2023-2024学年福建省宁德市九年级上学期数学期末试题及答案

2023-2024学年福建省宁德市九年级上学期数学期末试题及

答案

一、单选题（共40分）

1.关于X的一元二次方程（"—3）*-2*+1=°有两个不相等的实数根，则整数A的最大值

是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=6?一4〃c>0,建立关于我的

不等式，求出发的取值范围.还要注意二次项系数不为0.

【详解】解：•••关于》的一元二次方程住一3）%2-2%+1=0有两个不相等的实数根，

/.A=（-2）2-4（）t-3）xl>0.且左-3/0,

解得：％<4且左。3,

整数女的最大值是2.

故选：B.

【点睛】本题考查根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）△〉（）=方

程有两个不相等的实数根；（2）△=（）0方程有两个相等的实数根；（3）△<0=A<0方

程没有实数根.理解和掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键.

2.点（3m+4，x）,（2/n-l,必）是抛物线y=f2+2x上位于对称轴异侧的两点，且

V>%，则用的取值范围是（）

,11

A.-\<m<——B.m<——

55

C.m>-1D.-\<m<-2

【答案】A

【解析】

【分析】根据对称轴为：》=-3,分类讨论3m+4和2〃?一1在对称轴的左右两侧，再根

据%>%，即可求出的值.

b

【详解】解：•.•对称轴为：x=-一

2a

,对称轴x=]

①当3根+4在x=l的左侧，即3机+4<1,解得根<-1

2m—\>1,解得机>1

・••加无解

②当3帆+4在x=l的右侧，即3m+4>1,解得m>一1

2m—1<1,解得根vl

2

'/y=-（3根+4）2+2（3m+4）；y2=-（2m-l）+2（2m-l）

V弘>必

•*--5m2-26m-5>0

5/n2+26m+5<0

（5/n+l）（m+5）<（）

u1

-5<m<——

5

，机的取值范围是：-1<根<一:.

故选：A.

【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质.

3.定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为智慧三角

形”.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边0A=3,0C=4,点M（2,0）,在边

AB存在点P,使得aCMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（）

A.(3,1)或(3,3)B.(3,g)或(3,3)

C.(3,；)或(3,1)D.(3,g)或(3,1)或(3,3)

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，NCPM=90°或NCMP=90°,设P(3,

a),则AP=a,BP=4七；分两种情况：①若NCPM=90°,②若NCMP=90°,根据勾股定

理分别求出CP?、MP\CM2,并根据图形列出关于a的方程，解得a的值，则可得答案.

【详解】解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，NCPM=90°或/CMP=90°,

.,.设P(3,a),则AP=a,BP=4-a；

①若/CPM=90。，在RtaBCP中，由勾股定理得:

Cp2=Bp2+Bd=(4-a)2+9,

在RtAMPA中，由勾股定理得：

MP2=MA2+AP2=l+a2,

在Rt^MPC中，由勾股定理得：

CM2=MP2+CP2=l+a2+(4-a)2+9=2a2-Sa+26,

又•；CM?=0M?+=4+16=20,

.\2a2-8a+26=20,

(a-3)(a-1)=0,

解得：a=3或a=l,

：.P(3,3)或(3,1)；

②若NCMP=90°,在RtZ\BCP中，由勾股定理得:

CP2=BP2+BC2=(4-a)2+9,

在RtAMPA中，由勾股定理得：

MP2=MA2+AP2=l+a2,

VCM2=0M2+0C2=20,

在Rt^MCP中，由勾股定理得：

CM2+MP2=CP2,

.".20+l+a2=(4n)2+9,

解得：a=g.

，P(3,g).

综上，P(3,T)或(3,1)或(3,3).

故选：I).

【点睛】本题考查了矩形的性质及勾股定理在几何图形坐标计算中的应用，数形结合、分类

讨论并根据题意正确地列式是解题的关键.

4.如图，在AABC中，AB<AC,将二ABC以点A为中心逆时针旋转得到VADE，点。

在3C边上，DE交AC于点、F.下列结论：①AAFEADFC：②。A平分NBDE；

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【答案】D

【解析】

【分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解.

