新高考一轮复习导学案第27讲 三角恒等变换（1）（原卷版）

第27讲三角恒等变换（1）知识梳理1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ，简记作S(α±β)；cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ，简记作C(α±β)；tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1∓tanα·tanβ)，简记作T(α±β)．2.二倍角公式sin2α＝2sinα·cosα；tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．3.辅助角公式y＝asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中φ为辅助角，且其中cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，tanφ＝eq\f(b,a).4.公式的逆用及有关变形tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanα·tanβ)；sinα±cosα＝eq\r(2)sin(α±eq\f(π,4))；sinα·cosα＝eq\f(1,2)sin2α；1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2；1－sin2α＝(sinα－cosα)2；sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；tan2α＝eq\f(1－cos2α,1＋cos2α)(降幂公式)；1－cos2α＝2sin2α；1＋cos2α＝2cos2α(升幂公式)1、若sin(α+β)+cos(α+β)=2A．tan(α−β)=1 B．C．tan(α−β)=−1 D．2、若3sinα−sinβ=103、若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04、SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05、已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06、已知2tanθ–tan(θ+SKIPIF1<0)=7，则tanθ=（

）A．–2 B．–1 C．1 D．21、sin45°cos15°＋cos225°sin165°＝()A.1 B.eq\f(1,2) C.eq\f(\r(3),2) D.－eq\f(1,2)2、知cosα＝－eq\f(4,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于()A.－eq\f(\r(2),10) B.eq\f(\r(2),10) C.－eq\f(7\r(2),10) D.eq\f(7\r(2),10)3.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04、已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0考向一利用两角和(差)公式运用例1、（1）已知SKIPIF1<0为锐角，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0（2）已知角SKIPIF1<0的终边过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0变式1、下列选项中，与SKIPIF1<0的值相等的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0变式2、（1）若α＋β＝eq\f(3π,4)，则(1－tanα)(1－tanβ)＝．(2)在△ABC中，tanA＋tanB＋eq\r(3)＝eq\r(3)tanAtanB，则C＝；变式3、（1）已知SKIPIF1<0是第二象限角，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0____.变式3、（2）已知sinα＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＋eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))的值为()A.eq\f(1,3) B.－eq\f(1,3) C.eq\f(2\r(3),3) D.－eq\f(2\r(3),3)方法总结：考查两角和差的三角函数．公式的结构特征要记牢，在求值、化简时，注意观察角度、函数名、所求角与已知角之间的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．求角问题的关键在于选择恰当的三角函数，选择的标准是，在角的范围内根据函数值，角有唯一解．本题考查逻辑思维能力，考查转化与化归思想．考向二二倍角公式的运用例2、（多选题）下列各式的值等于SKIPIF1<0的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0变式1、(1)化简：（eq\f(1,tan\f(α,2))－taneq\f(α,2)）·（1＋tanα·taneq\f(α,2)）＝；(2)求证：eq\f(cos2α,\f(1,tan\f(α,2))－tan\f(α,2))＝eq\f(1,4)sin2α.变式2、已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝－eq\f(1,4)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))).(1)求sin2α的值；(2)求tanα－eq\f(1,tanα)的值．变式3、已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．－SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0方法总结：本题考查二倍角公式的简单应用．三角函数式的化简要注意以下3点：①看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等．本题考查运算求解能力，逻辑思维能力，考查转化与化归思想．考向三公式的综合运用例3、化简：eq\f(（1＋sinθ＋cosθ）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2))),\r(2＋2cosθ))(0<θ<π)．变式1、（1）计算SKIPIF1<0（）A．1 B．﹣1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0______．变式2、（1）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为锐角，以下判断正确的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0（2）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0方法总结：(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.1、已知SKIPIF1<0为锐角，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02、已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<03、若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________.4、若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________.5、SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.