贵州省卓越联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（解析版）

贵州省学校卓越联盟发展计划项目2024年上半年期中考试高二数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.若曲线在处的切线方程为，则（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】运用导数几何意义得答案.【详解】曲线y=fx在处的切线方程为则运用导数几何意义，知道.故选：D.2.高二某班级4名同学要参加足球、篮球、乒乓球比赛，每人限报一项，其中甲同学不能报名足球，乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，则不同的报名种数有（）A.54 B.12 C.8 D.81【答案】B【解析】【分析】直接由分步计数原理求解即可．【详解】由甲同学不能报名足球，可得甲有2种报名方式，乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，可得乙有3种报名方式，丙有2种报名方式，丁只有1种报名方式，共分步计数原理可得共有种．故选：B．3.高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉，并且每一-排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央．从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球．理论上，小球落入2号容器的概率是多少（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可知，若要小球落入2号容器，则需要在通过的四层中有三层向左，一层向右，再利用独立事件的概率乘法公式求解．【详解】设事件表示“小球落入2号容器”，若要小球落入2号容器，则需要在通过的四层中有三层向左，一层向右，所以．故选：B．4.在的展开式中含项的系数是（）A. B. C.240 D.60【答案】C【解析】【分析】运用二项式定理，结合组合数公式求解即可.【详解】，要得到含项，只需要找出展开式，即可.二项式的展开式中含的项为，没有含的项.故含项为，含项的系数是240.故选：C.5.由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比400000大的偶数？（）A.120种 B.144种 C.48种 D.24种【答案】A【解析】【分析】分最高位是5和最高位是4两种情况，结合排列组合知识求解．【详解】若最高位是5，则个位可以是0或2或4，其它位任意排列，共有种，若最高位是4，则个位可以是0或2，其它位任意排列，共有种，所以比400000大的偶数的排列方法一共有种．故选：A．6.用半径为1的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，当容器的容积最大时，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，求出，表示出体积表达式，利用导数求出函数的最大值，得到结果．【详解】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，那么，因此，可得．令，即，得，当时，；当时，，所以时，取得极大值，并且这个极大值是最大值，把代入，得，由，得．故选：B．7.乒乓球，被称为中国的“国球”.某次比赛采用三局两胜制，当参赛选手甲、乙两位中有一位赢得两局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛都要分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为，有选手晋级所需要的比赛局数的期望值记为，则下列说法中正确的是（）A.打满三局结束比赛的概率为 B.的常数项为4C.函数在上单调递增 D.【答案】C【解析】【分析】设实际比赛局数为，先计算出可能取值的概率，即可判断A选项；进而求出期望值，即可判断BCD选项.【详解】设实际比赛局数为，则的可能取值为，所以，，因此三局结束比赛的概率为，则A不正确；故，由知常数项为2，故B不正确；由，故D不正确；由二次函数的性质可得函数在上单调递增，而，所以函数在上单调递增，C正确.故选：C.8.已知函数，若，则的最小值为（）A. B.3 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】运用导数判断函数单调性，又可得，从而可得，代入式子，综合基本不等式可解.【详解】，求导f'(即在定义域内单调递增，因为，若，则，则，所以.，当且仅当，即取等号.故选：A.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.2024年3月3日，由中国田径协会技术认证，贵州省体育局、黔西南州人民政府共同主办的“加油奔跑·兴义真好”2024万峰林马拉松赛鸣枪开跑.近2万名选手穿行城市间，奔跑峰林中，尽享“万峰成林处、阳光黔西南”的山水画卷.本次马拉松共设置了4个服务站点（真实数据是16个，本题设置为4个），某参赛运动员在第1个服务点停留的概率为，在其他服务点停留的概率均为．用随机变量X表示该运动员会停留的服务点的个数，则下列正确的是（）A. B.C.一次都不停留的概率为 D.至多停留一次的概率为【答案】BC【解析】【分析】运用相互独立事件概率乘法公式，结合组合数公式逐个计算即可【详解】的所有可能为.，，，.则选项中，错误，正确.故选：BC10.过点且与曲线相切的直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】运用导数几何意义，结合导数运算，点斜式可解.【详解】求导得，设切点为，则，切线方程为，又切线过点，所以，整理得，解得或.当时，，切线方程为.当时，，切线方程为.故选：BC.11.已知函数，，，则下列说法中正确的是（）A.函数只有1个零点，当时，函数只有1个零点．B.若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数．