2025高考数学一轮复习-8.5.1-椭圆及其性质-专项训练【含答案】

2025高考数学一轮复习-8.5.1-椭圆及其性质-专项训练一、单项选择题1．已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞A．x22＋y2＝1 B．x24C．x24+y22．设椭圆C1：x2a2＋y2＝1(a＞1)，C2：x24＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝3A．233 B．C．3 D．63．曲线x225+y29＝1与曲线xA．长轴长相等 B．短轴长相等C．焦距相等 D．离心率相等4．已知F1，F2是椭圆C：x216+y212＝1的两个焦点，点M，N在C上，若|MF2|＋|NF2|＝6，则|A．9 B．20C．25 D．305．已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，点M，N是椭圆C上关于y轴对称的两点．若直线A．32 B．2C．12 D．6．加斯帕尔·蒙日是法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形G的四边均与椭圆M：x2A．椭圆M的离心率为3B．椭圆M的蒙日圆方程为x2＋y2＝10C．若G为正方形，则G的边长为25D．长方形G的面积的最大值为187．已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的离心率为13，A1，A2分别为CA．x218+y2C．x23+y22＝1 8．已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，半焦距为A．[2－1，1) B．(2－1，1)C．(0，2－1) D．(0，2－1]二、多项选择题9．已知方程x2A．m的取值范围为(4，12)B．若该椭圆的焦点在y轴上，则m∈(8，12)C．若m＝6，则该椭圆的焦距为4D．若m＝10，则该椭圆经过点(1，2)10．已知椭圆C：x225+y29＝1，F1，F2分别为它的左、右焦点，A．存在P使得∠F1PF2＝πB．cos∠F1PF2的最小值为－7C．PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为9D．直线PA与直线PB斜率乘积为定值9三、填空题11．已知F1，F2为椭圆C：x216+y24＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F212．已知点P在圆x2＋y2－6y＋8＝0上，点Q在椭圆x2a2＋y2＝1(a四、解答题13．已知圆M：x2＋(y－1)2＝8，点N(0，－1)，P是圆M上的一个动点，若线段PN的垂直平分线与PM交于点Q.(1)求点Q的轨迹方程C；(2)若点A是曲线C上的动点，求OA·AN的最大值(其中14．如图所示，已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)，F1，F2(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF2＝2F15．设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：x29+y26＝1的两个焦点，点P在C上，cos∠F1PF2A．135 B．C．145 D．16．已知A，B，C是椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)上的三个点，O为坐标原点，A，B两点关于原点对称，AC经过右焦点F，若|参考答案1．C[由于2c＝2，所以c＝1，因为e＝ca＝12，故a＝2，b2＝a2－c所以椭圆的标准方程为x2故选C.]2．A[由已知得e1＝a2−1a，e2＝4−12＝32，因为e2＝3e1，所以32＝33．C[曲线x225+y2曲线x29−k+y225−k＝1(k＜9且k≠0)表示焦点在y轴上，长轴长为225−k，短轴长为29−k4．C[根据椭圆定义可得：|MF1|＋|MF2|＝2a＝8，|NF1|＋|NF2|＝8，因为|MF2|＋|NF2|＝6，所以8－|MF1|＋8－|NF1|＝6，即|MF1|＋|NF1|＝10≥2MF1·NF1，当且仅当|所以|MF1|·|NF1|≤25，则|MF1||NF1|的最大值为25.故选C.]5．D[由题意，椭圆C的左顶点为A(－a，0)，因为点M，N是椭圆C上关于y轴对称的两点，可设M(x0，y0)，则N(－x0，y0)，所以kAM＝y0x0+a，kkAMkAN＝y0x0+a·又因为x02a2+代入可得b2a2＝23，所以离心率e＝ca＝1−6．D[由椭圆方程知a＝6，b＝2，则c＝6−4＝2，离心率为e＝26＝3当长方形G的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为26和4，其对角线长为24+16＝210，因此蒙日圆的半径为10，圆的方程为x2＋y2＝10，B正确；设长方形的边长分别为m，n，因此m2＋n2＝40≥2mn，即mn≤20，当且仅当m＝n时取等号，所以长方形G的面积的最大值是20，此时该长方形G为正方形，边长为25，C正确，D错误．故选D.]7．B[由离心率e＝ca＝1−b2a2＝13，解得b2a2＝89，b2＝89a2，A1，A2分别为C的左、右顶点，则A1(－a，0)，所以BA1＝(－a，－b)，BA2＝(a，－b)，因为BA1·BA2＝－1，所以－a2＋b2＝－1，将b2＝89a2故选B.]8．