七年级数学下册 专题 二元一次方程组的同解、错解、参数等问题（解析版）

七年级下册数学《第八章二元一次方程组》专题二元一次方程组的同解、错解、参数等问题题型一直接代入解，解决字母参数的问题题型一直接代入解，解决字母参数的问题【例题1】（2022•天津模拟）已知x=−1y=1是二元一次方程组3x+2y=mnx−y=1的解，则m﹣A．1 B．﹣2 C．3 D．﹣4【分析】将x和y的值代入方程组即可求出m和n的值，进而可得m﹣n的值．【解答】解：因为x=−1y=1是二元一次方程组3x+2y=m所以m＝﹣3+2＝﹣1，﹣n﹣1＝1，n＝﹣2，所以m﹣n＝﹣1+2＝1．则m﹣n的值为1．故选：A．【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是掌握二元一次方程组的解法．【变式1-1】（2022春•商水县期末）已知x=−2y=1是二元一次方程组3x+2y=mnx−y=1的解，则m+A．﹣2 B．﹣5 C．1 D．﹣4【分析】把方程组的解代入方程组得到关于m，n的方程组，求出m，n的值，代入代数式求值即可．【解答】解：把方程组的解代入方程组得−6+2=m−2n−1=1解得m=−4n=−1∴m+n＝﹣4﹣1＝﹣5，故选：B．【点评】本题考查了二元一次方程组的解，把把方程组的解代入方程组得到关于m，n的方程组是解题的关键．【变式1-2】（2022秋•青岛期末）已知关于x，y的二元一次方程组ax−y=43x+b=4的解是x=2y=−2，则a+A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【分析】将x=2y=−2代入二元一次方程组ax−y=4【解答】解：将x=2y=−2代入二元一次方程组ax−y=4得2a+2=46+b=4解得a=1b=−2所以a+b＝1﹣2＝﹣1，故选A．【点评】本题考查了二元一次方程组的解，熟悉二元一次方程组的解法是解题的关键．【变式1-3】（2022春•永川区期末）已知x=2y=1是二元一次方程组mx+ny=8nx−my=1的解，则m+3A．9 B．6 C．5 D．12【分析】将x=2y=1代入二元一次方程组mx+ny=8nx−my=1，再求m+3【解答】解：∵x=2y=1是二元一次方程组mx+ny=8∴2m+n=8①2n−m=1②①+②得，m+3n＝9，故选：A．【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组与二元一次方程组的关系，用整体思想解题是关键．【变式1-4】（2022春•凤庆县期末）已知x=2y=1是二元一次方程组mx+ny=8nx−my=1的解，则A．±2 B．2 C．4 D．2【分析】将x=2y=1代入mx+ny=8nx−my=1解得m=3n=2【解答】解：∵x=2y=1是二元一次方程组mx+ny=8∴2m+n=8①2n−m=1②由①得，n＝8﹣2m③，将③代入②得，m＝3，将m＝3代入③得，n＝2，∴2m﹣n＝2×3﹣2＝4，∴2m−n的算术平方根为2，故选：D．【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系，会求算术平方根是解题的关键．【变式1-5】（2022春•平舆县期中）关于x，y的方程组2x−ay=1bx+y=5的解是x=2y=1，则6a﹣A．4 B．±4 C．3 D．±【分析】将x=2y=1代入原方程组，可得出关于a，b的二元一次方程组，解之可得出a，b的值，将其代入6a﹣b中，可求出6a﹣b的值，再求出6a﹣b【解答】解：将x=2y=1代入原方程组得：2×2−a=1解得：a=3b=2∴6a﹣b＝6×3﹣2＝16，∴6a﹣b的平方根是±4．故选：B．【点评】本题考查了二元一次方程组的解以及平方根，代入方程组的一组解，求出a，b值是解题的关键．【变式1-6】（2022秋•迎泽区校级月考）小亮求得方程组2x+y=●2x−y=12的解为x=5A．5，2 B．5，﹣2 C．8，2 D．8，﹣2【分析】根据方程的解的定义，把x＝5代入2x﹣y＝12，求得y的值，进而求出●的值，即可得到答案．【解答】解：∵方程组2x+y=●2x−y=12的解为x=5∴把x＝5代入2x﹣y＝12，得2×5﹣y＝12，解得y＝﹣2，把x＝5，y＝﹣2代入2x+y＝●，得2×5﹣（﹣2）＝●，即●＝8，∴这两个数分别为：8和﹣2．故选：D．【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解能够满足各个方程是解题的关键．