数学-人教A版（新教材）-必修第一册-教学设计1：4.3.2　对数的运算第四章　指数函数与对数函数-教学设计

4.3.2对数的运算课程标准：把握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件．把握换底公式并能用换底公式进行求值、化简．教学重点：对数的运算性质、换底公式．教学难点：机敏运用对数运算性质和换底公式.学问导学学问点一对数运算性质假如a>0且a≠1，M>0，N>0，那么，(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．学问点二换底公式(1)对数的换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0)．(2)三个较为常用的推论①logab·logbc·logca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不为1)；②logab＝eq\f(1,logba)(a>0，b>0，且均不为1)；③logambn＝eq\f(n,m)logab(a>0，b>0，且均不为1，m≠0)．新知拓展(1)推广：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Nk＞0，k∈N*)．(2)对数运算性质推导的基本方法：利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题．(3)对数运算性质的实质就是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘运算，使用时要留意公式的适用条件．(4)只有当式子中全部的对数都有意义时，对数的运算性质才能成立，留意下列式子不成立：loga(MN)＝logaM·logaN，loga(M±N)＝logaM±logaN，logaeq\f(M,N)＝eq\f(logaM,logaN)，logaMn＝(logaM)n.(5)逆向运用对数的运算性质，可以将几个对数式化为一个对数式，有利于化简，如：lg5＋lg2＝lg10＝1.评价自测1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个正数的积、商的对数可以化为它们对数的和、差．()(2)loga(xy)＝logax·logay.()(3)log2(－5)2＝2log2(－5)．()(4)由换底公式可得logab＝eq\f(log－2b,log－2a).()【答案】(1)√(2)×(3)×(4)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)log325－log35＝________.(2)lg8＋lg53＝________.(3)若lg5＝a，lg7＝b，用a，b表示log75＝________.【答案】(1)log35(2)3(3)eq\f(a,b)核心素养形成题型一对数运算性质的应用例1若a>0，且a≠1，x>y>0，n∈N*，则下列各式：①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；③loga(xy)＝logax·logay；④eq\f(logax,logay)＝logaeq\f(x,y)；⑤(logax)n＝logaxn；⑥logax＝－logaeq\f(1,x)；⑦eq\f(logax,n)＝logaeq\r(n,x)；⑧logaeq\f(x－y,x＋y)＝－logaeq\f(x＋y,x－y).其中式子成立的个数为()A．3B．4C．5D．6【解析】对于①，取x＝4，y＝2，a＝2，则log24·log22＝2×1＝2，而log2(4＋2)＝log26≠2，∴logax·logay＝loga(x＋y)不成立；对于②，取x＝8，y＝4，a＝2，则log28－log24＝1≠log2(8－4)＝2，∴logax－logay＝loga(x－y)不成立；对于③，取x＝4，y＝2，a＝2，则log2(4×2)＝log28＝3，而log24·log22＝2×1＝2≠3，∴loga(xy)＝logax·logay不成立；对于④，取x＝4，y＝2，a＝2，则eq\f(log24,log22)＝2≠log2eq\f(4,2)＝1，∴eq\f(logax,logay)＝logaeq\f(x,y)不成立；对于⑤，取x＝4，a＝2，n＝3，则(log24)3＝8≠log243＝6，∴(logax)n＝logaxn不成立；⑥成立，由于－logaeq\f(1,x)＝－logax－1＝loga(x－1)－1＝logax；⑦成立，由于logaeq\r(n,x)＝logaxeq\s\up15(eq\f(1,n))＝eq\f(1,n)logax；⑧成立，由于logaeq\f(x－y,x＋y)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,x－y)))－1＝－logaeq\f(x＋y,x－y).【答案】A例2化简：(1)4lg2＋3lg5－lgeq\f(1,5)；(2)eq\f(lg\r(27)＋lg8－3lg\r(10),lg1.2)；(3)2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－5log53；(4)log2eq\r(8＋4\r(3))＋log2eq\r(8－4\r(3)).解：(1)原式＝lgeq\f(24×53,\f(1,5))＝lg104＝4.＝eq\f(\f(3,2)lg3＋2lg2－1,lg3＋2lg2－1)＝eq\f(3,2).(3)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝5log32－(5log32－2)－3＝－1.(4)原式＝log2(eq\r(8＋4\r(3))·eq\r(8－4\r(3)))＝log24＝2.金版点睛对数式化简与求值的原则和方法(1)基本原则对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际状况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．(3)要留意一些常见的结论，如lg2＋lg5＝1，lgeq\f(1,a)＝－lga等．跟踪训练1计算：(1)lg25＋eq\f(2,3)lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2；(2)log535－2log5eq\f(7,3)＋log57－log51.8；(3)log2eq\r(\f(7,48))＋log212－eq\f(1,2)log242－1.解：(1)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.(2)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5eq\f(9,5)＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.(3)原式＝log2eq\f(\r(7),\r(48))＋log212－log2eq\r(42)－log22＝log2eq\f(\r(7)×12,\r(48)×\r(42)×2)＝log2eq\f(1,2\r(2))＝log22eq\s\up15(－eq\f(3,2))＝－eq\f(3,2).