B[由asin∠PF得ca＝sin∠PF2F∴|PF1|＝2aca+c又|PF1|∈(a－c，a＋c)，则a－c＜2aca+c＜a＋c∴a2－c2＜2ac＜(a＋c)2，即e2＋2e－1＞0，又e∈(0，1)，∴e∈(2－1，1)．故选B.]9．BC[因为方程x2所以12−m＞0，m−4＞0因为椭圆x212−m+所以m－4＞12－m＞0，解得8＜m＜12，故B正确；若m＝6，则椭圆方程为x2所以c2＝a2－b2＝6－2＝4，从而2c＝4，C正确；若m＝10，则椭圆方程为x2点(1，2)的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点(1，2)，D错误．故选BC.]10．ABC[设椭圆C的上、下顶点分别为D，E，由题知椭圆C：x225+y29＝1中，所以F1(－4，0)，F2(4，0)，A(－5，0)，B(5，0)，D(0，3)，E(0，－3)．由于DF1＝(－4，－3)，DF1·DF2＝－16＋9＝－7＜0，所以∠F1PF2的最大角为钝角，故存在P使得∠F记|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝10，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝m2+n2−642mn＝m+n2−2mn−642mn＝36−2mn2mn＝18mn－1≥18m+n2由于PF1⊥PF2，故m+n=10，m2+n2=64⇒mn＝12[(m＋n)所以S△F1P设P(x，y)(x≠±5)，因为A(－5，0)，B(5，0)，x225+y29＝1，则kPA＝yx+5，kPB＝yx−5，于是kPA·kPB＝11．8[根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|，可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形．设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|·|PF2|＝m(8－m)＝8．]12．32[x2＋y2－6y＋8＝0化简为x2＋(y－3)2＝1，圆心A(0，3)．PQ的最大值为5等价于AQ的最大值为4，设Q(x，y)，即x2＋(y－3)2≤16，又x2a2＋y化简得到(1－a2)y2－6y＋a2－7≤0(－1≤y≤1)．当y＝－1时，验证等号成立；对称轴为y＝31−a2，满足y＝31−a2≤－1，即∴e2＝c2a2＝a2−1a2＝1－故离心率的最大值为3213．解：(1)圆M：x2＋(y－1)2＝8的圆心M(0，1)，半径为r＝22，由题意可知|QN|＝|QP|，又点P是圆上的点，则|PM|＝22，且|PM|＝|PQ|＋|QM|，则|QN|＋|QM|＝22＞2，由椭圆的定义可知，点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其中a＝2，c＝1，b＝1，则点Q的轨迹方程C：y22＋x(2)设A(x，y)，则OA＝(x，y)，AN＝(－x，－1－y)，所以OA·AN＝－x2＋y(－1－y)＝－x2－y2－又y22＋x2＝1，所以x2＝1－12y2，所以OA·AN＝－12y2－y－1＝－12由椭圆的有界性可知－2≤y≤2，所以当y＝－1时，取最大值－12所以OA·AN的最大值为－14．解：(1)因为∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.所以a＝2c，e＝ca＝2(2)由题意知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)，由AF2＝2F2B，得2x−1=1，2y=−b，代入x2a2即94a2+14＝1，解得a2＝3，所以b2＝a215．B[法一：依题意a＝3，b＝6，c＝a2−b2＝3.如图，不妨令F1(－3，0)，F2(3，0)．设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝m由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6，②由①②，解得mn＝152设|OP|＝x.在△F1OP和△F2OP中，∠F1OP＋∠F2OP＝π，由余弦定理得x2+3−m得x2＝m2+n2−6所以|OP|＝302法二：依题意a＝3，b＝6，c＝a2−b2＝3.如图(图同法一)，设点P的坐标为(x0，y0)，∠F1PF2＝α，则cos∠F1PF2＝cos故sin∠F1PF2＝sinα＝2sinα2cosα2sin2α2+故S△F1PF2＝b2tan又S△F1PF2＝12×2c|y0|＝3|所以x02＝92，|OP|2＝x02+y法三：依题意a＝3，b＝6，c＝a2−b2＝3.如图(图同法一)，不妨令F1(－3，0)，F设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝m2+n2由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6，②由①②，解得mn＝152因为PO＝12(所以|PO|2＝14(m2＋n2＋2mncos∠F1PF2＝14m+n2−45mn16．53