福建省泉州市南安市“四校联盟”2024届九年级下学期3月中考模拟（一）数学试卷(含解析)

南安市“四校联盟”2023－2024学年数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．4．考试结束，考生必须将答题卡交回．第Ⅰ卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.2024年春节，泉州文旅市场“热辣滚烫”！短短的8天时间，这座古城共接待旅游人数8181200人次，实现旅游收入80.18亿元，两项数据均稳居全省首位．将8181200用科学记数法表示为（）A. B. C. D.答案：B解析：解：．故选B．2.下列几何体中，俯视图为三角形的是（）A. B. C. D.答案：C解析：.A、圆锥俯视图是带圆心的圆，故本选项错误；B、长方体的俯视图均为矩形，故本选项错误；C、三棱柱的俯视图是三角形，故本选项正确；D、四棱锥的俯视图是四边形，故本选项错误；故选C.3.若对角线相交于点O，点E是中点，若，则长为（）A3 B.6 C.9 D.12答案：B解析：解：∵四边形是平行四边形，∴，∵点E是中点，∴是的中位线，∴，故选：B．4.下列事件中，属于必然事件是（）A.任意购买一张电影票，座位号是偶数B.梦到醒来会下雨，醒来后发现窗外在下雨C.解锁手机，提示微信收到了新消息D.五个人分成四组，且每组都有人，则这四组中有一组必有2人答案：D解析：解：A．任意购买一张电影票，座位号是偶数是随机事件，因此选项A不符合题意；B．梦到醒来会下雨，醒来后发现窗外在下雨是随机事件，因此选项B不符合题意；C．解锁手机，提示微信收到了新消息是随机事件，因此选项C不符合题意；D．五个人分成四组，且每组都有人，则这四组中有一组必有2人是必然事件，因此选项D符合题意；故选：D．5.已知点，则P点关于x轴对称点的坐标是（）A. B. C. D.答案：A解析：解：点关于x轴对称点的坐标是．故选A．6.如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，则的周长为（）A.11 B.13 C.16 D.17答案：A解析：解：∵是线段的垂直平分线，∴，∴的周长，故选：A．7.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABD=35°，∠ACB=45°，则∠BAD等于（）A.100° B.90°C.80° D.70°答案：A解析：解：∵∠ABD=35°，∴∠ACD=∠ABD=35°，∵∠ACB=45°，∴∠BCD=80°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD+∠BAD=180°，∴∠BAD=100°，故选A．8.周末，刘老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边．”邀约好友一起去江边垂钓．如图．钓鱼竿的长为m．露在水面上的鱼线的长为m，刘老师想看看鱼钩上的情况．把鱼竿逆时针转动15°到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是（）A.m B.m C.m D.答案：C解析：解：∵，∴，∴，∴，∴，故选：C．9.已知抛物线y＝－x2＋（6－2m）x－m2＋3的对称轴在y轴的右侧，当x＞2时，y的值随着x值的增大而减小，点P是抛物线上的点，设P的纵坐标为t，若t≤3，则m的取值范围是（）A.m≥ B.≤m＜3 C.m＜3 D.1≤m＜3答案：B解析：解：∵抛物线y＝－x2＋（6－2m）x－m2＋3的对称轴在y轴的右侧，∴，∴m＜3，∵当x＞2时，y的值随着x值的增大而减小，∴，∴1≤m，∵y＝－x2＋（6－2m）x－m2＋3＝－（x＋m－3）2－6m＋12，抛物线上的点P的纵坐标t≤3，∴当x＝3－m时，y≤3，即－6m＋12≤3，∴m≥，综上所述，满足条件的m的值为≤m＜3．故选：B．10.如图，点A是双曲线y=上一点，过A作AB∥x轴，交直线y=-x于点B，点D是x轴上一点，连接BD交双曲线于点C，连接AD，若BC：CD=3：2，△ABD的面积为，tan∠ABD=，则k的值为（）A.- B.-3 C.-2 D.