【变式1-7】（2022春•武山县校级月考）关于x、y的方程组3x−y=mx+my=n的解是x=1y=−1，则|m﹣n|的值是【分析】将x＝1，y＝1代入方程组求出m与n的值，即可确定出所求式子的值．【解答】解：将x＝1，y＝1代入方程组得：m=21+m=n解得：m＝2，n＝3，则|m﹣n|＝|2﹣3|＝1．故答案为：1【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．【变式1-8】（2022秋•海淀区校级期中）已知关于x，y的二元一次方程x+y＝m，x=1y=a+8和x=2a（1）求a的值；（2）x=by=b也是该方程的一个解，求b【分析】（1）根据解得定义，代入可得1+a+8＝m，2a+1＝m，进而求出a＝8；（2）将a＝8代入求出二元一次方程x+y＝m的两个解，进而确定m的值，代入求出b的值即可．【解答】解：（1）∵x=1y=a+8和x=2ay=1都是关于x，y的二元一次方程x+y＝∴1+a+8＝m，2a+1＝m，解得a＝8；（2）当a＝8时，二元一次方程的解为x=1y=16和x=16∴m＝x+y＝17，又∵x=by=b也是x+y∴b+b＝17，即b=17【点评】本题考查二元一次方程（组）的解，理解解的定义是正确解答的前提．【变式1-9】（2022春•东莞市校级期中）已知方程组ax−by=−4bx+ay=−8的解为x=2（1）求a、b的值；（2）求a﹣b的值及其算术平方根．【分析】（1）将x=2y=−2代入方程组可得一个关于a，b（2）先根据（1）的结果求出a﹣b的值，再根据算术平方根的性质即可得结果．【解答】解：（1）∵方程组ax−by=−4bx+ay=−8的解为x=2∴2a+2b=−42b−2a=−8，即2a+2b=−4①由①+②得：4b＝﹣12，解得b＝﹣3，将b＝﹣3代入①得：2a﹣6＝﹣4，解得a＝1，故a＝1，b＝﹣3．（2）由（1）已得：a＝1，b＝﹣3，则a﹣b＝1﹣（﹣3）＝4，∵22＝4，∴a﹣b的算术平方根为2．【点评】本题考查了解二元一次方程组和算术平方根，熟练掌握方程组的解法和算术平方根的性质是解题的关键．题型二二元一次方程（组）同解问题题型二二元一次方程（组）同解问题【例题2】（2021秋•昌图县期末）已知方程组5x+y=3x−2y=5和ax+2y=12x+by=8有相同的解，则a，为（）A．a＝﹣5，b＝3 B．a＝3，b＝﹣5 C．a＝5，b＝﹣3 D．a＝﹣3，b＝5【分析】先求出方程组5x+y=3x−2y=5的解，再代入方程组ax+2y=12x+by=8可得关于a、【解答】解：解方程组5x+y=3x−2y=5，得x=1代入代入方程组ax+2y=12x+by=8，得a−4=1解得a＝5，b＝﹣3．故选：C．【点评】本题主要考查了二元一次方程的解及二元一次方程组的解法，正确理解题意，然后根据题意得到关于待定系数的方程组，解方程组是解答此题的关键．【变式2-1】（2022春•禹州市期末）已知关于x，y的方程组4x+y=−5ax−by=1和3x−y=−93ax+2by=18有相同的解，则a2﹣bA．﹣3 B．3 C．0 D．﹣4【分析】根据方程组解的定义，先求出方程组的解，再把方程组的解代入含a、b的方程组，求出a、b，最后求出a2﹣b2．【解答】解：∵方程组4x+y=−5ax−by=1和3x−y=−9∴方程组4x+y=−53x−y=−9和ax−by=1解方程组4x+y=−53x−y=−9得x=−2把x=−2y=3代入方程组ax−by=1−2a−3b=1−6a+6b=18解这个方程组，得a=−2b=1∴a2﹣b2＝（﹣2）2﹣12＝3．故选：B．【点评】本题考查了二元一次方程组，掌握方程组的解法是解决本题的关键．【变式2-2】（2022秋•北碚区校级期末）关于x，y的方程组2x+3y=19ax+by=−1与3x−2y=9bx+ay=−7有相同的解，则a+4A．−1 B．−6 C．−10 D．−12【分析】解不等式组2x+3y=193x−2y=9，可得出x=5y=3，将其代入ax+by=−1bx+ay=−7中，可求出a，b的值，再将a，b的值，代入a【解答】解：不等式组2x+3y=193x−2y=9的解为x=5将x=5y=3代入关于x，y的方程组ax+by=−1bx+ay=−7得：解得：a=1b=−2∴a+4b−3＝1+4×（﹣2）﹣3＝﹣10．故选：C．【点评】本题考查了二元一次方程组的解，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键．【变式2-3】（2022春•营口期末）已知方程组5x+y=3ax+5y=4和x−2y=55x+by=1有相同的解，求a﹣5平方根．