2025高考数学一轮复习-9.4-列联表与独立性检验-专项训练【含解析】

9.4-列联表与独立性检验-专项训练【原卷版】1．想要检验是否喜欢参加体育活动与性别有关，应该检验()A．零假设H0：男性喜欢参加体育活动B．零假设H0：女性不喜欢参加体育活动C．零假设H0：喜欢参加体育活动与性别有关D．零假设H0：喜欢参加体育活动与性别无关2．为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算得χ2＝7．01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握约为()A．0．1% B．1%C．99% D．99．9%3．两个分类变量X和Y，值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分别是a＝10，b＝21，c＋d＝35．若X与Y有关系的可信程度不小于97．5%，则c等于()A．3 B．4C．5 D．6附：α0．050．025xα3．8415．0244．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的eq\f(1,2)，男生追星的人数占男生人数的eq\f(1,6)，女生追星的人数占女生人数的eq\f(2,3)，若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有()参考数据及公式如下：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，α0．0500．0100．001xα3．8416．63510．828A．12人 B．11人C．10人 D．18人5．(多选)有两个分类变量X，Y，其列联表如下所示，Y1Y2X1a20－aX215－a30＋a其中a,15－a均为大于5的整数，根据小概率值α＝0．05的χ2独立性检验，认为X，Y有关，则a的值可能为()A．8 B．9C．7 D．66．(多选)下列关于χ2的说法正确的是()A．根据2×2列联表中的数据计算得出χ2＝6．735＞6．635＝x0．01，则有99%的把握认为两个分类变量有关系B．χ2越大，认为两个分类变量有关系的把握性就越大C．χ2是用来判断两个分类变量有关系的可信程度的随机变量D．χ2＝eq\f(nad－bc,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量7．世界杯期间，某一电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是否喜欢西班牙队进行调查，对高于40岁的调查了50人，不高于40岁的调查了50人，所得数据制成如下列联表：单位：人年龄是否喜欢西班牙队合计不喜欢西班牙队喜欢西班牙队高于40岁pq50不高于40岁153550合计ab100若工作人员从所有统计结果中任取一个，取到喜欢西班牙队的人的概率为eq\f(3,5)，则在犯错误的概率不超过________下认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)．α0．150．100．050．0250．0100．0050．001xα2．0722．7063．8415．0246．6357．87910．8288．研究人员选取170名青年男女大学生的样本，对他们进行一种心理测验，发现有60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：作肯定的有22名，否定的有38名；男生110名在相同的项目上作肯定的有22名，否定的有88名．问：性别与态度之间是否存在某种关系？分别用下面两种方法进行检验：(1)用等高堆积条形图；(2)根据小概率值α＝0．025的独立性检验．9．某校对学生进行心理障碍测试，得到的数据如下表：焦虑说谎懒惰总计女生5101530男生20105080总计252065110根据以上数据可判断在这三种心理障碍中，与性别关系最大的是()A．焦虑 B．说谎C．懒惰 D．以上都不对10．某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表所示：喜欢不喜欢合计大于40岁2052520岁至40岁102030合计302555根据小概率值α＝0．005的独立性检验，________推断出在犯错误的概率不大于0．005的情况下认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关(填“能”或“不能”)．11．为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在20：00～22：00时间段的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区80人，得到下面的数据表：单位：人性别休闲方式合计看电视看书男105060女101020合计206080(1)根据小概率值α＝0．01的独立性检验，能否认为“在20：00～22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”？(2)将此样本的频率估计为总体的概率，在该社区的所有男性中随机调查3人，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X，求X的数学期望和方差．12．国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：①国家创新指数得分的频率分布直方图(数据分成7组：30≤x<40,40≤x<50,50≤x<60,60≤x<70，70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100)．②国家创新指数得分在60≤x<70这一组的是：61．7,62．4,63．6,65．9,66．4,68．5,69．1,69．3,69．5．