答案：C解析：如图，作BH⊥OD于H．延长BA交y轴于E．∵AB∥DH，∴∠ABD=∠BDH，∴tan∠ABD=tan∠BDH=，设DH=5m，BH=9m，则BH=BE=9m，OD=4m，∴C（-6m，m），∴A（-m，9m），∵△ABD的面积为，∴m×9m=，∴m2=，∴k=-6m×m=-2，故选C．第Ⅱ卷注意事项：1．用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上作答，答案无效．2．作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11.分解因式：_____．答案：解析：，故填12.如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B坐标为（4，3），则tan∠AOB的值为___．答案：解析：解：做BC⊥x轴于点C，∵点B坐标为（4，3），∴OC=4，BC=3，∴．故答案为：13.湿地公园有A、B、C三个入口，周末小林与小周随机从一个入口进入该公园，则小林与小周恰好从同一个入口进入该公园的概率是________．答案：解析：解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中小林与小周从同一个入口进入公园的结果有3种，他们从同一个入口进入公园的概率为，故答案为：．14.若有意义，则x的取值范围是_____．答案：且解析：解：由题意得，x≥0且x﹣3≠0，解得x≥0且x≠3．故答案为：x≥0且x≠3．15.如图，在扇形中，，半径交弦于点，且，若，则图中阴影部分的周长为______（结果保留）．答案：##解析：解：，，，，，，，在中，，，，∴∵∴图中阴影部分的周长为，故答案为：．16.正方形边长为，点是线段上的一动点，连接，以为边在直线右侧作等边三角形，则线段取得最小值时，的长为_________．答案：##解析：解：如图所示，将点绕点逆时针旋转，连接，∴，∵是等边三角形，∴，，∴，在中，，，∴，，当时，的值最小，∵点绕点逆时针旋转，，∴是等边三角形，则，，且，∴，在中，，∴，∴，故答案为：．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：．答案：解析：解：原式．18.如图，在中，平分，，求证：四边形是菱形．答案：见解析解析：证明：∵平分，∴，∵，∴四边形是平行四边形，，∴，∴，∴四边形是菱形．19.先化简，再求值：，其中a＝．答案：，．解析：解：原式.当a＝时，原式＝.20.为迎接建党100周年，甲、乙两位学生参加了知识竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录这8次成绩（单位：分），并按成绩从低到高整理成如下表所示，由于表格被污损，甲的第5个数据看不清，但知道甲的中位数比乙的众数大3．甲78798182x889395乙7580808385909295（1）求x的值；（2）现要从中选派一人参加竞赛，从统计或概率的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．答案：（1）x=84；（2）从统计的角度考虑，派甲参赛比较合适，理由见解析；从概率的角度考虑，派乙参赛比较合适，理由见解析．解析：解：（1）依题意，可知甲的中位数为，乙的众数为80，∴，解得x=84．（2）解法一：派甲参赛比较合适．理由如下：，，，，因为，，所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．解法二：派乙参赛比较合适．理由如下：从概率的角度看，甲获得85以上（含85分）的概率，乙获得85分以上（含85分）的概率，因为P1＜P2，所以派乙参赛比较合适．21.如图，，．（1）求作及，满足为等边三角形，，其中，点，与点在的同侧；（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹）（2）在（1）的条件下，求的度数．答案：（1）见解析（2）小问1解析：解：如图所示：，，，延长，尺规作图，及即为所求；小问2解析：解：连接，，，如图所示：，，，，，，，三点共线，．22.如图，中，，以为直径作，D为上一点，连接交于点E，连接，，，且．