【详解】解：•••将二ABC以点A为中心逆时针旋转得到VADE,

A^ADE^ABC，

:"E=NC,

■,ZAFE^ZDFC,

■■■^AFE4DFC,故①正确；

ADE^_ABC，

.'.AB=AD'

:.ZABD=ZADB，

,ZADE=ZABC,

:.ZADB=ZADE,

•••DA平分ABDE，故②正确；

LADE”ABC,

:.NBAC=NDAE,

ZBAD^ZCAE,

AAFEADFC,

NCAE=NCDF,

4CDF=4BAD,

故③正确

故选D

【点睛】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等三角形

的性质，掌握以上知识是解题的关键.

5.如图，在四边形ABCD中，/DAB=NCBA=90°,E为边AB的黄金分割点（AE>BE）,AD

=AE,BC=BE.AC,DE将四边形分为四个部分，它们的面积分别用S”S2,S3,S,表示，则

下列判断正确的是（）

A.S]=4S?B.S,I=3S2C.SI=S3D.S3=S《

【答案】C

【解析】

【分析】设AB=a.求出aADE,ZSABC的面积（用a表示），可得结论.

【详解】解：设AB=a.

:E是AB的黄金分割点,AE>EB,

J5-1A/5

.•.AD=AE=Va,BEr=BC=a(1-->-/-5---1)、=-3--—----a,

222

•Q1/布—1X23-亚2Q13—>/53—>/52

..SAADE=—•(--------a)=------a,b&w=-xax------a=-------a,

224224

SAADE=SZSABC>

即Si+S产S2+S3,

Si—Ss>

故选：c.

【点睛】本题考查黄金分割，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题.

6.如图，在YA8CD中，D,C,E三点在一条直线上，AB=6,BC=8,CE=2,则Cf

的长为（）

A.1.5B.1.6C.1.7D.1.8

【答案】B

【解析】

［分析】设对角线AC与BD交于点0,过点0作于M,利用平行四边形性质得B0=D0,

得MC=MD,然后利用相似三角形的判定与性质得出CF的长.

详解】解：设对角线AC与BD交于点0,

•在YA8CD中，

：.BO=OD,CD=AB=6,

过点0作3c于M（如图）,

OM//CF,

•_C_E___C_F_

"EM~OM'

2_CF

/.------=-----，

2+34

.-.CF=1.6.

故选B.

【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比

例性质、中位线的性质.熟练运用相关性质、会添辅助线、构造相似三角形是解决此题的关

键.

7.如图，点D是等腰Rt_ABC斜边BC上的一个动点，以AD为边作等腰斜边

AE交BC于F,则图中相似三角形共有（）对.

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】

【分析】依据等腰直角三角形的性质，ZBAC=ZADE=90°,ZB=ZC=ZE=ZDAE=45°,再根

据“有两组角对应相等的两个三角形相似”，即可找到相似三角形.

【详解】:△ABC和4ADE是等腰直角三角形

AZBAC=ZADE=90°,ZB=ZC=ZE=ZDAE=45°

则△ABCS^DAE

又•.,/AFB=NDFE,ZB=ZE=45°

/.△ABF^ADEF

VZADF=ZADB,ZB=ZDAE=45°

AABD^AFAD

同理，得△FCASAFAD

AABD^AFCA

综上所述，图中相似三角形共有5对,

故选D.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及等腰直角三角形的性质的运用，关键是掌握

有两组角对应相等的两个三角形相似.

8.如图，在边长为4的等边AABC中，点D是AB边上一个动点，沿过点D的直线折叠/A,

使点A落在BC边上的点F处，折痕交AC于点E,当=1时，则AD的长是（）

1315

B.—C.2D.

7

【答案】B

【解析】

【分析】由等边三角形即轴对称的性质证明一可得孕=竺,，设

CFFECE

3x3

AD=x,而5/=1,则CE=3,代入数据求解EF=——,CE=——，再利用AC0

4-x4-x

建立方程即可.

