0，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数e，圆周率π，两个单位——虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：eiθ=cosθ+isinθ，解决以下问题：

(1)将复数eπ3i+eπi表示成a+bi(a,b∈R,i为虚数单位)的形式；

(2)求|eπ2i+eθi|(θ∈R)的最大值；

(3)若zn=1，则参考答案1.C

2.C

3.C

4.B

5.A

6.D

7.B

8.D

9.BD

10.ABC

11.BC

12.913.3

14.2π(215.解：(1)由题意知m2+m−2>02m2−m−3<0，解得1<m<32，

故实数m的范围为(1,32)；

(2)|z−1|=|(a−1)+bi|=(a−1)2+b2=1，16.解：(Ⅰ)证明：如图，连接BD，设BD∩AC=N，连接MN，

∵底面ABCD是边长为1的正方形，∴N是BD中点，

又M是线段PD的中点，∴MN/​/PB，

又PB⊄平面AMC，MN⊂平面AMC，

∴PB/​/平面AMC；

(Ⅱ)根据题意可得三棱锥P−ACM的体积为：

VP−ACM=VD−ACM=VM−ACD

=12VP−ACD=12×12VP−ABCD

=14×13×1×1×2=16；

(Ⅲ)取AD的中点H，连接MH，则MH/​/PA，

又PA⊥底面ABCD，∴MH⊥底面ABCD，

17.解：(1)由题意得1−cos2B+sin2A−sin2C=−sinAsinB，

即sin2B+sin2A−sin2C=−sinAsinB，

由正弦定理得AC2+BC2−AB2=−BC⋅AC，

由余弦定理得cosC=AC2+BC2−AB22BC⋅AC=−12，

因为C∈(0,π)，所以C=2π18.解：(1)设这些人的平均年龄为x−，则x−=22.5×0.05+27.5×0.35+32.5×0.3+37.5×0.2+42.5×0.1=32.25(岁)．

设第80百分位数为a，即频率之和为0.8．

方法一：由5×0.02+(40−a)×0.04=1−0.8=0.2，解得a=37.5．

方法二：由0.05+0.35+0.3+(a−35)×0.04=0.8，解得a=37.5．

(2)(i)由题意得，第四组应抽取4人，记为a，b，c，甲，第五组抽取2人，记为d，乙，对应的样本空间为：Ω={(a,b)，(a,c)，(a，甲)，(a，乙)，(a,d)，(b,c)，(b，甲)，(b，乙)，(b,d)，(c，甲)，(c，乙)，(c,d)，(甲，乙)，(甲，d)，(乙，d)}，共15个样本点．

设事件M=“甲、乙两人至少一人被选上”，则M={(a，甲)，(a，乙)，(b，甲)，(b，乙)，(c，甲)，(c，乙)，(甲，乙)，(甲，d)，(乙，d)}，共有9个样本点．

所以，P(M)=n(M)n(Ω)=35．

(ii)设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为x−4，x−5，方差分别为s42，s52，

则x−4=37，x−5=43，s42=52