椭圆定义及性质讲义

环球雅思教育学科教师讲义讲义编号：______________副校长/组长签字：签字日期：学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：课题椭圆定义及其性质授课日期及时段教学目的掌握椭圆的定义、性质重难点椭圆性质应用【考纲说明】掌握椭圆的定义，标准方程，了解椭圆的参数方程。掌握椭圆的简单几何性质。3、高考占分10分左右。【趣味链接】椭圆在开普勒行星运行三定律中扮演了重要角色，即行星轨道是椭圆，以恒星为焦点.开普勒〔Kepler〕行星运行三定律的发现才知道行星绕太阳运行的轨道，乃是一种以太阳为其一焦点的椭圆.由此可见，圆锥截线不单单是几何学家所爱好的精简事物，它们也是大自然的根本规律中所自然选用的精要之一。【知识梳理】一、椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.假设，那么动点的轨迹为线段；假设，那么动点的轨迹无图形。二、椭圆的标准方程1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程:，其中2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；

3．在椭圆的两种标准方程中，都有和；

4．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，.椭圆的简单几何性质以此方程为例：的简单几何性质

1.对称性：对于椭圆标准方程：说明：把换成、或把换成、或把、同时换成、、原方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。范围：

椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，.3.顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点；②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，;③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，,.和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。4.离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作.②因为，所以的取值范围是.越接近1，那么就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆.当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为.注意：椭圆的图像中线段的几何特征〔如以下图〕：〔1〕；；；〔2〕；；；

〔3〕；；；四．椭圆常见的解题规律方法：1．如何确定椭圆的标准方程任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴.当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式.此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2.椭圆标准方程中的三个量的几何意义椭圆标准方程中，三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的.分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且.可借助右图理解记忆：

显然：恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此标准方程，判断焦点位置的方法是：看，的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4．方程是表示椭圆的条件方程可化为，即，所以只有A、B、C同号，且AB时，方程表示椭圆.当时，椭圆的焦点在轴上；当时，椭圆的焦点在轴上。5．求椭圆标准方程的常用方法：①待定系数法：由条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数的值.其主要步骤是“先定型，再定量”；

②定义法：由条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，那么c相同.与椭圆共焦点的椭圆方程可设为，此类问题常用待定系数法求解。7．判断曲线关于轴、轴、原点对称的依据：①假设把曲线方程中的换成，方程不变，那么曲线关于轴对称；②假设把曲线方程中的换成，方程不变，那么曲线关于轴对称；③假设把曲线方程中的、同时换成、，方程不变，那么曲线关于原点对称。8．如何求解与焦点三角形△PF1F2〔P为椭圆上的点〕有关的计算问题？思路分析：与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理〔或勾股定理〕、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。将有关线段，有关角()结合起来，建立、之间的关系。9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化.离心率，因为，，用表示为.显然：当越小时，越大，椭圆形状越扁；当越大，越小，椭圆形状越趋近于圆。【经典例题】【例1】椭圆两焦点为，，P在椭圆上，假设△的面积的最大值为12，那么椭圆方程为〔〕A.B.C.D.【例2】椭圆的两个焦点是F1(－1,0),F2(1,0)，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，那么该椭圆方程是〔〕.A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1【例3】椭圆的两个焦点和中心，将两准线间的距离四等分，那么它的焦点与短轴端点连线的夹角为()A.450B.600C.900D.1200【例4】椭圆上的点M到焦点F1的距离是2，N是MF1的中点，那么|ON|为〔〕A.4B.2C.8D.【例5】△ABC的顶点B、C在椭圆EQ\f(x\S(2),3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，那么△ABC的周长是()A.2EQ\r(,3)B.6C.4EQ\r(,3)D.12【例6】方程表示焦点在轴的椭圆时，实数的取值范围是____________.【例7】过点且与椭圆有共同的焦点的椭圆的标准方程为_____________.【例8】设,,△的周长是，那么的顶点的轨迹方程为_______.【例9】〔1〕椭圆的中心在原点，焦点在轴上，一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的一个端点的距离为，那么椭圆方程为____________。〔2〕椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线交椭圆于两点，假设，且，那么椭圆方程为_____________________。【例10】中心在原点的椭圆的左，右焦点分别为，斜率为的直线过右焦点与椭圆交于两点，与轴交于点点，且假设，求椭圆离心率的取值范围；〔2〕假设，且弦的中点到右准线的距离为，求椭圆的方程。【课堂练习】１.椭圆上的一点P，到椭圆一个焦点的距离为３，那么P到另一焦点距离为〔〕A．２B．３C．５D．７２．中心在原点，焦点在横轴上，长轴长为4，短轴长为２，那么椭圆方程是〔〕A.B.C.D.３.与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是()A.４．椭圆的一个焦点是，那么等于〔〕A. B. C. D.５．假设椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，那么离心率等于()A. B. C. D.【课后作业】1．以下命题是真命题的是 〔〕 A．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆 B．到定直线和定点F(c，0)的距离之比为的点的轨迹是椭圆 C．到定点F(－c，0)和定直线的距离之比为(a>c>0)的点的轨迹是左半个椭圆D．到定直线和定点F(c，0)的距离之比为(a>c>0)的点的轨迹是椭圆2．假设椭圆的两焦点为〔－2，0〕和〔2，0〕，且椭圆过点，那么椭圆方程是 〔〕A． B． C． D．3．假设方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围为〔〕A．〔0，+∞〕 B．〔0，2〕 C．〔1，+∞〕 D．〔0，1〕4．设定点F1〔0，－3〕、F2〔0，3〕，动点P满足条件，那么点P的轨迹是〔〕A．椭圆 B．线段C．不存在 D．椭圆或线段5．椭圆和具有〔〕A．相同的离心率 B．相同的焦点 C．相同的顶点 D．相同的长、短轴6．假设椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，那么这个椭圆的离心率为〔〕A． B． C． D．7．椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方程。8、A、B为椭圆+=1上两点，F2为椭圆的右焦点，假设|AF2|+|BF2|=a，AB中点到椭圆左准线的距离为，求该椭圆方程。【作业条】本次______________同学课堂状态：_________________________________________________________________本次课后作业：___________________________________________________________________________________需要家长协助：____________________________________________________________________________________家长意见：________________________________________________________________________________________【参考答案】【典型例题答案】1、B；2、C；3、C；4、A；5、C；6．；7.；8.；9、〔1〕由：，又，故求得：.所以，椭圆方程为：.〔2〕设椭圆方程为：，且设，，PQ的中点为.由：，所以，即有：，又，求得：或.联立，消去y,得：，那么有:，即.由韦达定理可得：，从而有，易知：，，所以或，解之得：或.故椭圆方程为：或.10