【分析】根据方程组的解的意义可求出x、y的值，进而得到a、b的值，再代入计算即可．【解答】解：方程组5x+y=3ax+5y=4和x−2y=55x+by=1的解也是方程组解方程组5x+y=3①x−2y=5②x=1y=−2∴a＝14，b＝2，∴a﹣5b＝14﹣10＝4，∴a﹣5b的平方根，即4的平方根为±4【点评】本题考查平方根，二元一次方程组的解，理解平方根的定义以及二元一次方程组的解是正确解答的前提．【变式2-4】（2022春•沙坪坝区校级期中）已知关于x，y的方程组2x−3y=−10ax+by=14和方程组3x+2y=11（1）这两个方程组的解；（2）求2a+b的值．【分析】（1）将两个方程组中的第一个方程联立可得一个二元一次方程组，求解即可；（2）将两个方程组中的第二个方程联立，将（1）中求出的x，y代入即可求出a，b，即可求解．【解答】解：（1）∵关于x，y的方程组2x−3y=−10ax+by=14和方程组3x+2y=11∴x，y满足2x−3y=−10①3x+2y=11②由①×2+②×3可得：2（2x﹣3y）+3（3x+2y）＝﹣10×2+11×3，13x＝13，x＝1，将x＝1代入①可得：2﹣3y＝﹣10，y＝4，∴两个方程组的解为x=1y=4（2）将两个方程组中的第二个方程联立可得ax+by=14ay−bx=5将x=1y=4代入可得a+4b=14③由③+④×4可得：a+4b+4（4a﹣b）＝14+5×4，17a＝34，a＝2，将a＝2代入③可得：2+4b＝14，b＝3，∴2a+b＝2×2+3＝7．【点评】本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的解法．【变式2-5】（2021春•岳麓区校级期中）若关于x，y的二元一次方程组3x−5y=36bx+ay=−8与方程组2x+5y=−26（1）这两个方程组的相同解；（2）求（2a+b）2021的值．【分析】（1）根据题意联立2x+5y=−26①3x−5y=36②，求出x，y（2）把x=2y=−6代入ax−by=−4bx+ay=−8中进行计算，求出a，【解答】解：由题意得：2x+5y=−26①3x−5y=36②①+②得：5x＝10，解得：x＝2，把x＝2代入①得：4+5y＝﹣26，解得：y＝﹣6，原方程组的解为：x=2y=−6∴这两个方程组的解为：x=2y=−6（2）把x=2y=−6代入ax−by=−4bx+ay=−8中可得：化简得：a+3b=−2①b−3a=−4②①×3得：3a+9b＝﹣6③，②+③得：10b＝﹣10，解得：b＝﹣1，把b＝﹣1代入②得：﹣1﹣3a＝﹣4，解得：a＝1，∴（2a+b）2021＝（2﹣1）2021＝12021＝1，∴（2a+b）2021的值为1．【点评】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握同解方程组是解题的关键．【变式2-6】（2021春•荔浦市期中）已知方程组2x+y=−2ax+by=−4和方程组3x−y=12求（5a+b）2的值．【分析】先求出方程组2x+y=−23x−y=12的解，再把x=2y=−6代入方程组ax+by=−4bx+ay=−8得出2a−6b=−42b−6a=−8，求出a、b的值，再代入（5a+【解答】解：∵方程组2x+y=−2ax+by=−4和方程组3x−y=12∴解方程组2x+y=−23x−y=12得：x=2把x=2y=−6代入方程组ax+by=−4bx+ay=−8得：解得：a=74，b∴5a+b＝5×7∴（5a+b）2＝102＝100．【点评】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．【变式2-7】（2022春•德州期中）已知方程组2x+y=1ax−by=7和方程组bx−ay=8（1）求a，b的值．（2）求|a【分析】（1）由同解方程可得2x+y=1x+2y=−4和ax−by=7bx−ay=8同解，先解出x、y，再求解a、（2）将（1）所求代入所求的代数式即可求解．【解答】解：（1）∵方程组2x+y=1ax−by=7和方程组bx−ay=8∴2x+y=1x+2y=−4和ax−by=72x+y=1①x+2y=−4②①×2得，4x+2y＝2③，③﹣②，得3x＝6，∴x＝2，将x＝2代入①可得y＝﹣3，∴方程组的解为x=2y=−3∴2a+3b=7④2b+3a=8⑤④×2得，4a+6b＝14⑥，⑤×3得，6b+9a＝24⑦，⑦﹣⑥，得5a＝10，∴a＝2，将a＝2代入④，得b＝1，∴方程组的解为a=2b=1（2）将a＝2，b＝1代入|a|2−2|+2（1−2【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，理解同解方程的含义，利用加减消元法和代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．