2024-2025学年新教材高中数学第四章对数运算和对数函数4.3对数函数4.3.3指数函数与对数函数的综合应用一课一练含解析北师大版必修第一册

PAGEPAGE1第四章对数运算与对数函数§3对数函数课时3指数函数与对数函数的综合应用学问点1利用指数、对数函数的性质比较大小1.☉%*@*93@16%☉(2024·上海建平中学高一期中考试)若0<m<n,则下列结论正确的是()。A.2m>2nB.12mC.log12m>log12nD.log2答案：C解析：因为y=2x与y=log2x在(0,+∞)上均为增函数,又0<m<n,所以2m<2n,log2m<log2n,所以A,D错误;因为y=12x与y=log12x在(0,+∞)上均为减函数,又0<m<n,所以12m>12n,log12m>log12.☉%*797#3##%☉(2024·九江一中月考)若a=log37,b=21.3,c=0.81.1,则()。A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b答案：B解析：由函数y=log3x的单调性,可知a=log37∈(1,2)。由函数y=2x的单调性,可知b=21.3>2。由函数y=x1.1的单调性,可知c=0.81.1∈(0,1),所以c<a<b,故选B。3.☉%￥*98*96@%☉(2024·合肥七中月考)设a=log129,b=log32,c=log57,则(A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<a<b答案：A解析：因为a=log129<log121=0;函数y=log3x在(0,+∞)上单调递增,所以log31<log32<log33,即0<log32<1;c=log57>log55=1。所以a<b<4.☉%95#***43%☉(2024·长沙调考)已知函数f(x)是R上的偶函数,当x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2时,有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0。设a=ln1π,b=(lnπ)2,c=lnπ,则()A.f(a)>f(b)>f(c)B.f(b)>f(a)>f(c)C.f(c)>f(a)>f(b)D.f(c)>f(b)>f(a)答案：C解析：由题意可知f(x)在(0,+∞)上是减函数,且f(a)=f(|a|),f(b)=f(|b|),f(c)=f(|c|)。又|a|=lnπ>1,|b|=(lnπ)2>|a|,|c|=12lnπ,且0<12lnπ<|a|,故|b|>|a|>|c|,所以f(|c|)>f(|a|)>f(|b|),即f(c)>f(a)>f(b)。故选学问点2对数函数与指数函数的图像5.☉%1##5#2￥6%☉(2024·盐城中学月考)已知a>1,b<-1,则函数y=loga(x-b)的图像不经过()。A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限答案：D解析：因为a>1,所以函数y=logax的图像如图,函数y=loga(x-b)(b<-1)的图像就是把函数y=logax的图像向左平移|b|(|b|>1)个单位长度,如图。由图可知函数y=loga(x-b)的图像不经过第四象限。故选D。6.☉%0@510*@#%☉(2024·宣城郎溪中学高一月考)函数f(x)=xln|x|的大致图像是()。图4-3-3-1答案：A解析：依据函数的奇偶性可知,y=x是奇函数,y=ln|x|是偶函数。因为f(x)表示的是奇函数与偶函数之积,所以得到的函数是奇函数,因此解除选项C,D;当x→+∞时,f(x)→+∞,所以选项B错误。故选A。7.☉%56*9￥2*￥%☉(2024·金陵中学月考)已知lga+lgb=0,则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx的图像可能是()。图4-3-3-2答案：B解析：因为lga+lgb=0,所以ab=1,所以b=1a所以g(x)=-logbx=logax。又因为f(x)=ax,所以函数f(x)与函数g(x)互为反函数,故选B。8.☉%527@￥￥7*%☉(2024·开封中学检测)函数f(x)=log2|x|,g(x)=-x2+2,则f(x)·g(x)的图像只可能是()。图4-3-3-3答案：C解析：因为f(x)与g(x)都是偶函数,所以f(x)·g(x)也是偶函数,由此可解除A,D。又由x→+∞时,f(x)·g(x)→-∞,可解除B。故选C。9.☉%￥#@5*097%☉(2024·温州中学检测)若函数f(x)=k·ax-a-x(a>0且a≠1)在(-∞,+∞)上既是奇函数又是增函数,则g(x)=loga(x+k)的图像是()。图4-3-3-4答案：C解析：因为f(x)=kax-a-x=kax-1ax是奇函数,所以f(0)=0,即k-1=0,所以k=1,所以f(x)=ax-1ax。又因为函数y=ax,y=-1ax在定义域上单调性相同,函数f(x)是增函数,所以a>1,所以函数g(x)=loga(x+k)=loga(x+1)。g(x)的定义域为10.☉%@￥76#01*%☉(2024·太原五中模拟)若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0且a≠1)的反函数,其图像经过点(a,a),则f(x)=()。A.log12xB.logC.12xD.答案：A解析：由题意知f(x)=logax,又因为f(a)=a,所以logaa=a,所以a=12,所以f(x)=log12x,11.