【青松雪】中考数学几何模型【模型03】对角互补模型

初中数学（北师大版）中考数学几何模型【模型03】对角互补模型主讲人：王建林【模型介绍】

对角互补模型：指在四边形中，如果有一组对角互补，此时该四边形的边、角、对角线、面积等，会存在一些特定的结论．这样的四边形也称为“对角互补四边形”，即我们后面要研究的圆的内接四边形．

对角互补模型包含“全等型”和“相似型”两种，初一阶段主要研究前者，即我们通常所说的“邻等对补四边形”，初三阶段研究后者．

对角互补的类型主要有：含90°+90°

的对角互补，含60°+120°

的对角互补，或其他类型，种类不同得出的个别结论会有所差别．

解决此类问题常用到的辅助线作法主要有两种：旋转法或作垂线．【模型介绍】“全等型”对角互补模型【类型一】含90°+90°

的对角互补模型【结论】③

OC平分∠AOB；④

；⑤.【条件】①∠AOB=∠DCE=90°；②CD=CE．【说明】条件①给出对角互补，条件②给出邻边相等，结论③得出角平分

线．这三个条件实际上可以任意组合，知二推一．结论④⑤则是常考的．【模型介绍】“全等型”对角互补模型【类型一】含90°+90°

的对角互补模型【条件】①∠AOB=∠DCE=90°；②CD=CE．【结论】③

OC平分∠AOB；④

；⑤.【模型介绍】“全等型”对角互补模型【类型二】含60°+120°

的对角互补模型【条件】①∠AOB=120°，∠DCE=60°；②CD=CE．【结论】③

OC平分∠AOB；④OD+OE=OC；⑤.【模型介绍】“全等型”对角互补模型【类型二】含60°+120°

的对角互补模型【条件】①∠AOB=120°，∠DCE=60°；②CD=CE．【结论】③

OC平分∠AOB；④OE-OD=OC；⑤.【模型介绍】“相似型”对角互补模型【类型三】相似型对角互补模型(本质是四点共圆，旋转相似)【典型例题】【例1】(1)如图，在四边形

ABCD

中，∠A=∠C=90°，AB=AD，若这个四

边形的面积为12，则BC+CD=_______.(2)如图，在四边形

ABCD

中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD

于点

E，且四边形

ABCD

的面积为8，则BE

的长为_______.(3)如图，在△ABC中，∠BAC=70°，延长

BC

至点

D，使

CD＝CA，连

接AD，过点

C作

AD的垂线，交∠ABC的平分线于点

E，则∠CDE的度

数为_______.【例2】如图，在正方形

ABCD

中，对角线

AC、BD

交于点

O，点

E、F

分

别在

AB、BC

上(AE<BE)，且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点

M，

OF、AB的延长线交于点

N，连接

MN．(1)求证：OM=ON；(2)若正方形

ABCD的边长为4，E为

OM

的中点，求

MN

的长．【典型例题】【典型例题】【例3】定义：一组邻边相等且一组对角互补的四边形叫做等补四边形．(1)如图1，△ABC

是等边三角形，在

BC

上任取一点

D(B、C

除外)，连

接AD，我们把△ABD绕点

A

逆时针旋转60°，则

AB与

AC

重合，点

D

的

对应点

E，请根据给出的定义判断：四边形

ADCE

(选择是或不是)

等补四边形．(2)如图2，等补四边形

ABCD

中，AB=BC，∠ABC=∠ADC=90°，若

S四边形ABCD=8，求

BD的长．(3)如图3，在四边形

ABCD

中，AB=BC，∠A+∠C=180°，BD=4，求四

边形

ABCD

面积的最大值．【典型例题】【例4】(1)如图①，∠AOB=∠CPD=90°，OP平分∠AOB，小明同学从

P

点分别向

OA、OB作垂线

PE、PF，由此得到正方形

OFPE，与△PED

全等的三角形是

；(2)如图②，若∠AOB=120°，∠CPD=60°，OP平分∠AOB，OD=1，

OC=2，求

OP的长；(3)如图③，点

P

是正方形

ABCD

外一点，∠CPD=90°，∠PCD=30°，

对角线

AC、BD交于点O，连接

OP，若OP=8，求正方形ABCD的面积．【典型例题】【例5】(1)如图，在矩形

ABCD

中，AB=3，BC=5，点

E

在对角线

AC

上，

连接

BE，过点

E作

EF⊥BE交线段

DC

于点

F，则

EF:BE=

；(2)如图，在

Rt△ABC

中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，另一个Rt△MPN

如图这样放置，∠MPN=90°，点

P在

AC上，PM交

AB于点

E，PN交

BC于点F，当

PE=2PF时，则AP=

．【典型例题】【例6】探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D

是

AB

边上一点，且

AD:BD=1:n(

n为正

整数

)，E

是

AC

边上的动点，过点

D

作DE

的垂线交直线BC

于点

F.

(1)

如图1，当n=1时，兴趣小组探究得出结论：

，请写出证明过程；

(2)①如图2，当n=2，且点

F

在线段BC

上时，试探究线段AE、BF、AB

之间的数量

关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE、BE、AB

之间数量关系的一般结论

(直接写出结论，不必证明

).

(3)

如图3，连接

EF，设

EF

的中点为M，若

，求点

E

从点

A

运动到点

C

的

过程中，点

M

运动的路径长

(

用含

n

的代数式表示

).(2023年成都中考26题

)【课堂小结】【变式练习】【变式1】如图，正方形

ABCD

的边长为6，点

O是对角线

AC，BD的交

点，点

E

在

CD

上，且

DE=2CE，连接BE，过点

C作

CF⊥BE，垂足为

点F，连接OF．(1)求

CF

的长；(2)求

OF的长．【变式2】已知，点

P

是∠MON的平分线上的一动点，射线PA交射线

OM于点

A，

将射线

PA

绕点

P

逆时针旋转交射线

ON

于点

B，且使∠APB+∠MON=180°．(1)利用图1，求证：PA=PB；(2)如图2，若点

C是

AB与

OP的交点，当S△POB=3S△PCB

时，求PB

与

PC

的比值；(3)若∠MON=60°，OB=2，射线AP

交ON

于点

D，且满足∠PBD=∠ABO，请借

助图3补全图形，并求

OP的长．【变式练习】【变式练习】【变式3】定义：有一组对角互补的四边形叫做对补四边形．(1)如图①，四边形

ABCD是对补四边形，且对角线BD平分∠ABC，则

AD和

CD的

数量关系是

；(2)如图②，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝60，CD平分∠ACB与

AB交于点

D，E为边

AC上的一点，连接

DE，作

DF⊥DE与

BC交于点

F．①如果AD＝20，求四边形CFDE的面积；②如图③，设

AD的长为

x，阴影部分的面积为

y，求

y与

x的函数关系式；(3)如图③，在(2)的条件下，直接写出阴影部分面积的最大值．【变式4】“如图1，在

Rt△ABC

中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点

D”.

这里，根据已

学的相似三角形的知识易证

CD:BD=AC:BC，在图

1

这个基本图形的基础上，继

续添加条件“如图2，点

E

是直线AC

上一动点，连接

DE，过点

D

作

FD⊥ED，交

直线

BC

于点

F，设

AC:BC=n:m；

(1)

如图2，若

m=n，点

E

在线段AC上，则

DE:DF=

；

(2)

①如图3，若点

E

在线段

AC上，则

DE:DF=

(用含m、n

的代数式表