C.，且，都有．D.，，使得成立，则实数．【答案】BD【解析】【分析】先分别求出函数和的单调性，对于A，直接解和时的最小值即可判断得解；对于B，根据函数的单调性结合函数的最小值和值的正负分布情况即可得解；对于C，根据函数的单调性即可得解；对于D，先由条件得到，再根据单调性确定并求解即可得解.【详解】由题意，故当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增；定义域为，，故当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.对于A，令，故函数只有1个零点；当时，，故没有零点，故A错误；对于B，，时，，时，，故有两个不相等的实数根，则实数，故B正确；对于C，在上单调递减，故C错误；对于D，，，成立，则，所以，即，故D正确.故选：BD.【点睛】思路点睛：恒成立和有解问题通常转化成最值问题来求解，解决本题可先利用导数求出函数的单调性，从而可求出函数值正负分布情况和最值，进而可依次求解各选项.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若，则______．【答案】【解析】【分析】运用导数的加法和乘法运算法则求解即可.【详解】，故答案为：.13.每年农历五月初五为端午节，又称端阳节；端午节是为了纪念楚国爱国诗人屈原而设立的传统节日.端午节对于中华民族的文化传承具有重要意义，也成为了中华文化与世界文化交流的窗口.更有吃粽子，赛龙舟，挂菖蒲､蒿草､艾叶，薰苍术､白芷，喝雄黄酒的习俗.2023年6月22日是我国的传统节日“端午节”.这天，楠楠的妈妈煮了9个粽子，其中4个腊肉馅，5个豆沙馅.楠楠想尝下粽子的味道，第一次尝了一个粽子觉得味道好吃，接着第二次又尝了一个粽子，则楠楠第一次和第二次尝的都是腊肉馅的概率为__________.【答案】【解析】【分析】直接由古典概型概率公式即可求解.【详解】由古典概型概率计算公式可知，所求即为.故答案为：.14.2024年3月5日至11日，第十四届全国人民代表大会第二次会议胜利召开.此次大会是高举旗帜、真抓实干、团结奋进的大会，全国人大代表不负人民重托、认真履职尽责，凝聚起扎实推进中国式现代化的磅礴力量.某村小校党支部包含甲、乙、丙、丁的10位党员开展“学习贯彻2024年全国两会精神”圆桌会议，根据会议要求：甲、乙必须相邻，甲、丙、丁不能相邻.则不同的座位安排有______种（用数字作答）.【答案】43200【解析】【分析】甲和乙必须相邻，采用捆绑法，甲和丙不能相邻，采用插空法，结合圆排列，再根据分步乘法原理计算即可.【详解】甲和乙必须相邻，采用捆绑法，将其看作一个整体，与除丙丁外其他6人排成一圈，共有种排列.甲和丙，丁不能相邻，采用插空法，甲和乙与除了丙丁外的其他6人排成一圈后形成7个空，但甲与丙丁不能相邻，故丙丁只有6个空位可选，有种选择，根据分步乘法原理可知，不同的排法总数为.故答案为：43200.四、解答题（本大题共5小题，共77分）15.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次（无并列名次）．甲、乙两名同学去询问成绩，请你根据下面老师的回答分析，分别求5人的名次排列可能有多少种不同情况？（1）老师对甲说：“很遗憾，你没有得到第一名”，对乙说：“你当然不会是最差的．”（2）老师说：“你们都没有得到第一名，你们也都不是最后一名，并且你们的名次相邻．”【答案】（1）78（2）24【解析】【分析】（1）利用间接法，结合排列组合知识求解；（2）甲、乙两人名次为2，3或3，4，，再用分步乘法计数原理求解.【小问1详解】由题意得，甲的名次不是第一，乙的名次不是第五，所以5人的名次不同的排列情况有（种）．【小问2详解】由题意得，甲、乙两人名次为2，3或3，4，所以5人的名次不同的排列情况有（种）．16.已知（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）729【解析】【分析】（1）先求出，再将改为后令即可得答案；（2）设，通过计算可得答案.【小问1详解】令得，再将改为，则再令，得，所以；【小问2详解】设，则.17.已知函数，．（1）当时，求函数的极值；（2），都有，求实数a的取值范围．【答案】（1）极小值0；无极大值．（2）．【解析】【分析】（1）对求导，构建新函数gx=f'x，对求导，可判断f'x单调性，根据题意知，可判断（2）设新函数，可转化为恒成立，即小于最小值，在构新的函数tx=x-lnxx>0，，对求导，即可判断单调性，以及最小值点，即可求解【小问1详解】当时，定义域．，．令gx=f所以f'x在又因．可知当时，f'x<0；时，f得时取极小值f1=0；无极大值．【小问2详解】根据题意知当时，都有fx>0⇔，令，显然hx在上单调递增．则hx-所以，令txt'当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，可得，所以，即a的取值范围．18.设是不等式的解集，整数．（1）设“使得成立的有序数组”为事件，“使得成立的有序数组”为事件．写出事件A包含的样本点．（2）设，写出随机变量X的分布列，求．【答案】（1）答案见解析（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）由一元二次不等式求解，即可求解，（2）由古典概型概率公式求解概率，即可得分布列，进而求解.【小问1详解】由，解得．故整数m，且A包含事件为，，，，．整数m，且B包含的事件为、、、、、．【小问2详解】由于m的所有不同取值为，1，0，1，2，3故的所有不同取值为0，1，4，9．，，，．故X的分布列为：X0149P19.定义运算：，已知函数，．（1）若函数的最大值为0，求实数a的值；（2）若函数存在两个极值点，，证明：；（3）证明：．【答案】（1）1（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导后，分类讨论单调性，进而得到最值，求出a的值即可；（2）条件等价于有两个不等的正根，结合判别式非负，以及韦达定理求出a的范围，要证，即证，令求导确定函数φx的单调性，证明结论．（3）