题型三方程组的解满足某一附加条件题型三方程组的解满足某一附加条件【例题3】（2022秋•峄城区校级期末）已知关于x，y的二元一次方程组2x−5y=3n+7x−3y=4的解相等，则nA．3 B．−13 C．1 【分析】把x＝y代入方程组中进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：2x−5y=3n+7①x−3y=4②解②得：x＝y＝﹣2，把x＝y＝﹣2代入①得：2×（﹣2）﹣5×（﹣2）＝3n+7，解得：n=−1∴故选：B．【点评】本题考查了二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的方法是关键．【变式3-1】（2022•东平县校级开学）若方程组4x+3y=1ax+(1−a)y=3的解x和y互为相反数，则a＝【分析】先求出方程组4x+3y=1x+y=0的解，将其代入ax+（1﹣a）y＝3中，可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a【解答】解：方程组4x+3y=1x+y=0的解为x=1将x=1y=−1代入ax+（1﹣a）y＝3得：a﹣（1﹣a解得：a＝2，∴a的值为2．故答案为：2．【点评】本题考查了二元一次方程组的解，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键．【变式3-2】（2022秋•大渡口区校级期末）关于x，y的二元一次方程组3x+5y=a+22x+3y=a的解适合x+y＝10，则aA．14 B．12 C．6 D．﹣10【分析】利用②×2﹣①，可找出x+y＝a﹣2，结合x+y＝10，可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值．【解答】解：3x+5y=a+2①2x+3y=a②②×2﹣①得：x+y＝a﹣2．又∵x+y＝10，∴a﹣2＝10，解得：a＝12，∴a的值为12．故选：B．【点评】本题考查了二元一次方程组的解及二元一次方程的解，通过解二元一次方程组，找出x+y＝10是解题的关键．【变式3-3】（2022春•镇江期末）若方程组x+y=5kx+y=8的解中，x的值比y的值大1，则kA．5 B．2 C．3 D．﹣2【分析】根据二元一次方程组的解的定义解决此题．【解答】解：由题意知，y+1+y＝5．∴y＝2．∴x＝y+1＝3．∴3k+2＝8．∴k＝2．故选：B．【点评】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解决本题的关键．【变式3-4】（2022秋•邢台期末）若关于x，y的二元一次方程组x+y=−a+1x−y=3a+5的解，也是二元一次方程x+2y＝﹣1的解，则aA．2 B．1 C．12 【分析】解原方程组后，根据同解方程得到含a的一元一次方程，就能求得此题结果了．【解答】解：解原方程组得，x=a+3y=−2a−2将其代入方程x+2y＝﹣1得，a+3+2（﹣2a﹣2）＝﹣1，解得a＝0，故选：D．【点评】此题考查了含有字母参数的方程（组）问题的解决能力，关键是能准确解方程（组）．【变式3-5】（2022春•荣县校级期中）已知方程组3x+2y=k2x+3y=k+3的解满足x+y＝5，求k【分析】先计算①+②推出x+y=2k+35，再由x+y＝5得到【解答】解：①+②得：5x+5y＝2k+3，∴x+y=2k+3又∵x+y＝5，∴2k+35解得k＝11．【点评】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，熟知加减消元法是解题的关键．【变式3-6】（2022春•昌平区校级期中）已知关于x，y的方程组5x+3y=2m−1x−y=−m+2的解中x与y的和为3，求m【分析】根据题意先用含m的代数式表示出x和y，再根据x与y的和为3求出m的值，代入x=−m+5【解答】解：5x+3y=2m−1x−y=−m+2解得：x=−m+5∴x+y=3m−3又∵x与y的和为3，∴3m−34解得：m＝5，把m＝5代入x=−m+5解得：x=0y=3∴方程组的解为：解得：x=0y=3∴m的值为5，方程组的解为解得：x=0y=3【点评】本题考查了方程组的解的定义，以及解二元一次方程组，正确求得m的值是解决本题的关键．