题型二换底公式的应用例3计算：(1)(log43＋log83)eq\f(lg2,lg3)；(2)(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)．解：(1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,lg4)＋\f(lg3,lg8)))eq\f(lg2,lg3)＝eq\f(lg3,2lg2)·eq\f(lg2,lg3)＋eq\f(lg3,3lg2)·eq\f(lg2,lg3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).(2)解法一：原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log253＋\f(log225,log24)＋\f(log25,log28)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log52＋\f(log54,log525)＋\f(log58,log5125)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3log25＋\f(2log25,2log22)＋\f(log25,3log22)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log52＋\f(2log52,2log55)＋\f(3log52,3log55)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1＋\f(1,3)))log25·3log52＝13log25·eq\f(log22,log25)＝13.解法二：原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg125,lg2)＋\f(lg25,lg4)＋\f(lg5,lg8)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg5)＋\f(lg4,lg25)＋\f(lg8,lg125)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3lg5,lg2)＋\f(2lg5,2lg2)＋\f(lg5,3lg2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg5)＋\f(2lg2,2lg5)＋\f(3lg2,3lg5)))＝eq\f(13lg5,3lg2)·eq\f(3lg2,lg5)＝13.解法三：原式＝(log253＋log2252＋log2351)(log52＋log5222＋log5323)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3log25＋log25＋\f(1,3)log25))(log52＋log52＋log52)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1＋\f(1,3)))log25·3log52＝eq\f(13,3)×3＝13.金版点睛换底公式在求值中的应用利用对数的换底公式能够将不同底的对数化为常用对数或自然对数或同底的对数，即可用对数的运算性质来解决对数的求值问题，同时要留意换底公式的逆用和变形应用．跟踪训练2计算：(1)log23×log34×log45×log56×log67×log78；(2)eq\f(log5\r(2)×log79,log5\f(1,3)×log7\r(3,4))＋log2(eq\r(3＋\r(5))－eq\r(3－\r(5)))．解：(1)原式＝eq\f(lg3,lg2)×eq\f(lg4,lg3)×eq\f(lg5,lg4)×eq\f(lg6,lg5)×eq\f(lg7,lg6)×eq\f(lg8,lg7)＝eq\f(lg8,lg2)＝eq\f(3lg2,lg2)＝3.题型三对数式的条件求值问题例4已知log189＝a,18b＝5，试用a，b表示log3645.解：解法一：∵18b＝5，∴log185＝b，又log189＝a，∴log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log189×5,log18\f(182,9))＝eq\f(log189＋log185,2log1818－log189)＝eq\f(a＋b,2－a).解法二：∵log189＝eq\f(lg9,lg18)＝a，∴lg9＝alg18，同理得lg5＝blg18，∴log3645＝eq\f(lg45,lg36)＝eq\f(lg9×5,lg\f(182,9))＝eq\f(lg9＋lg5,2lg18－lg9)＝eq\f(alg18＋blg18,2lg18－alg18)＝eq\f(a＋b,2－a).解法三：∵log189＝a，∴log18eq\f(18,2)＝1－log182＝a，∴log182＝1－a.∵18b＝5，∴log185＝b，∴log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log189＋log185,1＋log182)＝eq\f(a＋b,2－a).解法四：∵log189＝a，∴18a＝9.又18b＝5，∴45＝5×9＝18b·18a＝18a＋b.令log3645＝x，则36x＝45＝18a＋b，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,3)×\f(18,3)))x＝18a＋b,182x＝9x·18a＋b.∵18a＝9，∴182x＝(18a)x·18a＋b＝18ax·18a＋b＝18ax＋a＋b.∴2x＝ax＋a＋b，∴x＝eq\f(a＋b,2－a)，即log3645＝eq\f(a＋b,2－a).金版点睛指数式与对数式之间的转化是解题关键对数式的证明和对数式的化简的基本思路是全都的，就是依据对数的运算性质和换底公式对对数式化简，此题奇妙引入帮助量，顺当完成指数与对数之间的转化是解题的关键．带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握对数式的结构特征，机敏运用指数式与对数式的互化．跟踪训练3已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝0，求abc的值．解：解法一：设ax＝by＝cz＝t，∴x＝logat，y＝logbt，z＝logct，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝eq\f(1,logat)＋eq\f(1,logbt)＋eq\f(1,logct)＝logta＋logtb＋logtc＝logt(abc)＝0，∴abc＝t0＝1，即abc＝1.解法二：∵a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，∴令ax＝by＝cz＝t>0，∴x＝eq\f(lgt,lga)，y＝eq\f(lgt,lgb)，z＝eq\f(lgt,lgc)，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝eq\f(lga,lgt)＋eq\f(lgb,lgt)＋eq\f(lgc,lgt)＝eq\f(lga＋lgb＋lgc,lgt).∵eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝0，且lgt≠0，∴lga＋lg