三角形综合四种模型、相似三角形存在性、面积（面积比）与真题训练与真题训练-中考数学考前30天迅速提分复习方案（上海专用）

题型一：A字模型1.（2022松江一模25题）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D是边AB上一点（与点A、B不重合），DE平分∠CDB，交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F．（1）当DE⊥BC时，求DE的长；（2）当△CEF与△ABC相似时，求∠CDE的正切值；（3）如果△BDE的面积是△DEF面积的2倍，求这时AD的长．【小问1详解】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，∴，∵DE平分∠CDB，∴∠CDE＝∠BDE，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝∠DEB＝90°，在△DCE和△DBE中，，∴△DCE≌△DBE（ASA），∴CE＝BE，∵CE+BE＝BC＝4，∴CE＝BE＝2，∵，∴，∴DE＝；【小问2详解】∵EF⊥CD，∴∠CFE＝90°＝∠ACB，∵△CEF与△ABC相似，∴△CEF∽△ABC或△CEF∽△BAC，①当△CEF∽△ABC时，则∠ECF＝∠BAC，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠ECF+∠ABC＝90°，∴∠CDB＝90°，∵DE平分∠CDB，∴，∴tan∠CDE＝tan45°＝1；②当△CEF∽△BAC时，则∠ECF＝∠ABC，∴DC＝DB，∵DE平分∠CDB，∴DE⊥BC，∴∠CDE+∠ECF＝90°，∵∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠CDE＝∠BAC，∴，综上所述，∠CDE的正切值为1或；【小问3详解】如图，过点E作EG⊥AB于点G，∵DE平分∠CDB，EF⊥CD，EG⊥AB，∴EF＝EG，∵DE＝DE，∴Rt△DEF≌Rt△DEG（HL），∴DF＝DG，∵△BDE的面积是△DEF面积的2倍，∴BD＝2DF，∴DG＝BG，∵EG⊥BD，∴DE＝BE，设BE＝x，则DE＝x，CE＝BC﹣BE＝4﹣x，，∴，∴，∵DE平分∠CDB，∴∠CDE＝∠BDE，∵DE＝BE，∴∠BDE＝∠B，∴∠CDE＝∠B，∵∠DCE＝∠BCD，∴△CDE∽CBD，∴，即，解得：CD＝3，，∴，故这时AD的长为．题型二：山字模型1.【2021宝山二模25．】如图，已知AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为点B、点C，AC与BD交于点P．（1）如果AB＝3，CD＝5，以点P为圆心作圆，圆P与直线BC相切．①求圆P的半径长；②又BC＝8，以BC为直径作圆O，试判断圆O与圆P的位置关系，并说明理由．（2）如果分别以AB、CD为直径的两圆外切，求证：△ABC与△BCD相似．【分析】（1）①过点P作PH⊥BC于H．利用平行线分线段成比例定理求出PH，可得结论．②求出OP的长，即可判断．（2）设AB，DC的中点分别为O1，O2，连接O1O2，过点O1作O1E⊥DC于E，设AB＝a，DC＝b．根据两边成比例夹角相等，证明三角形相似即可．解：（1）①过点P作PH⊥BC于H．∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴AB∥PH∥DC，∴＝，＝，∵AB＝3，DC＝5，∴+＝1，∴PH＝，∵直线BC与⊙P相切，∴⊙P的半径为．②结论：⊙O与⊙P内切．理由：设BC的中点为O，∵BC＝8，∴OB＝OC＝4，由＝，∴CH＝5，OH＝1，∴OP＝，即OP＝|RO﹣RP|，∴⊙O与⊙P内切．（2）设AB，DC的中点分别为O1，O2，连接O1O2，过点O1作O1E⊥DC于E，设AB＝a，DC＝b．由题意O1O2＝，在Rt△O1O2E中，O1E＝，∵O1E＝BC，∴AB•DC＝BC2，即＝，∵∠ABC＝∠DCB＝90°，∴△ABC∽△BCD．题型三：燕尾型1.