【详解】解：•.•等边三角形ABC,

AB=BC=AC=4,ZA=ZB=ZC=60°,

由折叠可得：=DF,AE=FE,/.DFE=ZA=60°,

；NDFE+ZEFC=NB+ZBDF,

：.ZEFC=ZBDF,

ABDFs^CFE,

.BDDFBF

"~CF~~FE~~CE'

设AD=x，而BF=1,则CF=3,

4-x_x

3EFCE

EF—,CE=-

4-x4-x

CE+EF=CE+AE=AC,

33x3+3x

----------1----------=-----------=4,

4-x4-x4-x

解得：x=一,经检验符合题意，即AD=一.

77

故选B.

【点睛】本题考查的是轴对称的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，证明

BDFs.CFE是解本题的关键.

9.如图，一根长10米的钢管斜靠在墙OM上，它的底端与墙角0相距6米，当钢管的顶

端A下滑x米时，底端B随之向右滑行y米,能反映y随x变化的图像大致是（)

【答案】A

【解析】

【分析】在中，利用勾股定理求出AO的长，进而表示出A点下滑时AO与08的

长，确定出y与x的关系式，即可做出判断.

【详解】在Rt^ABO中，AB=10米，08=6米，

根据勾股定理得：AO=VAB2-OB2=8(米)，

若A下滑x米，49=(8-幻米，

根据勾股定理得：OB=71O2-(8-X)2=6+y，

整理得：y="100_(8r)2—6，

当尤=()时，y=0；当x=8时，y=4,且不是直线变化的，

观察四个选项，只有选项A符合题意，

故选：A.

【点睛】此题考查了动点问题的函数图像，解决本题的关键是读懂图意，列出y与x的函数

解析式.

10.如图，在AABC中，DE//BC.若AD=2，AB=AE=3,^CE=()

A.1.5B.1.6C.1.7D.1.8

【答案】A

【解析】

【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可.

【详解】解：DE//BC,

,ADAE

,茄一区‘

AD=2,=AE=3,

.23

"3^2-EC(

EC=1.5,

故选：A.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，主要考查学生的推理能力，熟练掌握

平行线分线段成比例定理是解题的关键.

二、填空题(共24分)

11.如图，O。的直径CD=20cm,弦A6=16cm,ABLCD,垂足为M,则CM的长

【答案】4cm

【解析】

【分析】连接。4,先根据的直径Cr>=20cm求出半径。4的长，再根据垂径定理求

出AM的长，然后根据勾股定理求出的长，即可求解.

【详解】解：连接。4,如图所示：

,/O的直径GD=20an,

OA=lOc/w，

弦AB=16cm,AB±CD,

AM=—AB='x16=8an,

22

在RtAAOM中，由勾股定理得：OM=y/OA^-AM2=7102-82=6cm»

，CM=OC-OM=10-6=4cm.

故答案为：4cm

【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角

形，利用勾股定理求解是解答此题的关键.

12.如图，一货轮从A处观测到灯塔B位于它的东北方向，货轮继续向北航行40五海里到

达。处，观测到灯塔位在它的北偏东75°,求此时货轮到灯塔的距离8C=

N

B

C

【答案】80海里

【解析】

【分析】过点C作COLAB于点。，根据邻角互补可知NAC5=105°,进而得到

ZB=30°,/4CD=45。，从而根据30°直角三角形和45°直角三角形性质可得3C的长

度.

【详解】如图所示：过点。作8，/由于点Q,

：AC=40海里，ZA=45°,Zl=75°,

ZAC0M5。，ZDCB=60°,

/.NB=30°,

5

•••DC=^Csin45°=4072x—=40（海里）

2

.••3828=40x2=80（海里）.

答：此时货轮到灯塔的距离为80海里.

故答案为80海里.

【点睛】本题考查了30°直角三角形，45。直角三角形的性质，解直角三角形，方位角的相

关知识，巧运用解直角三角形是解题的关键.

13.如图，E是aABC的中线AD上一点，CE的延长线交AB于点F,若AF=2,ED=3AE,则

AB的长为

【解析】

【分析】取BF的中点H,连接DH,取AD的中点Q,取AH的中点P,连接PQ,可得到DH为

△3CF的中位线，PQ是，的中位线，然后利用三角形的中位线定理，即可求解.