【变式3-7】（2022春•广州期中）已知关于x，y的方程组3x+5y=2mx+y=m−1的解满足x+2y（1）求m的值；（2）化简：|m−1|﹣|m【分析】（1）将方程组的两个方程相减可得2（x+2y）＝m+1，再将x+2y＝2代入即可求出m的值；（2）将m的值代入后，再根据绝对值的意义化简即可．【解答】解：（1）3x+5y=2m①x+y=m−1②①﹣②得，2x+4y＝m+1，即2（x+2y）＝m+1③，将x+2y＝2代入③得，4＝m+1，解得，m＝3；（2）当m＝3时，原式＝|3−1|﹣|3=3−1﹣（2=3−1﹣2＝23−【点评】本题考查二元一次方程组，绝对值，掌握二元一次方程组的解法以及绝对值的化简方法是正确解答的前提．【变式3-8】（2022春•广州期中）已知实数a，b满足a+1+|a+b|＝0，且以关于x，y的方程组ax+by=m2ax−by=m+1的解为横、纵坐标的点P（x，y）在第二、四象限的角平分线上，求【分析】根据非负数的性质求出a，b的值，代入方程组求出x，y的值，根据点P（x，y）在第二、四象限的角平分线上，得到x+y＝0，把x，y的值代入解方程即可得出答案．【解答】解：∵a+1≥0，|a+b∴a+1＝0，a+b＝0，∴a＝﹣1，b＝1，∴关于x，y的方程组为：−x+y=m−2x−y=m+1解得：x=−2m+1∵点P（x，y）在第二、四象限的角平分线上，∴x+y＝0，∴−2m+1∴m＝﹣2．【点评】本题考查了二元一次方程组的解，非负数的性质，点的坐标，根据点P（x，y）在第二、四象限的角平分线上，得到x+y＝0是解题的关键．题型四利用二元一次方程组解决错解问题题型四利用二元一次方程组解决错解问题【例题4】（2022春•石河子期末）已知方程组ax+by=35x−cy=1，甲正确地解得x=2y=3，而乙粗心地把c看错了，得x=3y=6，试求出a，b【分析】把x=2y=3，x=3y=6代入方程ax+by＝3即可得到一个关于a，b的方程组，即可求得a，b的值，把x=2y=3代入方程5x﹣cy【解答】解：根据题意得：2a+3b=33a+6b=3解得：a=3b=−1把x=2y=3代入方程5x﹣cy＝1，得到：10﹣3c解得：c＝3．故a＝3，b＝﹣1，c＝3．【点评】本题考查了二元一次方程组的解，方程的解的定义，正确理解定义是解题的关键．【变式4-1】（2021春•柳南区校级期中）在解方程组ax+by=2cx−7y=8时，小明正确地解得方程组的解为x=3y=−2，小刚因把x=−2y=2，求a+b+c【分析】方程组的解适合每个方程，故小明的解可以代入两个方程；而小刚只看错了c，他的解可以代入ax+by＝2；从而求出a、b、c得到答案．【解答】解：把x=3y=−2代入方程组得3a−2b=2①由②得c＝﹣2，把x=−2y=2代入ax+by＝2得﹣2a+2b＝2③由3a−2b=2①−2a+2b=2③得a=4∴a+b+c＝4+5+（﹣2）＝7．【点评】本题考查了方程组解的概念：方程组的解适合每个方程，所以将解代入相应的方程就可以得出答案．【变式4-2】（2022春•陆河县期末）已知方程组2x+ay=10①bx−3y=−3②，由于甲看错了方程①中a得到方程组的解为x=3y=−1，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为x=−1y=2．若按正确的a【分析】把甲的结果代入②，乙的结果代入①组成方程组，求出解即可．【解答】解：根据题意，可知x=3y=−1满足方程②，x=−1y=2满足方程则3b+3=−3−2+2a=10解得：a=6b=−2把a=6b=−2，代入原方程组为2x+6y=10解得：x=−2y=∴原方程组的解为：x=−2y=【点评】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．【变式4-3】（2021春•武城县期末）在解方程组ax+5y=104x−by=−4时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为x=−3y=−1，乙看错了方程组中的b，而得解为【分析】把甲的结果代入第二个方程求出b的值，把乙的结果代入第一个方程求出a的值，确定出方程组，即可求出解．【解答】解：把x=−3y=−1代入4x﹣by＝﹣4，得：﹣12+b＝﹣4，即b把x=5y=4代入ax+5y＝10，得：5a+20＝10，即a方程组为−2x+5y=10①x−2y=−1②①+②×2得：y＝8，把y＝8代入②得：x＝15，则方程组的解为x=15y=8【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．