【2021金山二模25】（本题满分14分，第(1)题4分，第(2)①题4分，第(2)②题6分）已知在中，，，的顶点在边上，交于点（点在点的右侧），.求证：∽.若.①联结，当点是的黄金分割点（）时，求.②联结，当时，求的长.ABCABC第25题图备用图ABC第25题图备用图AFEDCB第25题图【答案】（1）证明：∵，∴；…………………（1分）∵，，∴；∵，∴；…（1分）∵，；∴；…（1分）∵；∴∽.…（1分）①解：∵∽，∴，即；………………（1分）AABCEFD∵，∴，∴；又∵，∴∽;………………（1分）∴，即；∴，即；∴，又∵；∴∽；………………（1分）∴；∵点是的黄金分割点，且；∴，∴.………………（1分）②解：作垂足为，∵，；AABCDFE∴，，得；………（1分）∵∽，∴，即；设，那么；∵，∴；可得，解得即或；………………（1分）当时即为中点，∵；∴，又∵，∴即垂直平分；∴；………………（2分）当时，为中点，∵，，；∴，，；作垂足为，∴，BBACDFE∵，∴；∴在中.………………（2分）综上所述，当时，或.题型四：角平分线模型1.【2021年黄浦区二模25】（14分）如图，AD是△ABC的角平分线，过点C作AD的垂线交边AB于点E，垂足为点O，联结DE．（1）求证：DE＝DC；（2）当∠ACB＝90°，且△BDE与△ABC的面积比为1：3时，求CE：AD的值；（3）是否存在△ABC能使CE为△ABC边AB上的中线，且CE＝AD？如果能，请用∠CAB的某个三角比的值来表示它此时的大小；如果不能，请说明理由．【分析】（1）根据已知条件证明△AOC≌△AOE，可得AC＝AE．再证明△ACD≌△AED，即可得结论；（2）由△BDE与△ABC的面积比为1：3，又△ACD≌△AED，可得△BDE、△ACD与△AED的面积均相等．证明△ACE为等边三角形，根据含30度角的直角三角形即可得结论；（3）作EF∥AD交BC于点F，对应边成比例，令AD＝CE＝8k，则OE＝OC＝4k，OD＝2k，OA＝6k，作CH⊥AE于点H，证明△CEH∽△ACO，可得＝＝，再根据锐角三角形和即可得结论．【解答】解：（1）∵AD是角平分线，∴∠CAO＝∠EAO．又∵CE⊥AD，∴∠COA＝∠EOA＝90°．又AO＝AO，∴△AOC≌△AOE（ASA）∴AC＝AE．在△ACD与△AED中，∵AC＝AE，∠CAD＝∠OAD，AD＝AD，∴△ACD≌△AED（SAS），∴DE＝DC；（2）∵△BDE与△ABC的面积比为1：3，∵△ACD≌△AED，∴△BDE、△ACD与△AED的面积均相等．∴BE＝AE＝AC，又∠ACB＝90°，∴∠ABC＝30°，∴∠BAC＝60°，∴△ACE为等边三角形，∴CE＝AC．在△ACD中，∠ACD＝90°，∠CAD＝＝30°，∴，即；（3）存在这样的三角形，如图，作EF∥AD交BC于点F，则，，∵AD＝CE，令AD＝CE＝8k，则OE＝OC＝4k，OD＝2k，OA＝6k，在Rt△AOC中，根据勾股定理，得，∴．如图，作CH⊥AE于点H，∴∠ECH+∠CEH＝90°，∵∠OAE+∠CEH＝90°，∴∠ECH＝∠OAE，∵∠OAE＝∠OAC，∴∠ECH＝∠OAC，∵∠CHE＝∠AOC＝90°，∴△CEH∽△ACO，∴＝＝，∴，，∵AH＝AE﹣EH，∴，在Rt△ACH中，．题型五：相似三角形的存在性问题1.（2022金山一模25题BDMAC交射线DN于点C，∠ABC的平分线分别与AD、AC相交于点E、F.ABE∽△CBF；AE=x，FC=yyxDFDEF△BCFAE解：（1）∵AD⊥直线MN，∠BAC=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∠BCF+∠ABD=90°，∴∠BAD=∠BCF……………（1分）∵BF平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBF………（1分）∴△ABE∽△CBF.…………（1分）（2）作FH⊥BC垂足为点H.∵△ABE∽△CBF，∴∠AEB=∠CFB，∵∠AEB+∠AEF=180°，∠CFB+∠CFE=180°∴∠AEF=∠CFE，∴AE=AF=x；…………（1分）∵BF平分∠ABC，FH⊥BC，∠BAC=90°，∴AF=FH=x.