【详解】解：如图，取BF的中点H,连接DH,取AD的中点Q,取AH的中点P,连接PQ,

•.DH为△BC尸的中位线，

*.BH=FH,

；ED=3AE,

-.AD=4AE,

；AD的中点Q,

\AQ=2AE,即E为AQ的中点,

/AH的中点P,

:PQ是4W的中位线，

\PH=AP,

•」＞Q〃DH,

•.PQ〃EF,

•.AP=2AF,

/AH的中点P,

AF=2,

APH=AP=4,PF=2,

・・・BH二FH=PH+PF=6

AAB=BH+FH+AF=14

故答案为：14.

【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，作适当的辅助线，构造三角形的中位线是解

题的关键.

k

14.如图，四边形ABOC为菱形，NBOC=60。，反比例函数y=-(x<0)的图象经过点

x

B,交AC边于点P,若△8OP的面积为46，则点A的坐标为.

【答案】(-6,273)

【解析】

【分析】过点8作根据四边形四边形A8OC为菱形，得出S菱形AB。一

设BO=CO=a,根据△80P的面积为4百，求得。=4,即可求解.

【详解】解：如图，过点8作8E_LCO,

♦.•四边形ABOC为菱形,

AC//BO,

•,SPOB=3S菱形A8OC，

•,S菱形ABOC~COxBE=4y/3,

设BO=CO=a,

•：ZBOC=60°,

.叩^3

••BE=——a>

2

/.—a2=46,

4

解得：a=4,

・・・OE=-OB=ZBE=2>5,

2

***AB=CO=4，

A(-6,26).

【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质,

勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键.

15.已知二次函数y=ar?+bx+c(a>0)的图象经过点(-2,y)(m-3,n),(-1,0),

(3,y2)>(7-m,n).则下列四个结论①yi>yz;②5a+c=0；③方程ax，bx+c=0的解为

x,--1,X2=5；④对于任意实数t,总有at'+bt+c》-3a中，正确结论是(填写序

号).

【答案】①②③

【解析】

【分析】利用抛物线的对称性可求得抛物线的对称轴，利用对称轴方程可得a,b的关系，

用待定系数法将(-1,0)代入，可得c与a的关系，利用配方法可求得抛物线的顶点坐标,

由此可画出函数的大致图象，利用图象可判定①正确；将a,b关系式代入a-b+c=0可得

②正确；令y=0解方程即可判定③正确：利用函数的最小值可判定④不正确.

【详解】解：

抛物线y=ax2+bx+c开口向上.

•.,二次函数y=ax、bx+c(a>0)的图象经过点(m-3,n),(7-m,n),

抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=------------=2.

.*.b=-4a.

'・•二次函数y=ax?+bx+c(a>0)的图象经过点(-1,0),

/.a-b+c=0.

a—(-*4Q)+c=0.

5a+c=0.

/.c=-5a.

・••二次函数的解析式为：y=ax2-4ax-5a.

Vy=ax2-4ax-5a=a(x-2)2-9a,

，它的大致图象如图1：

由图象可知：yi>y2,

・••①的说法正确；

Va-b+c=0,b=-4a,

；・5a+c=0.

・••②的说法正确；

令y=0,则ax2+bx+c=0.

・b---4a“c=-5a,

/.ax2-4ax-5a=0.

Va>0,

即x2-4x-5=0.

解得：Xi=-1,X2=5,

；・方程ax2+bx+c=0的解为Xi=-1,X2=5.

・••③的说法正确；

Vy=ax2-4ax-5a=a(x-2)2-9a,a>0,

・・・当x=2时，y有最小值为-9a,

，对于任意实数t,总有at，bt+cN-9a.

・••④的说法不正确.

综上，正确结论是：①②③,

故答案：①②③.