（1）求证：；（2）若D为弧的中点，求．答案：（1）见解析（2）小问1解析：证明：如图，连接并延长交于点H，则：，在和中，，∴．∴．∴．∵为直径，∴．∴．小问2解析：解：∵D为中点，为直径，∴．∵，∴．∵，∴．∴，设，∴．∴．在中，，∵，∴，∴．23.茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了A、B两种不同的茶具．若购进A种茶具1套和B种茶具2套，需要250元：若购进A种茶具3套和B种茶具4套则需要600元．且已知销售一套A种茶具，可获利30元，销售一套B种茶具可获利20元．（1）A，B两种茶具每套进价分别为多少元？（2）由于茶具畅销，老板决定再次购进A、B两种茶具共80套，茶具工厂对两种类型的茶具进行了价格调整，A种茶具的进价比第一次购进时提高了，B种茶具的进价按第一次购进时进价的八折；如果茶具店老板此次用于购进A、B两种茶具的总费用不超过6240元，则如何进货可使再次购进的茶具获得最大的利润？最大的利润是多少？答案：（1）A、B两种茶具每套进价分别为100元和75元（2）采购A种茶具30个，B种茶具50个可获得最大利润为1900元小问1解析：解：（1）设A种茶具每套进价a元，B种茶具每套进价b元．根据题意，得解得，∴A种茶具每套进价100元，B种茶具每套进价75元．小问2解析：解：再次购进A、B两种茶具时，A种茶具每套进价为（元），B种茶具每套进价为（元）．设购进A种茶具x套，则购进B种茶具套．根据题意，得，解得；设获得的利润为W元，则，∵，∴W随x的增大而增大，∵，∴当时，W的值最大，，此时购进B种茶具（套），购进A种茶具30套、B种茶具50套获得最大的利润，最大的利润是1900元．24.《九章算术》勾股章一五问“勾股容方”描述了关于图形之间关系的问题∶知道一个直角三角形较短直角边（“勾”）与较长直角边（“股”）的长度，那么，以该三角形的直角顶点为一个顶点、另外三个顶点分别在该三角形三边上的正方形的边长就可以求得．（我们不妨称这个正方形为该直角三角形的“勾容正方形”）其文如下：题：今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？答：方三步，十七分步之九．术：并勾、股为法，勾股相乘为实，实如法而一，得方一步．“题”、“答”、“术”的意思大致如下∶问题：一个直角三角形的两直角边的长分别为5和12，它的“勾容正方形”的边长是多少？答案：解法：（1）问题探究根据“勾股容方”中描述的直角三角形与其“勾容正方形”之间的关系，请提出一个数学命题，并证明；（2）类比探究“勾股容圆”：一个直角三角形的两直角边的长分别为5和12，它的内切圆的半径是多少？（3）拓展运用某市去年举办中小学校园文化展览，举办方在某广场搭建了一个展馆（平面示意图为正方形），并综合考虑参展主题、参展单位等因素将展馆划分为四个展区，规划方案如图所示，其中，是的中点，点，在边上，垂直平分，垂足为，．今年，为了让更多人参与，举办方拟在北湖公园的一块菱形场地上搭建展馆，该菱形场地面积为，且两条对角线长度之和为，考虑到展览安全、公园环境等各方面的因素，若举办方希望沿用去年展馆及展区的规划方案，则展馆的建设需满足以下要求：①展馆平面示意图中的A，B，C，D四个点分别落在菱形场地的四条边上；②展馆主入口的宽度为，去年的规划方案是否可行？请说明理由．答案：（1）命题：如果直角三角形的两条直角边分别为，，那么该直角三角形的“句容正方形”的边长是；证明见解析：；（2）2；（3）去年的规划方案可行，理由见解析：．解析：（1）解：命题：如果直角三角形的两条直角边分别为，，那么该直角三角形的“勾容正方形”的边长是；已知：如图，在中，，，，四边形是正方形，且点，，分别在边，，上，求证：．证明：如图1，四边形是正方形，，，，，，；（2）由题意得，在中，，，是的内切圆，求的半径，解：如图，过点O分别作的垂线，垂足为D、F、E，连接，设的半径为r，∵在中，，，∴，∵，∴，解得；（3）去年的规划方案可行，理由如下：设菱形场地的两条对角线长分别为米，米，由题意得：，化简得：，如图3，若正方形的四个顶点分别在菱形的四条边上，且，点在线段上，则是的“句容正方形”的边长，由（1）得：米，如图4，是中点，米，四边形是正方形，米，，，在中，米，，，是中点，米，如图4，延长