∵FH⊥BC，AD⊥直线MN，∴FH∥AD，∴，即，…………（2分）解得：（）……………（2分）（3）设AE=x，由△ABE∽△CBF，如果以点D、E、F为顶点的三角形与△BCF相似，即以点D、E、F为顶点的三角形与△ABE相似.∵∠AEB=∠DEF，如果∠BAE=∠FDE，得DF∥AB，∴∠ABE=∠DFE，∵∠ABE=∠DBE,∴∠DBE=∠DFE，∴BD=DF,………（1分）由DF∥AB，得∠DFC=∠BAC=90°，∴∠DFC=∠ABD=90°，又∠BAD=∠BCF，∴△ABD≌△CDF，…………………（1分）CF=AD=8，即，解得：（舍去负值），∴.…………（1分）如果∠BAE=∠DFE，得，∵∠ABF=∠BED，∴△AEF∽△BED，∴∠AFE=∠BDE，因为∠AFE是锐角，∠BDE是直角，所以这种情况不成立。…………（2分）综上所述，如果以点D、E、F为顶点的三角形与△BCF相似，AE的长为.（1分）2.（2022杨浦一模25题）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，点D为射线AB上一动点，且BD＜AD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE与射线CD交于点F．（1）当点D在边AB上时，①求证：∠AFC＝45°；②延长AF与边CB的延长线相交于点G，如果△EBG与△BDC相似，求线段BD的长；（2）联结CE、BE，如果S△ACE＝12，求S△ABE的值．【解答】解：（1）①证明：如图1，连接CE，∵点B关于直线CD的对称点为点E，∴EC＝BC，∠ECF＝∠BCF，设∠ECF＝∠BCF＝α，则∠BCE＝2α，∴∠ACE＝90°﹣2α，∵AC＝BC，∴AC＝EC，∴∠AEC＝∠EAC＝[180°﹣（90°﹣2α）]＝45°+α，∵∠AEC＝∠AFC+∠ECF＝∠AFC+α，∴∠AFC＝45°；②如图2，连接BE，CE，∵B、E关于直线CF对称，∴CF垂直平分BE，由（1）知：∠AFC＝45°，∴∠BEF＝45°，∵△EBG与△BDC相似，∠BEG＝∠DBC＝45°，∵∠EBG与∠BDC均为钝角，∴△EBG∽△BDC，∴∠G＝∠BCD＝∠BAG，∵∠G+∠BAG＝∠ABC＝45°，∴∠G＝∠BCD＝22.5°，过点D作DH⊥AB交BC于点H，则△BDH是等腰直角三角形，∴DH＝BD，BH＝BD，∠BHD＝45°，∵∠CDH＝∠BHD﹣∠BCD＝45°﹣22.5°＝22.5°＝∠BCD，∴CH＝DH＝BD，∵CH+BH＝BC＝5，∴BD+BD＝5，∴BD＝＝5﹣5，∴线段BD的长为5﹣5；（2）Ⅰ．当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，∵AC＝EC＝BC＝5，∴AM＝EM＝AE，∴①AM2+CM2＝AC2＝25，∵S△ACE＝AE•CM＝12，∴②AM•CM＝12，①+②×2，得：（AM+CM）2＝49③，①﹣②×2，得：（AM﹣CM）2＝49③，∵CM＞AM＞0，∴AM＝3，CM＝4，∴AE＝6，由（1）知：∠AFC＝45°，BE⊥CF，∴∠BEF＝45°，∵∠AFC＝∠ABC＝45°，∴A、C、B、F四点共圆，∴∠AFB+∠ACB＝180°，∴∠AFB＝90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝BF，设EF＝BF＝x，则AE＝x+6，在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2，∴（x+6）2+x2＝50，解得：x＝1或x＝﹣7（舍去），∴BF＝1，∴S△ABE＝AE•BF＝×6×1＝3；Ⅱ．当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，由（1）知：∠AFC＝45°，CF垂直平分BE，∴∠BEF＝45°，BF＝EF，∴∠EBF＝∠BEF＝45°，∴∠BFE＝90°，∵AC＝EC＝BC＝5，∴AM＝EM＝AE，与Ⅰ同理可得：AM＝EM＝4，CM＝3，AE＝8，设BF＝EF＝y，则AF＝8﹣y，在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2，∴（8﹣x）2+x2＝50，解得：x＝1或x＝7（舍去），∴BF＝1，∴S△ABE＝AE•BF＝×8×1＝4；综上，S△ABE的值为3或4．