图1

【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法，数形结合法，配方法，二次函

数图象上点的坐标的特征，利用已知条件画出函数的大致图象是解题的关键

16.如图6c=6,E是线段BC上的一个动点，AD在线段AE上，于E,AD=2,

DE=3，则AB+CD的最小值是

【答案】10

【解析】

【分析】设BE=x,则CE=6-x,利用勾股定理可得

AB+CD=7%2+52+7（X-6）2+32,再构建坐标系内三点：F（x,O）,“（0,5）,/（6,—3）,

且0<x<6,先求解EH+77的最小值，从而可得答案.

【详解】解：设=则CE=6-x,

AD=2,DE=3,

/.AB=VX2+52,CD=J(x-6『+32,

；•AB+CD=y/x2+52+J(九一6)2+32,

如图，构建如下坐标系与格点，

F（x,0）,H（0,5）,Z（6,-3）,且0<x<6,

/.HF2=yJx2+52,Fl2=6）2+（0+3）2=6）-32,

.•.当三点共线时,

HF+FI=y/x?+5?+《(x—6)2+3?最小,最小值为线段印的长度，

此时HI=^62+(-3-5)2=762+82=1(),

AB+CD=y/x2+52+{(X-6Y+32的最小值为：10.

故答案为：1().

【点睛】本题考查的是坐标与图形，勾股定理的应用，熟练的运用两点之间线段最短构建直

角三角形，再利用勾股定理解题是关键.

三、解答题(共86分)

3

17.如图，y=--与)，=履+力的图像交于4(一1,机)，8(〃,一1)两点.

3

(2)直接写出版+〃>一一的x取值范围是

X

（3）求AAOB的面积.

【答案】（1）3,3,-1,2

（2）》<-1或0<x<3

(3)4

【解析】

【分析】⑴先把A(-8(〃,—1)分别代入反比例函数解析式可求出机、〃，利用待

定系数法求直线AB的解析式，即可得到k、b的值；

(2)根据两个函数图像交于点4(-1,加)，8(〃,-1)两点，观察图像即可求得不等式

丘+〃>一之的解集；

x

(3)根据(1)中直线A8的解析式，求出该直线与V轴的交点。的坐标，然后根据三角

形面积公式，利用SAAOB=SAAOC+S&BOC进行计算即可.

【小问1详解】

解：•.•丁=一三与产依的图像交于A(-I，M，B(〃,一I)两点，

mx—1)=—3,(—1)x〃——3,

解得：m=3,〃=3,

.•.A(-1,3),8(3,-1),

-k+b=3

"3k+b=-1

k=-\

解得：C.

b=2

•••直线A3的解析式为：y=-x+2

故答案：3,3,-1，2.

【小问2详解】

由(1)可知：>=一1与丁=一尤+2的图像交于A(-l,3),B(3,T)两点，

京+〃>一3的x取值范围是：x<—1或0<x<3.

X

故答案为：XV—1或0<x<3.

【小问3详解】

设直线A3与y轴的交于点C，

当x=0时，y=-0+2=2,

C(0,2),

•*S&AOB-S^AOC+S&BOC一耳

AA08的面积为4.

【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题:求反比例函数与一次函数的交点坐标,

把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点：方程组无解，则两者无

交点.也考查了待定系数法求函数解析式，利用图像求不等式的解集，利用等积法求三角形

的面积.确定两个函数图像的交点坐标是解题的关键.

18.随着正定旅游业的快速发展，外来游客对住宿的需求明显增大，某宾馆拥有的床位数不

断增加.

(1)该宾馆床位数从2016年底的200个增长到2018年底的288个，求该宾馆这两年(从

2016年底到2018年底)拥有的床位数的年平均增长率；

(2)根据市场表现发现每床每日收费40元，288张床可全部租出，若每床每日收费提高10

元，则租出床位减少20张.若想平均每天获利14880元，同时又减轻游客的经济负担每张

床位应定价多少元？

【答案】(1)20%;(2)60元.

【解析】

【分析】(1)设该宾馆这两年床位的年平均增长率为x,根据该宾馆2016年底及2018年底

的床位数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

(2)设每张床位定价m元，根据总价=单价X数量，即可得出关于m的一元二次方程，解

之取其较小值即可得出结论.

【详解】解：(1)设该宾馆这两年床位的年平均增长率为X,

依题意,得:200(1+x)2=288,

解得：x,=02=20%,x2=-2.2(舍去).