【变式4-4】（2022秋•霍邱县月考）已知关于x、y的二元一次方程组2ax+y=5①x−by=2②（1）若a＝1，请写出方程①的所有正整数解；（2）由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为x=−2y=1，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为x=1y=3，求a、【分析】（1）将a＝1代入方程，分别令x＝1，x＝2，求出对应的y的值即可；（2）将x=−2y=1代入②式可求得a的值；将x=1y=3代入①式可求得【解答】解：（1）将a＝1代入方程可得：2x+y＝5，当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝1；当x＞2时，y＜1，没有符合条件的解；∴该方程的正整数解为：x=1y=3，x=2（2）将x=−2y=1代入②得：﹣2﹣b解得：b＝﹣4，将x=1y=3代入①得：2a解得：a＝1，∴原方程组为2x+y=5①x+4y=2②③×4﹣④得：7x＝18，解得：x=187④×2﹣③得：7解得：y=−1∴原方程组的解为：x=18【点评】本题考查了二元一次方程的整数解，解二元一次方程组；熟练掌握方程组的解与方程的关系是解决本题的关键．【变式4-5】（2022春•上蔡县期中）甲、乙两人共同解方程组ax+5y=15，①4x−by=−2②，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为x=−3y=−1乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为x=5y=4.，试计算a2015+（−1【分析】把x=−3y=−1代入4x﹣by＝﹣2求出b，把x=5y=4代入ax+5y＝15求出【解答】解：根据题意把x=−3y=−1代入4x﹣by＝﹣2得：﹣12+b解得：b＝10，把x=5y=4代入ax+5y＝15得：5a解得：a＝﹣1，所以a2015+（−110b）2016＝（﹣1）2015+（−1【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解一元一次方程，求代数式的值的应用，能求出a、b的值是解此题的关键．【变式4-6】（2021春•安居区期中）在解方程组ax+y=10x+by=7时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到方程组的解为x=1y=6，乙看错了方程组中的b（1）甲把a看成了什么？乙把b看成了什么？（2）求出原方程组的正确解．【分析】（1）将甲的解代入方程组中的第二个方程，求出b的值，将乙的解代入第一个方程求出a的值；（2）确定方程组，解方程组即可．【解答】解：（1）将x＝1，y＝6代入第一个方程得：a+6＝10，解得：a＝4；代入第二个方程得：1+6b＝7，解得：b＝1，将x＝﹣1，y＝12代入第一个方程得：﹣a+12＝10，解得：a＝2；代入第二个方程得：12b﹣1＝7，解得：b=2所以，甲把a看成了4，乙把b看成了23（2）方程组为：2x+y=10①x+y=7②①﹣②得：x＝3，将x＝3代入②得：y＝4，则方程组的解为：x=3y=4【点评】此题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是明确方程组的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．【变式4-7】（2021春•九龙坡区校级期中）已知：甲、乙两人同解方程组ax+5y=15(1)4x=by−2(2)时，甲看错了方程（1）中的a，解得x=−2y=1，乙看错了（2）中的b，解得x=5y=−4，试求a【分析】根据题意列出关于a、b的二元一次方程组，求出a、b的值，根据平方根的概念求出平方根即可．【解答】解：根据题意得，−8=b−25a−20=15解得，a=7b=−6a+b＝1，∴a+b的平方根为：±1．【点评】本题考查的是二元一次方程组的解的定义，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解，解题的关键是要知道两个方程组的解分别是哪一个．题型五（拓展）二元一次方程（组）正整数解问题题型五（拓展）二元一次方程（组）正整数解问题【例题5】若关于x，y的二元一次方程组2x+ay=122x−y=0有整数解，则满足要求的所有整数a为（）A．0 B．4 C．