3.（2022普陀一模25题）如图，在△ABC中，边BC上的高AD＝2，tanB＝2，直线l平行于BC，分别交线段AB，AC，AD于点E、F、G，直线l与直线BC之间的距离为m．（1）当EF＝CD＝3时，求m的值；（2）将△AEF沿着EF翻折，点A落在两平行直线l与BC之间的点P处，延长EP交线段CD于点Q．①当点P恰好为△ABC的重心时，求此时CQ的长；②联结BP，在∠CBP＞∠BAD的条件下，如果△BPQ与△AEF相似，试用m的代数式表示线段CD的长．【解答】解：（1）如图1，在△ABC中，边BC上的高AD＝2，tanB＝2，∴＝tanB＝2，∴BD＝1，∵EF＝CD＝3，DG＝m，∴BC＝BD+CD＝4，AG＝AD﹣DG＝2﹣m，∵EF∥BC，∴＝，即＝，解得：m＝，∴m的值为；（2）①如图2，∵将△AEF沿着EF翻折，点A落在△ABC的重心点P处，∴BD＝CD＝1，AP＝2PD，即PD＝AD＝，AP＝AD＝，∴AG＝GP＝AP＝，∴DP＝GP，∵EF∥BC，∴∠PGE＝∠PDQ＝90°，△AEG∽△ABD，∴＝，即＝，∴EG＝，在△PQD和△PEG中，，∴△PQD≌△PEG（ASA），∴DQ＝EG＝，∴CQ＝CD﹣DQ＝1﹣＝，∴此时CQ的长为；②在Rt△ABD中，AB＝＝，∵将△AEF沿着EF翻折，点A落在两平行直线l与BC之间的点P处，∴∠PBQ＜∠ABD，∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABD，∴∠PBQ＜∠AEF，∵∠CBP＞∠BAD，∴∠BAD＜∠PBQ＜∠AEF，∵GP＝AG＝2﹣m，DG＝m，∴DP＝DG﹣GP＝m﹣（2﹣m）＝2m﹣2，∴m＞1，∴1＜m＜2，∵∠AEF＝∠ABD，∴＝tan∠AEF＝tan∠ABD＝2，∴＝2，∴EG＝，∵EF∥BC，∴△PEG∽△PQD，∴＝，即＝，∴DQ＝m﹣1，∴BQ＝BD+DQ＝m，∵∠AEF＝∠PEG＝∠BQP，∠PBQ＜∠AEF，∴△BPQ与△AEF相似，则△BPQ∽△FAE或△BPQ∽△AFE，Ⅰ．当△BPQ∽△FAE时，∵△FAE∽△CAB，∴△BPQ∽△CAB，∴＝，即＝，∴BC＝，∴CD＝BC﹣BD＝﹣1＝；Ⅱ．当△BPQ∽△AFE时，∵△AFE∽△ACB，∴△BPQ∽△ACB，∴＝，即＝，∴BC＝，∴CD＝BC﹣BD＝﹣1＝，综上，线段CD的长为或．4（2022松江一模25题）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D是边AB上一点（与点A、B不重合），DE平分∠CDB，交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F．（1）当DE⊥BC时，求DE的长；（2）当△CEF与△ABC相似时，求∠CDE的正切值；（3）如果△BDE的面积是△DEF面积的2倍，求这时AD的长．【小问1详解】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，∴，∵DE平分∠CDB，∴∠CDE＝∠BDE，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝∠DEB＝90°，在△DCE和△DBE中，，∴△DCE≌△DBE（ASA），∴CE＝BE，∵CE+BE＝BC＝4，∴CE＝BE＝2，∵，∴，∴DE＝；【小问2详解】∵EF⊥CD，∴∠CFE＝90°＝∠ACB，∵△CEF与△ABC相似，∴△CEF∽△ABC或△CEF∽△BAC，①当△CEF∽△ABC时，则∠ECF＝∠BAC，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠ECF+∠ABC＝90°，∴∠CDB＝90°，∵DE平分∠CDB，∴，∴tan∠CDE＝tan45°＝1；②当△CEF∽△BAC时，则∠ECF＝∠ABC，∴DC＝DB，∵DE平分∠CDB，∴DE⊥BC，∴∠CDE+∠ECF＝90°，∵∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠CDE＝∠BAC，∴，综上所述，∠CDE的正切值为1或；【小问3详解】如图，过点E作EG⊥AB于点G，∵DE平分∠CDB，EF⊥CD，EG⊥AB，∴EF＝EG，∵DE＝DE，∴Rt△DEF≌Rt△DEG（HL），∴DF＝DG，∵△BDE的面积是△DEF面积的2倍，∴BD＝2DF，∴DG＝BG，∵EG⊥BD，∴DE＝BE，设BE＝x，则DE＝x，CE＝BC﹣BE＝4﹣x，，∴，∴，∵DE平分∠CDB，∴∠CDE＝∠BDE，∵DE＝BE，∴∠BDE＝∠B，∴∠CDE＝∠B，∵∠DCE＝∠BCD，∴△CDE∽CBD，∴，即，解得：CD＝3，，∴，故这时AD的长为．1.（2022奉贤一模25题）如图1，已知锐角△ABC的高AD、BE相交于点F，延长AD至G，使DG＝FD，联结BG，CG．（1）求证：BD•AC＝AD•BG；（2）如果BC＝10，设tan∠ABC＝m．①如图2，当∠ABG＝90°时，用含m的代数式表示△BFG的面积；②当AB＝8，且四边形BGCE是梯形时，求m的值．【解答】（1）证明：∵△ABC的高AD、BE相交于点F，∴∠AEB＝∠ADC＝90°，又∵∠EAF＝∠DAC，∴∠AFE＝∠ACD，∵∠BFD＝∠AFE，∴∠BFD＝∠ACD，∵BD⊥FG，DF＝DG，∴BD垂直平分GF，∴BG＝BF，∴∠BGF＝∠BFG，∴∠BGF＝∠ACD，又∵∠BDG＝∠ADC＝90°，∴△BDG∽△ADC，∴，∴BD•AC＝AD•BG；（2）解：①∵∠ABG＝90°，∴∠ABD+∠GBC＝90°，∵∠GBD+∠BGD＝90°，∴∠ABD＝∠BGD，同理∠GBD＝∠BAD，由（1）知△BDG∽△ADC，∴∠GBD＝∠DAC，∴∠BAD＝∠CAD，又∵AD＝AD，∠ADB＝∠ADC，∴△ADB≌△ADC（ASA），∴BD＝CD＝BC＝5，∵tan∠ABC＝m．∴tan∠BGD＝m，∴GD＝，∴GF＝2GD＝，∴S△BFG＝×FG×BD＝＝；②当BG∥AC时，∴∠ACB＝∠GBC，∵∠GBC＝∠CAD，∴∠ACB＝∠CAD＝45°，设CD＝AD＝x，则BD＝10﹣x，由勾股定理得，x2+（10﹣x）2＝82，解得x＝5±，当x＝5+时，BD＝10﹣x＝5﹣，此时m＝，当x＝5﹣时，BD＝10﹣x＝5+，此时m＝；当BE∥CG时，∴∠EBC＝∠BCG，则∠CBG＝∠BCG，∴BG＝CG，∴BD＝CD＝5，由勾股定理得AD＝，∴m＝，综上，m＝或或．2.（2021青浦25题）(三角形的面积比)已知：在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝m°（0＜m≤180），点C是上的一个动点，直线AC与直线OB相交于点D．（1）如图1，当0＜m＜90，△BCD是等腰三角形时，求∠D的大小（用含m的代数式表示）；（2）如图2，当m＝90点C是的中点时，联结AB，求的值；（3）将沿AC所在的直线折叠，当折叠后的圆弧与OB所在的直线相切于点E，且OE＝1时，求线段AD的长．【解答】解：（1）C在AB弧线上，∴∠OBC为锐角，∴∠CBD为钝角，则△BCD是等腰三角形时，仅有BC＝BD这一种情况，∴∠D＝∠BCD，连接OC则OA＝OC＝OB，∴∠OAC＝∠OCA，∠OCD＝∠OBC，∴∠OBC＝∠D+∠BCD＝2∠D，在△OCD中，∠COD+2∠D+2∠D＝180°，∴∠AOC＝m°﹣∠COD＝m°+4∠D﹣180°，∴∠AOC＝×（180°﹣∠AOC）＝180°﹣﹣2∠D，在△AOD中，m°+∠OAC+∠D＝180°，∴180°+﹣∠D＝180°，∴∠D＝；（2）过D作DM⊥AB延长线于M，连接OC，∵C为中点，∴AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC且AO＝CO＝BO，∴∠OAC＝∠OCA＝∠OCB＝∠OBC，∴∠ACO+∠BCO＝×（360°﹣90°）＝135°，∴∠BCD＝45°，∴45°+∠ODA＝∠ABC+∠ABD＝45°+∠ABC，∴∠ABC＝∠ADO＝∠BAC，∴BD＝AB＝2（勾股定理），∴BM＝DM＝2（∠MBD＝∠OBA＝45°，∴BM＝DM），∴AM＝AB+BM＝2+2，∴AN＝AB＝，又∵CN⊥AB，DM⊥AB，∴△ANC∽△AMD，∴，∴＝＝6+4；（3）图2如下：∵E为弧线AEC与OB切点，∴A、E、C在半径为2的另一个圆上，∵O′E＝2，OE＝1，∴OO′＝（勾股定理），又∵OA＝OC＝2，O′A＝O′C＝2，∴四边形AOCO′是菱形，∴AC⊥OO′且AC、OO′互相平分，且∠O′OE共角，∴△O′OE∽△DOP，∴＝且OP＝OO′＝，∴OP＝，∴AP＝＝（Rt△APO′的勾股定理）∴AD＝AP+PD＝．