答：该宾馆这两年床位的年平均增长率为20%.

(2)设每张床位定价m元，

m—40

依题意，得：m(288-20-------)=14880,

10

整理,得：m2-184m+7440=0,

解得曲=60,m2=124.

:为了减轻游客的经济负担，

.'.m2—124(舍去).

答：每张床位应定价60元.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的

关键.

19.如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm,某一时刻，动点M从点A出发沿AB

方向以Icm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D沿DA方向以2cm/s的速度向点

A匀速运动.

(1)经过多少时间，AAMN的面积等于矩形ABCD面积的2？

9

(2)是否存在时刻t,使A、M、N为顶点的三角形与4ACD相似？若存在，求t的值；若不

【解析】

【分析】(1)设经过x秒后，根据AWN的面积等于矩形ABC。面积的：，得出方程解方

程即可；(2)假设经过f秒时，以AM,N为顶点的三角形与&ACD相似，分两种情况

讨论，然后利用相似三角形的对应边成比例得出方程，解方程即可.

【详解】解：(1)设经过X秒后，_4WN的面积等于矩形A8CO面积的",

则有：—(6—2x)x=—x3x6,即A?—3X+2=0，

解方程，得玉=1，X2=2.

经检验，可知罚=1，9=2符合题意，所以经过1秒或2秒后，.4VW的面积等于矩形

ABCO面积的

9

(2)假设经过/秒时，以AM,N为顶点的三角形与,ACD相似，

由矩形A8CD,可得NCD4=NM4N=90，

AMDCAMDA

因此有----=——或——=——，

ANDAANDC

即」一=3①，或」一=9②，

6-2/66-213

解①，得，=三3；解②，得，=1一2，

25

312312

经检验，f=三或，=一都符合题意，所以动点M,N同时出发后，经过一秒或一秒时，

2525

以AM,N为顶点的三角形与，ACD相似.

【点睛】本题考查了矩形的性质，一元二次方程的应用，相似三角形的性质，以及分类讨论

的数学思想，分类讨论是解答本题的关键.

20.已知关于x的方程(x—3)(x—2)—/=0.

(1)求证：方程总有两个不相等的实数根.

(2)当p=2时，为，4是该方程的根，求-4%+々的值.

【答案】(1)见解析；

(2)X：-4$+々的值为3.

【解析】

【分析】(1)首先求出方程的根的判别式，然后得出根的判别式为非负数，得出答案；

(2)将〃=2代入方程，化为一般形式后利用方程的解和根与系数的关系可求得

X；-5XI+2=0,玉+々=5,x;=5X]-2,然后带入化简求值及可.

【小问1详解】

(1)证明：方程可变形为x2—5x+6—p2=o,

A=(-5)2-4xlx^6-p2)

=4p2+1

p2>0

4P2+1>0

即△>(),

所以，这个方程总有两个不相等的实数根；

【小问2详解】

当p=2时，

原方程为/一5%+2=0

「百，巧是该方程的根

X：—5玉+2=0,芯+々=5,

X；=5$一2,

X；-4x(+x2

=5x,-2-4玉+x2

=芯+/-2

=5-2

=3.

【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系；灵活运用根的判别式判断方程的解、和

根与系数的关系求解是解题的关键.

21.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,将矩形纸片折叠，使点C与A重合.

A.----------------------.D

RC

（1）请在图中画出折痕EF,折痕交AD于E,交BC于F,折痕用实线表示，因计算需要另

外添加的辅助线用虚线表示（保留必要的作图痕迹）；

（2）求出折痕EF的长度.

【答案】（1）EF即为所求;

、15

（2）—cm

2

【解析】

【分析】（1）利用直尺和圆规作出AC的垂直平分线即可得折痕；

（2）利用勾股定理列式求出AC,根据翻折变换的性质可得ACLEF,OC=|AC,然后利用ZkCOF

与ACBA相似边成比例求出OF,再求出AAOE和aCOF全等，根据全等三角形对应边相等可

得OE=OF,从而求出折痕的长.

