2025高考数学一轮复习-4.1-任意角和弧度制及三角函数的概念-专项训练【含答案】

2025高考数学一轮复习-4.1-任意角和弧度制及三角函数的概念-专项训练一、单项选择题1．一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为()A．12 B．2C．32 2．下列与角9πA．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋9π4(k∈C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋5π4(k∈3．在平面直角坐标系Oxy中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头M(开始时与圆盘上点A(1，0)重合)系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为B，细线的粗细忽略不计，当φ＝2rad时，点M与点O之间的距离为()A．1cos1 B．C．2 D．54．sin2·cos3·tan4的值()A．小于0 B．大于0C．等于0 D．不存在5．在平面直角坐标系中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点sin2π3A．32 B．－1C．－32 D．6．中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的半周长乘以其半径等于圆面积．南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π.据此，当n足够大时，可以得到π与n的关系为()A．π≈n2sinB．π≈nsin180°C．π≈n2D．π≈n二、多项选择题7．已知角θ的终边经过点(－2，－3)，且θ与α的终边关于x轴对称，则下列结论正确的是()A．sinθ＝－21B．α为钝角C．cosα＝－2D．点(tanθ，sinα)在第一象限8．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点A(1，0)．已知点B(x1，y1)在圆O上，点T的坐标是(x0，sinx0)，则下列说法中正确的是()A．若∠AOB＝α，则ACB＝αB．若y1＝sinx0，则x1＝x0C．若y1＝sinx0，则ACB＝x0D．若ACB＝x0，则y1＝sinx0三、填空题9．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，则5sinα＋5cosα＋4tanα＝________.10．(2023·北京高考)已知命题p：若α，β为第一象限角，且α>β，则tanα>tanβ.能说明命题p为假命题的一组α，β的值可以是α＝________，β＝________．四、解答题11．如图，在平面直角坐标系Oxy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点A(1，0)，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．(1)若点B的横坐标为－12，求sinα的值和与角α终边相同的角β(2)若α∈0，π2，请写出弓形AB的面积S12．数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边△ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形(如图所示)．若莱洛三角形的周长为2π，求其面积．13．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的)．已知OA＝10，OB＝x(0<x<10)，线段BA，CD与BC，AD的长度之和为30，圆心角为(1)求θ关于x的函数表达式；(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值．参考答案1．C[设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，则αr=解得r=2．C[对于A，B，2kπ＋45°(k∈Z)，k·360°＋9π4(k∈对于C，因为9π4＝2π＋π4与－315°是终边相同的角，故与角9π4的终边相同的角可表示为k·对于D，kπ＋5π4(k∈Z)，不妨取k＝0，则表示的角5π3．D[展开过程中：BM＝AB＝φ·R＝2，BO＝1，MO＝BM2+4．A[因为π2＜2＜3＜π＜4＜3π2，所以2rad和3rad的角是第二象限角，4rad的角是第三象限角，所以sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0，所以sin2·cos3·5．B[依题意，因为sin2π3＝32，cos2π3＝－12，所以终边经过的点为326．A[设圆的半径为r，将内接正n边形分成n个小三角形，由内接正n边形的面积无限接近圆的面积，即可得：πr2≈n·12·r2·sin360°n，解得π≈n27．ACD[角θ的终边经过点(－2，－3)，sinθ＝－217θ与α的终边关于x轴对称，由题意得α的终边经过点(－2，3)，α为第二象限角，不一定为钝角，cosα＝－27因为tanθ＝32>0，sinα＝217>0，所以点(tanθ，sin8．AD[由于单位圆的半径为1，根据弧长公式有ACB＝1·α＝α，所以A正确；由于B是∠AOB的一边与单位圆的交点，y1是对应∠AOB的正弦值，即y1＝sinx0，所以x1是对应∠AOB的余弦值，即x1＝cosx0，所以B错误；当y1＝sinx0时，∠AOB＝x0＋2kπ，k∈Z，所以C错误；反过来，当∠AOB＝x0，即ACB＝x0时，y1＝sinx0一定成立，所以D正确．故选AD.]9．－4或－2[设α终边上任意一点为P(－4a，3a)，r＝|5a|.当a>0时，r＝5a，sinα＝35，cosα＝－45，tanα＝－∴5sinα＋5cosα＋4tanα＝3－4－3＝－4；当a<0时，r＝－5a，sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－∴5sinα＋5cosα＋4tanα＝－3＋4－3＝－2.综上可知，5sinα＋5cosα＋4tanα＝－4或－2．]10．9π4(答案不唯一)π4(答案不唯一)[取α＝π4＋2π，则α>β，但tanα＝tanβ，不满足tanα>tanβ，∴命题p为假命题，∴能说明命题p为假命题的一组α，β的值可以是α＝9π4，β＝11．解：(1)由题意知，若点B的横坐标为－12，可得B的坐标为−12，32，于是α＝2π3＋2kπ，k∈Z，与角α终边相同的角β的集合为(2)△AOB的高为1×cosα2，AB＝2sinα故S△AOB＝12×2sinα2×cosα2＝1故弓形AB的面积S＝12·α·12－12sinα＝12(α－sinα)，α12．解：由条件可知，弧长AB＝BC＝AC＝2π3，等边三角形的边长AB＝BC＝AC＝2π3π3＝2，则以点A，B，C为圆心，圆弧AB，BC，AC所对的扇形面积为12×2π3×2＝2π3，中间等边所以莱洛三角形的面积是3×2π3－23＝2π－213．解：(1)根据题意，可算得BC＝θx，AD