8 D．12【分析】两方程相减消去x表示出y，根据方程组有整数解确定出整数a的个数即可．【解答】解：消去x得：（a+1）y＝12，当a+1≠0，即a≠﹣1时，y=12可得x=6由方程组有整数解，得到a+1＝±1，±2，±3，±6解得：a＝0，﹣2，1，﹣3，2，﹣4，5，﹣7，故选：C．【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程左右两边相等的未知数的值．【变式5-1】（2022秋•东宝区期末）已知关于x，y的方程组x+2y−6=0x−2y+mx+5=0，若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，则mA．﹣1 B．1 C．﹣1或3 D．﹣1或﹣3【分析】利用加减消元法解关于x、y的方程组得到x=12+m，利用有理数的整除性得到2+m＝±1，从而得到满足条件的【解答】解：x+2y−6=0①①+②得（2+m）x＝1，解得x=1∵x为整数，m为整数，∴2+m＝±1，∴m的值为﹣1或﹣3．故选：D．【点评】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．也考查了解二元一次方程组．【变式5-2】（2021秋•南岸区校级期中）m为正整数，已知二元一次方程组mx−2y=103x−2y=0有整数解，则m2A．4 B．1或4或16或25 C．64 D．4或16或64【分析】先求出方程组的解，再根据题意确定m的具体值，即可求解．【解答】解：mx−2y=10①3x−2y=0②①﹣②得，（m﹣3）x＝10，解得x=10将x=10m−3代入②得，y∵方程组有整数解，m是正整数，∴m＝2或4或8，∴m2＝4或16或64，故选：D．【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．【变式5-3】（2021春•沙坪坝区校级月考）已知m为整数，二元一次方程组4x−3y=66x+my=26有整数解，则mA．4或﹣4或﹣5 B．4或﹣4或﹣13 C．4或﹣5或﹣13 D．4或﹣4或﹣5或﹣13【分析】把m看作已知数表示出方程组的解，根据m为整数且方程组有整数解确定出m的值即可．【解答】解：方程组4x−3y=6①6x+my=26②②×2﹣①×3得：（9+2m）y＝34，解得：y=34①×m+②×3得：（4m+18）x＝6m+78，解得：x=6m+78∵m为整数，二元一次方程组4x−3y=66x+my=26有整数解，y=∴9+2m＝±34或±17或±2或±1，解得：m＝﹣13或±4或﹣5，当m＝﹣13时，x＝0，此时符合题意；当m＝4时，x＝3，此时符合题意；当m＝﹣4时，x＝27，此时符合题意；当m＝﹣5时，x＝﹣24，此时符合题意；所以m的值为：4或﹣4或﹣5或﹣13．故选：D．【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．【变式5-4】（2020春•雨花区校级月考）m为正整数，已知二元一次方程组mx+2y=103x−2y=0有整数解，则m2A．3或48 B．3 C．4或49 D．48【分析】把m看作已知数表示出方程组的解，由方程组的解为整数解确定出m的值，代入原式计算即可求出值．【解答】解：mx+2y=10①3x−2y=0②①+②得：（m+3）x＝10，解得：x=10把x=10m+3代入②得：y由方程组为整数解，得到m+3＝±1，m+3＝±5，解得：m＝﹣2，﹣4，2，﹣8，由m为正整数，得到m＝2，则原式＝4﹣1＝3，故选：B．【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．【变式5-5】（2022春•商水县期末）m为负整数，已知二元一次方程组mx+2y=103x+2y=0有整数解，则m的值为【分析】先解该方程组，再讨论符合条件的m值．【解答】解：方程组mx+2y=103x+2y=0x=10∵该方程组有整数解，m﹣3是15和10的公约数，且m为负整数，∴m﹣3＝﹣5，解得m＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】此题考查了方程组的解相关问题的解决能力，关键是能准确运用相关知识进行求解、讨论．【变式5-6】（2022春•西区期中）若关于x、y的方程组x+y=2ax+2y=8的解为整数，则满足条件的所有整数aA．6 B．9 C．12 D．16【分析】把a看作已知数由加减消元法求得x=4a−2，由方程组的解为整数，确定出【解答】解：x+y=2①ax+2y=8②②﹣①