③40个国家的人均国内生产总值(万美元)和国家创新指数得分情况统计图：④中国的国家创新指数得分为69．5，人均国内生产总值9960美元．(以上数据来源于《国家创新指数报告(2018)》)根据以上信息，解答下列问题：(1)中国的国家创新指数得分排名世界第几？(2)是否有99．9%的把握认为“人均国内生产总值影响国家创新指数得分”？(3)用(1)(2)得到的结论，结合所学知识，合理解释④中客观存在的数据．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)．α0．0500．0100．001xα3．8416．63510．8289.4-列联表与独立性检验-专项训练【解析版】1．想要检验是否喜欢参加体育活动与性别有关，应该检验()A．零假设H0：男性喜欢参加体育活动B．零假设H0：女性不喜欢参加体育活动C．零假设H0：喜欢参加体育活动与性别有关D．零假设H0：喜欢参加体育活动与性别无关解析：D独立性检验假设有反证法的意味，应假设两类变量(而非变量的属性)无关，这时的χ2应该很小，如果χ2很大，则可以否定假设，如果χ2很小，则不能够肯定或者否定假设．2．为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算得χ2＝7．01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握约为()A．0．1% B．1%C．99% D．99．9%解析：C易知χ2＝7．01>6．635＝x0．01，对照临界值表知，有99%的把握认为喜欢乡村音乐与性别有关系．3．两个分类变量X和Y，值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分别是a＝10，b＝21，c＋d＝35．若X与Y有关系的可信程度不小于97．5%，则c等于()A．3 B．4C．5 D．6附：α0．050．025xα3．8415．024解析：A列2×2列联表如下：XY合计y1y2x1102131x2cd35合计10＋c21＋d66故χ2＝eq\f(66×[1035－c－21c]2,31×35×10＋c56－c)≥5．024．把选项A、B、C、D代入验证可知选A．4．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的eq\f(1,2)，男生追星的人数占男生人数的eq\f(1,6)，女生追星的人数占女生人数的eq\f(2,3)，若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有()参考数据及公式如下：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，α0．0500．0100．001xα3．8416．63510．828A．12人 B．11人C．10人 D．18人解析：A设男生人数为x，依题意可得列联表如下：单位：人性别追星合计喜欢追星不喜欢追星男生eq\f(x,6)eq\f(5x,6)x女生eq\f(x,3)eq\f(x,6)eq\f(x,2)合计eq\f(x,2)xeq\f(3x,2)若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则χ2>3．841，由χ2＝eq\f(\f(3x,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,36)－\f(5x2,18)))2,\f(x,2)·x·x·\f(x,2))＝eq\f(3,8)x>3．841，解得x>10．24，因为eq\f(x,2)，eq\f(x,6)为整数，所以若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则男生至少有12人．故选A．5．(多选)有两个分类变量X，Y，其列联表如下所示，Y1Y2X1a20－aX215－a30＋a其中a,15－a均为大于5的整数，根据小概率值α＝0．05的χ2独立性检验，认为X，Y有关，则a的值可能为()A．8 B．9C．7 D．6解析：AB根据公式，得χ2＝eq\f(65×[a30＋a－15－a20－a]2,20×45×15×50)＝eq\f(13×13a－602,20×45×3×2)>3．841＝x0．05，根据a>5且15－a>5，a∈Z，求得当a＝8或9时满足题意．6．(多选)下列关于χ2的说法正确的是()A．根据2×2列联表中的数据计算得出χ2＝6．735＞6．635＝x0．01，则有99%的把握认为两个分类变量有关系B．χ2越大，认为两个分类变量有关系的把握性就越大C．χ2是用来判断两个分类变量有关系的可信程度的随机变量D．χ2＝eq\f(nad－bc,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量解析：ABCD选项的公式中分子应该是n(ad－bc)2．故选A、B、C．7．世界杯期间，某一电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是否喜欢西班牙队进行调查，对高于40岁的调查了50人，不高于40岁的调查了50人，所得数据制成如下列联表：单位：人年龄是否喜欢西班牙队合计不喜欢西班牙队喜欢西班牙队高于40岁pq50不高于40岁153550合计ab100若工作人员从所有统计结果中任取一个，取到喜欢西班牙队的人的概率为eq\f(3,5)，则在犯错误的概率不超过________下认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)．α0．150．100．050．0250．0100．0050．001xα2．0722．7063．8415．0246．6357．87910．828解析：设“从所有人中任意抽取一个，取到喜欢西班牙队的人”为事件A，由已知得P(A)＝eq\f(q＋35,100)＝eq\f(3,5)，所以q＝25，p＝25，a＝40，b＝60．