【小问1详解】

,AC=\IAB2+BC2=府+82=10cm

,••折叠后点C与点A重合，

AC±EF,0C=1AC=1xiO=5cm

VZB=ZC0F=90°，ZACB=ZOCF

.,.△COF^ACBA

OFPC

则

AB一BC

OF5

~6~8

解得0F=""cm

4

・・•矩形对边AD〃BC,

・・・NOAE二NOCF,

在AAOE和ACOF中，

ZOAE=ZOCF

＜OA=OC

ZAOE=NCOF

：.AAOE^ACOF（ASA）,

15

OE=OF=—cm

4

，折痕EF=OE+OF=——cm

2

【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，全等

三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明△AOEgACOF

22.已知抛物线丁=一站+法+。经过4（—1,0）,B（3,0）,

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标：

（2）当owxw3时，直接写出y最小值=，y最大值=

（3）点P是抛物线上第一象限内的一点，若SaAo=3,求点尸的坐标.

【答案】（1）抛物线的解析式为：y=-x?+2x+3,顶点坐标为：（14）

（2）0；4

⑶（2,3）

【解析】

【分析】（1）将点A与点5的坐标代入抛物线的解析式即可求出b与c的值；

（2）根据（1）中抛物线的解析式，先求出该图像与y轴的交点C的坐标，并确定该图像

的最值，根据图像即可求出当0KXW3时，y的取值范围，从而得出答案；

（3）过点尸作~D_L无轴于点。，设P（m,"）（（）＜相＜3）,根据⑵中所得点C的坐标，

然后根据三角形面积公式和梯形面积公式，利用S3=S悌形co”+5小m一黑海进行计

算即可.

【小问1详解】

解：•.•抛物线y=—f+fec+c经过A(-1,O),8(3,0),

.-\-b+c=Q

-,\-9+3b+c=0'

\h=2

解得：〈，

[c=3

，抛物线的解析式为：丁=-炉+2]+3,

化成顶点式为：y=-(x-l)2+4,

.••顶点坐标为：(14).

•••抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3,顶点坐标为：(1,4).

【小问2详解】

由(1)知：y———x~+2x+3=—(x—1)~+4,

•.•二次项系数—1<0,

，图像开口向下，当x=l时，可取得最大值为4，

当%=0时，y--02+2x0+3=3,

AC(0,3),且3<4,

...当0KXW3时，y的取值范围为：0<yV4,

...当o«xv3时，y最小值=°，y锻大值=4.

故答案为：0；4.

【小问3详解】

过点P作PD±x轴于点D，设尸(根,〃)，

•..点P是抛物线上第一象限内的一点，

0<<3,n=—m2+2m+3，

VA(-l,0),3(3,0),C(0,3),S«CP=3,

AO=1»CO-3>OD=m,AD—AO+OD-m+1,PD=n=-m2+2m+3-

S梯形co。尸+S&AOC-S&ADP-S&ACP=3,

叩：-(PD+CO)-OD+-AOCO——ADPD=3,

22

耳(一)TT+2/??+3+3^'/n+—xlx3-)(—m~+2m+3)=3,

整理得：m2+m-6=0>

解得：叫=2,牝=-3(不合题意，舍去),

.,.当m=2时，“=-22+2x2+3=3，

.•.点尸的坐标为(2,3).

【点睛】本题考查二次函数的综合问题，考查待定系数法求解析式，二次函数图像的性质,

解方程，等积法求面积等知识.理解和掌握二次函数的图像和性质是解题的关键.

23.点P是正方形ABCO所在平面内一点，连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90°,

得线段CQ，连接8ROQ.

(1)如图①，当P在C。边上时，直接写出B尸与。。之间的关系是

(2)如图②，当P在正方形内部时，BP与。。之间有怎样的关系？请说明理由;

(3)射线交OQ于E,若四边形PCQE是正方形，BC=2,CP=1,直接写出

BE=

【答案】(1)BP=DQ,BP1DQ,理由见解析

(2)BP=DQ*BPLDQ,理由见解析

(3)BE的值为6+1或6-1.

【解析】

【分析】(1)根据SAS证明△BCP也△OCQ,再利用全等三角形的性质可得结论.