☉%*39*95*@%☉(2024·衡水中学高一试验部月考)若x∈0,12时,恒有4x<logax,则a的取值范围是(A.0,22C.(1,2)D.(2,2)答案：B解析：若x∈0,12时,4x<logax恒成立,则0<a<1。在x=12处也需满意412<loga12,得a>22或a<-2212.☉%2#1#*3￥7%☉(2024·广水一中高一其次次考试)已知定义域为R的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,且f12=0,则不等式f(log4x)>0的解集是。答案：0,12∪(2,+解析：因为偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,所以在(-∞,0)上是减函数,f12=f-12=0,所以x∈-∞,-12∪12,+∞时,f(x)>0,即log4x∈-∞题型应用指数、对数函数的性质确定参数的取值范围13.☉%*215@*9*%☉(2024·龙岩一中月考)设定义在区间(-a,a)上的函数f(x)=log20241+mx1-2019x是奇函数(a,m∈R,m≠-2025),则maA.(1,201912019]B.(0,201C.(1,201912019)D.(0,201答案：A解析：因为函数f(x)为奇函数,所以f(-x)+f(x)=0,所以log20241+mx1-2019所以m=2024,所以f(x)=log20241+2019x1-2019x,其定义域为-1所以a∈0,12019,结合指数函数y=2024x的单调性可知ma的取值范围是(1,2019114.☉%#64￥23￥#%☉(2024·广雅中学检测)已知函数f(x)=logax,若不等式|f(x)|>1对于随意的x∈[2,+∞)恒成立,则实数a的取值范围是()。A.0,1B.0,12∪C.12,D.12,1∪答案：C解析：先画出函数f(x)=|logax|的大致图像,再画出y=1(如图中虚线所示),右侧交点为(a,1)(a>1)或1a,1(0<a<1)。由于不等式|f(x)|>1对于随意的x∈[2,+∞)恒成立,当a>1时,得a<2,所以a∈(1,2);当0<a<1时,得12<a,所以a∈12,1。综上可知,实数a15.☉%98#@5*@9%☉(2024·安静中学月考)设函数f(x)=log2x(x>0),log12(-x)(xA.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)答案：C解析：当a>0时,由log2a>log12a得a>1;当a<0时,由log12(-a)>log2(-a)得0<-a<1,即-1<a<0。所以实数a的取值范围为-1<a<0或a16.☉%2#￥￥11@2%☉(2024·北安一中检测)已知函数f(x)=log12ax-2x-1(a为常数)在区间(2,4)答案：[1,2)解析：设t=ax-2x-1,则函数y=log12t在定义域上单调递减,要使f(x)在区间(2,4)上是减函数,则t=ax-2x-1在(2,4)上为增函数。因为t=ax-2x-1=a(x-1)+a-2x-1=a+a-2x-1,所以要使函数t=ax-2x-1在区间(2,4)上为增函数,则a-2<0,即a<2。要使函数f(x)有意义,则17.☉%846#@**4%☉(2024·宜春高一期中)已知f(x)=log0.5(x2-mx-m)。(1)若函数f(x)的定义域为R,求实数m的取值范围;答案：解:由函数f(x)=log0.5(x2-mx-m)的定义域为R,可得不等式x2-mx-m>0的解集为R,所以Δ=m2+4m<0,解得-4<m<0,所以所求m的取值范围是(-4,0)。(2)若函数f(x)在区间-2,-12上是递增的答案：由函数f(x)在区间-2,-得g(x)=x2-mx-m在区间-2,-12上是递减的,且g(x)>0则m解得m∈-118.☉%#@06*55*%☉(2024·冀州中学高一期中)设f(x)=log121-axx(1)求a的值;答案：解:因为f(x)=log121-所以f(-x)+f(x)=0对定义域内的随意x都成立,所以log121+ax-x-所以1+ax-x解得a=-1或a=1(舍去)。(2)推断函数f(x)在x∈(1,+∞)上的单调性,并说明理由;答案：由(1)知f(x)=log121+任取x1,x2∈(1,+∞),设x1<x2,则1+x1x1-所以1+x1x所以log121+x1x1-1<log121+x所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在x∈(1,+∞)上是增函数。(3)若对于区间[3,4]上的每一个x值,不等式f(x)>12x+m恒成立,求实数答案：令g(x)=f(x)-12x,x因为y=12x在x∈[3,4]所以由(2)知g(x)=f(x)-12x在x∈[3,4]所以g(x)min=g(3)=158,所以对于区间[3,4]上的每个x值,不等式f(x)>12x+m恒成立,即m<g(x)恒成立,所以m19.☉%￥4*4￥27@%☉(2024·抚州校级期中)已知函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)是偶函数,且(1)求m的值,并确定f(x)的解析式;答案：解:∵f(x)在(0,+∞)上单调递增,由幂函数的性质得-2m2+m+3>0,解得-1<m<32∵m∈Z,∴m=0或m=1。当m=0时,f(x)=x3不是偶函数,舍去;当m=1时,f(x)=