χ2＝eq\f(100×25×35－25×152,40×60×50×50)＝eq\f(25,6)≈4．167>3．841＝x0．05．根据小概率值α＝0．05的χ2独立性检验，在犯错的概率不超过5%下认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关．答案：5%8．研究人员选取170名青年男女大学生的样本，对他们进行一种心理测验，发现有60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：作肯定的有22名，否定的有38名；男生110名在相同的项目上作肯定的有22名，否定的有88名．问：性别与态度之间是否存在某种关系？分别用下面两种方法进行检验：(1)用等高堆积条形图；(2)根据小概率值α＝0．025的独立性检验．解：建立性别与态度的2×2列联表如下：单位：人性别态度合计肯定否定男生2288110女生223860合计44126170根据列联表中所给的数据，可求出男生中作肯定态度的频率为eq\f(22,110)＝0．2，女生中作肯定态度的频率为eq\f(22,60)≈0．37．作等高条形图如图，其中两个深色条形的高分别表示男生和女生中作肯定态度的频率，比较图中深色条形的高可以发现，女生中作肯定态度的频率明显高于男生中作肯定态度的频率，因此可以认为性别与态度有关系．零假设为H0：性别和态度没有关系．根据列联表中的数据得到χ2＝eq\f(170×22×38－22×882,110×60×44×126)≈5．622>5．024＝x0．025．根据小概率值α＝0．025的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为性别和态度有关系，此推断认为犯错误的概率不大于0．025．9．某校对学生进行心理障碍测试，得到的数据如下表：焦虑说谎懒惰总计女生5101530男生20105080总计252065110根据以上数据可判断在这三种心理障碍中，与性别关系最大的是()A．焦虑 B．说谎C．懒惰 D．以上都不对解析：B对于焦虑，说谎，懒惰三种心理障碍，设它们观测值分别为χeq\o\al(2,1)，χeq\o\al(2,2)，χeq\o\al(2,3)，由表中数据可得：χeq\o\al(2,1)＝eq\f(110×5×60－25×202,30×80×25×85)≈0．863，χeq\o\al(2,2)＝eq\f(110×10×70－20×102,30×80×20×90)≈6．366，χeq\o\al(2,3)＝eq\f(110×15×30－15×502,30×80×65×45)≈1．410，因为χeq\o\al(2,2)的值最大，所以说谎与性别关系最大．故选B．10．某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表所示：喜欢不喜欢合计大于40岁2052520岁至40岁102030合计302555根据小概率值α＝0．005的独立性检验，________推断出在犯错误的概率不大于0．005的情况下认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关(填“能”或“不能”)．解析：零假设为H0：喜欢“人文景观”景点与年龄无关．由公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)得，χ2≈11．978>7．879＝x0．005，根据小概率值α＝0．005的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关，此推断认为犯错误的概率不大于0．005．答案：能11．为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在20：00～22：00时间段的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区80人，得到下面的数据表：单位：人性别休闲方式合计看电视看书男105060女101020合计206080(1)根据小概率值α＝0．01的独立性检验，能否认为“在20：00～22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”？(2)将此样本的频率估计为总体的概率，在该社区的所有男性中随机调查3人，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X，求X的数学期望和方差．解：(1)零假设为H0：在20：00～22：00时间段居民的休闲方式与性别无关系，根据2×2列联表得，χ2＝eq\f(80×10×10－10×502,60×20×20×60)＝eq\f(80,9)≈8．889>6．635＝x0．01，根据小概率值α＝0．01的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为“在20：00～22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”，此推断认为犯错误的概率不超过0．01．(2)由题意得，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(5,6)))，且P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))3－k，k＝0,1,2,3，故E(X)＝np＝3×eq\f(5,6)＝eq\f(5,2)，D(X)＝np(1－p)＝3×eq\f(5,6)×eq\f(1,6)＝eq\f(5,12)．12．国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：①国家创新指数得分的频率分布直方图(数据分成7组：30≤x<40,40≤x<50,50≤x<60,60≤x<70，70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100)．②国家创新指