(2)结论：3P=OQ,BP_L£>Q,如图，延长3P交。。于T,交0c于0.证明

BC咤DCQ(SAS),推出BP=DQ,NCBP=NCDQ,可得结论.

(3)分两种情形：如图3-1中，当点E在的延长线上时，如图3-2中，当点E在线段5P

上时，利用勾股定理求出3P，可得结论.

【小问1详解】

证明：如图①中，延长BP交OQ于K,

图①

•.•四边形ABCO是正方形，

CB=CD,/BCD=NDCQ=90°,

在△BCP和-OCQ中，

BC=DC

<NBCP=NDCQ,

CP=CQ

；..BCg二DCQ（SAS）.

：.BP=DQ,NPBC=ZQDC,

：.NKBC+ZQ=ZQDC+NQ=90°,

ZBKQ=90°,BPrDQ.

【小问2详解】

结论：BP=DQ,BP1.DQ.

理由：如图，延长族交Q。于丁,交OC于。.

图②

•.•四边形A3C。是正方形,

：.CB=CD,/BCD=90°

NBCD=/PCQ=90。，

：.NBCP=NDCQ,

BC=DC

在/\BCP和~DCQ中，，NBCP=NDCQ，

CP=CQ

,BCW.DCQ（SAS）,

BP=DQ,NPBC=4QDC,

•：ZBOC=ZDOT,

ZBCO=ZDTO=90°,

：.BP1DQ.

【小问3详解】

如图3-1中，当点E在BP的延长线上时,

图3-1

•.•四边形CPEQ是正方形,

，ZCPE=NCPB=90°,CP=PE=1,

BP=yjB^-CP2=V3,B,P,E三点共线,

BE=BP+PE=s/3+l.

如图3-2中，当点E在线段BP上时,

图3-2

同法可得=—产后=6—1，

综上所述，满足条件的的值为6+1或百-1.

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定

理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，

属于中考常考题型.

24.【基础巩固】

(1)如图1,在..ABC中，。为A3上一点，ZACD=NB.求证：AC2=ADAB.

(2)【尝试应用】如图2,在平行四边形ABCO中，E为BC上一点、,E为CO延长线上

一点，ZBFE=ZA,若BF=6,BE=4,求AO的长.

(3)【拓展提高】如图3,在菱形ABC。中，E是AB上一点，尸是ABC内一点，

EF〃AC,AC=2EF,ZEDF=-ZBAD,则线段£>£与线段EE之间的数量关系

2

为,并说明理由.

【答案】(1)见解析(2)A£>的长为9

(3)段DE与线段上厂之间的数量关系为。E=,理由见解析

【解析】

【分析】(1)直接利用两个角对应相等证明八486△/由c即可得到结论：

BFBE

(2)首先说明BFEsBCF,得——=—,求出的长，再利用平行四边形的性质

BCBF

可得AO的长；

(3)延长。C、EF交于G,利用两组对边分别平行可得四边形AEGC是平行四边形，得

EDEF

EG=AC=2EF,ZG^ZACD,在利用_££小'SEG。，得一=——，代入化简即

EGED

可.

【小问1详解】

证明：ZACD=NB,ZA=ZA,

AACD^AABC,

ACAD

'AB-AC'

：.AC2=ADAB^

【小问2详解】

解：四边形ABC。是平行四边形,

:.ZA=ZC,BC=AD,

ZBFE=ZA，

:.NBFE=NC,

ZFEB=ZCBF,

ABFEsABCF,

BFBE

,BC-BF'

BF?=BCxBE，

BF=6,BE=4,

:.BC=9,

.-.AD=BC=9；

【小问3详解】

解：如图所示，延长。C、EF交于G,

D

四边形ABC。是菱形，

/.DC//AB,ZACD=L/BAD,

2

--EF^AC,

••・四边形AEGC是平行四边形，

.-.EG=AC=2EF,ZG=ZACD,

ZEDF=-ZBAD,

2

NG=/EDF,

,NDEF=ZDEF，

:._EDFs_EGD，

ED_EF

"~EG~~ED'

:.ED?