3.【2021闵行二模25题】（14分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P在边BC上（点P与端点B、C不重合），以P为圆心，PB为半径作圆，圆P与射线BD的另一个交点为点E，直线CE与射线AD交于点G．点M为线段BE的中点，联结PM．设BP＝x，BM＝y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；（2）联结AP，当AP∥CE时，求x的值；（3）如果射线EC与圆P的另一个公共点为点F，当△CPF为直角三角形时，求△CPF的面积．【分析】（1）先由垂径定理证明PM⊥BE，得出△BMP与△BCD相似，利用△BCD三边之间的特殊比值求出y与x之间的函数关系式；（2）当AP∥CE时，则DG＝BP＝x，再用△DGE与△BCE相似，列出方程，求得结果；（3）△CPF为直角三角形分两种情况，第一种是点E与点D重合，第二种是PF⊥BC，利用∠EPC的正切值为这一隐含条件，即可求解．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，CD＝AB＝4，∠BCD＝90°，∴BD＝＝6，∵M为弦BE的中点，P为圆心，∴PM⊥BE，∠BMP＝90°，∵AD∥BC，∴∠PBM＝∠DBC，∴＝＝cos∠DBC，∴＝，∴y＝x，当点G与点A重合时，则点E为BD中点BD＝，由x＝，∴y关于x的函数解析式y＝x（；（2）如图1，当AP∥CE时，AG＝PC，∴DG＝BP＝x．由BM＝x，得BE＝x﹣x∵DG∥BC∴△DGE∽△BCE，∴＝＝＝；∴＝，整理，得x2+4x﹣40＝0，解得x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2（不符合题意∴x＝﹣4+3． （3）如图2，若∠PFC＝90°，不符合题意；如图3，当∠PCF＝90°时，此时y＝＝5，由x＝2，∴PC＝8﹣5＝5，CF＝CD＝4，∴S△CPF＝×3×4＝2；如图4，当∠CPF＝90°时，在BC边上取一点H，连接DH，由图3得，当点E与点D重合时，此时，DH＝5，∴CH：CD：DH＝3：4：2，∵∠EPQ＝∠DHC＝2∠DBC，∠Q＝∠DCH＝90°，∴△EPQ∽△DHC，∴PQ：EQ：PE＝3：5：5，∵PE＝BP＝PF＝x，∴EQ＝x，PQ＝x∵PF∥EQ，∴△CPF∽△CQE，∴＝＝＝，∴PC＝PQ＝×x，∴4﹣x＝x，解得x＝5，∴PC＝8﹣6＝2，PF＝6，∴S△CPF＝×2×6＝2．综上所述，△CPF的面积为6．4.【2021年黄浦区二模】（14分）如图，AD是△ABC的角平分线，过点C作AD的垂线交边AB于点E，垂足为点O，联结DE．（1）求证：DE＝DC；（2）当∠ACB＝90°，且△BDE与△ABC的面积比为1：3时，求CE：AD的值；（3）是否存在△ABC能使CE为△ABC边AB上的中线，且CE＝AD？如果能，请用∠CAB的某个三角比的值来表示它此时的大小；如果不能，请说明理由．【分析】（1）根据已知条件证明△AOC≌△AOE，可得AC＝AE．再证明△ACD≌△AED，即可得结论；（2）由△BDE与△ABC的面积比为1：3，又△ACD≌△AED，可得△BDE、△ACD与△AED的面积均相等．证明△ACE为等边三角形，根据含30度角的直角三角形即可得结论；（3）作EF∥AD交BC于点F，对应边成比例，令AD＝CE＝8k，则OE＝OC＝4k，OD＝2k，OA＝6k，作CH⊥AE于点H，证明△CEH∽△ACO，可得＝＝，再根据锐角三角形和即可得结论．【解答】解：（1）∵AD是角平分线，∴∠CAO＝∠EAO．又∵CE⊥AD，∴∠COA＝∠EOA＝90°．又