2025高考数学一轮复习-8.6-双曲线-专项训练【含解析】

2025高考数学一轮复习-8.6-双曲线-专项训练【原卷版】[A级基础达标]1.若直线y=3x−1与双曲线A.19 B.9 C.13 D.2.若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2A.32或5 B.5 C.32 D.323.已知F1，F2分别是双曲线x2a2−y2b2=A.y=±2x B.y=±3x C.y4.（多选）已知双曲线E:x2A.E的实轴长为2 B.E的焦距为42C.E的离心率为2 D.E的渐近线方程是y=±5.（多选）已知曲线C的方程为y2A.若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则m>−B.曲线C可能是圆C.若mn<0，则曲线D.若曲线C为双曲线，则渐近线方程为y=±6.已知双曲线经过点A−7,−67.记双曲线C:x2a2−y2b2=8.若双曲线C:x2a2−y2b9.在①双曲线E的焦点在x轴上；②双曲线E的焦点在y轴上，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.已知双曲线C的对称轴为坐标轴，且C经过点A0,6（1）求双曲线C的标准方程；（2）若双曲线E与双曲线C的渐近线相同，，且E的焦距为4，求双曲线E的实轴长.注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.[B级综合运用]10.如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C:x2a2−y2b2=1aA.22π B.3π C.23π11.（多选）在△ABC中，AB=4，M为ABA.动点C的轨迹是双曲线 B.动点C的纵坐标的最大值为3C.△ABC是钝角三角形 D.△ABC面积的最大值为12.已知F1,F2分别为双曲线C:x216−y29=1的左、右焦点，13.已知F1，F2分别是双曲线E:x2a2−y23=1a>14.已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0（1）用a表示PF1，（2）若∠F1P[C级素养提升]15.（多选）双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且cos∠A.52 B.32 C.132 16.已知双曲线x2a2（1）若双曲线的一条渐近线方程为y=x且（2）以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为−32025高考数学一轮复习-8.6-双曲线-专项训练【解析版】[A级基础达标]1.若直线y=3x−1与双曲线C:A.19 B.9 C.13 D.[解析]选A.双曲线C:x2−my2=1的渐近线方程满足x=±m2.若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+yA.32或5 B.5 C.32 D.32[解析]选A.因为m是2和8的等比中项，所以m=4或m当m=4时，方程为x所以a=2,b=1,c=当m=−4时，方程为x2−y24=1，表示双曲线，所以a=13.已知F1，F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1aA.y=±2x B.y=±3x C.y[解析]选C.由题意得△AF2F1故可设AF2=2m，则AF由双曲线的定义得2a=A所以a=m,c=3m,所以b所以双曲线的渐近线方程为y=±24.（多选）已知双曲线E:x2a2A.E的实轴长为2 B.E的焦距为42C.E的离心率为2 D.E的渐近线方程是y=±[解析]选BC.由题意得8a2−44即双曲线E的方程为x24所以双曲线E的实轴长是4，焦距是42离心率为222=2故B，C正确，A，D错误，故选BC.5.（多选）已知曲线C的方程为y2m−A.若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则m>−B.曲线C可能是圆C.若mn<0，则曲线D.若曲线C为双曲线，则渐近线方程为y=±[解析]选BD.因为曲线C的方程为y2m对于A:曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则x2−n+y对于B:当m=−n>0对于C:若m=−n=1曲线C为x2+对于D:若y2m−x2当m>0，n>0时，y2m当m<0，n<0时，x2−6.已知双曲线经过点A−7,−62[解析]设双曲线方程为mx2则−72m+所以双曲线的标准方程为x2257.记双曲线C:x2a2−y2b2=1a>[解析]由题意得，双曲线C的渐近线方程为y=±b故只需0<ba≤2可满足条件“直线y=2x与C所以e=c因为e>1，所以18.若双曲线C:x2a2−y2b[解析]设双曲线C:x2a2圆x2+y−2由题意得圆心到直线的距离为22−32=1=2aa2+b29.在①双曲线E的焦点在x轴上；②双曲线E的焦点在y轴上，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.已知双曲线C的对称轴为坐标轴，且C经过点A0,6（1）求双曲线C的标准方程；[答案]解：设双曲线C的标准方程为mx2则6n=1，m所以双曲线C的标准方程为y26（2）若双曲线E与双曲线C的渐近线相同，，且E的焦距为4，求双曲线E的实轴长.注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.[答案]双曲线C的渐近线方程为y=±3选①，设双曲线E的标准方程为x2a所以ba=3，所以双曲线E的实轴长为2.选②，设双曲线E的标准方程为y2a所以ab=3，2c=4，所以双曲线E的实轴长为23[B级综合运用]10.如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0A.22π B.3π C.23π[解析]选C.由题意可设M533,2m,N393,−m作差可得2712a2=34,解得a2=11.（多选）在△ABC中，AB=4，M为AB的中点，且A.动点C的轨迹是双曲线 B.动点C的纵坐标的最大值为3C.△ABC是钝角三角形 D.△ABC面积的最大值为[解析]选BD.因为CA−CB不是定值，所以动点C的轨迹不是双曲线，故A错误.以M为原点，AB设CM=r,此时点C在以M为圆心，r为半径的动圆上（除去x由CA−CB=r知，点C在以A，B为焦点，a=r设点Cx,y,则x2+y2=r2,x2r24−y24−r24=1,则y2=364r216−此时△ABC12.已知F1,F2分别为双曲线C:x216−y29=1的左、右焦点，[解析]如图，根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限.因为P，Q关于原点对称，F1，F2也关于原点对称，所以线段PQ与线段F1F2互相平分，所以四边形PF1Q所以PF1⊥PF又PF1①-②​2得PF1⋅P13.已知F1，F2分别是双曲线E:x2a2−y23=1a>[解析]如图，因为BF2:AB:设BF2=5x，AB=由BF1−BF所以AF1=3x由BF12+B又∣B所以a2=2，c2=故△ABF2的面积14.已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0（1）用a表示PF1，[答案]解：因为点P在双曲线的右支上，所以PF1又PF1=5PF2（2）若∠F1P[答案]在△PF1F2因为−1<cos∠F1PF2<[C级素养提升]15.（多选）双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且cos∠F1A.52 B.32 C.132 [解析]选AC.不妨假设双曲线的标准方程为x2a2−y2b2=1a>0,设过F1的直线与圆D切于点P，连接OP，由题意知OP=a,又OF1=c,所以F1P=b.过点F2作F2Q⊥F1N,交F1N于点Q.由中位线的性质，可得F2Q=2OP=2a，PQ=b.因为cos∠F1N所以c2a2=134,故当两个交点M,N都在双曲线的左支上时，如图2所示，同理可得F2K=2OH=2a,HK=b.因为cos∠F1NF2=35,所以sin∠F1NF2=4516.已知双曲线x2a2（1）若双曲线的一条渐近线方程为y=x且[答案]解：因为双曲线的渐近线方程为y=±b所以a=b所以c2=a2+所以双曲线