新高考数学一轮复习知识清单+巩固练习专题12 数列通项及数列前n项和求法（解析版）

专题12数列通项及数列前n项和求法一、知识速览二、考点速览知识点1数列的递推公式1、递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2、通项公式和递推公式的异同点不同点相同点通项公式可根据某项的序号n的值，直接代入求出an都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项递推公式可根据第一项(或前几项)的值，通过一次(或多次)赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的an，也可通过变形转化，直接求出an知识点2数列通项公式的求法1、观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．2、公式法（1）使用范围：若已知数列的前项和与SKIPIF1<0的关系，求数列SKIPIF1<0的通项SKIPIF1<0可用公式SKIPIF1<0构造两式作差求解．（2）用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即SKIPIF1<0和SKIPIF1<0合为一个表达，（要先分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．3、累加法：适用于an＋1＝an＋f(n)，可变形为an＋1－an＝f(n)要点：利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解4、累乘法：适用于an＋1＝f(n)an，可变形为eq\f(an＋1,an)＝f(n)要点：利用恒等式an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(an≠0，n≥2，n∈N*)求解5、构造法：对于不满足an＋1＝an＋f(n)，an＋1＝f(n)an形式的递推关系，常采用构造法要点：对所给的递推公式进行变形构造等差数列或等比数列进行求解类型一：形如SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0均为常数且SKIPIF1<0）型的递推式：（1）若SKIPIF1<0时，数列{SKIPIF1<0}为等差数列；（2）若SKIPIF1<0时，数列{SKIPIF1<0}为等比数列；（3）若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，数列{SKIPIF1<0}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：法一：设SKIPIF1<0，展开移项整理得SKIPIF1<0，与题设SKIPIF1<0比较系数（待定系数法）得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0构成以SKIPIF1<0为首项，以SKIPIF1<0为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出SKIPIF1<0的通项整理可得SKIPIF1<0法二：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0两式相减并整理得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0构成以SKIPIF1<0为首项，以SKIPIF1<0为公比的等比数列．求出SKIPIF1<0的通项再转化为累加法便可求出SKIPIF1<0类型二：形如SKIPIF1<0SKIPIF1<0型的递推式：（1）当SKIPIF1<0为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设SKIPIF1<0，通过待定系数法确定SKIPIF1<0的值，转化成以SKIPIF1<0为首项，以SKIPIF1<0为公比的等比数列SKIPIF1<0，再利用等比数列的通项公式求出SKIPIF1<0的通项整理可得SKIPIF1<0法二：当SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0时，由递推式得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两式相减得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0转化为类型Ⅴ㈠求出SKIPIF1<0，再用累加法便可求出SKIPIF1<0（2）当SKIPIF1<0为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设SKIPIF1<0，通过待定系数法确定SKIPIF1<0的值，转化成以SKIPIF1<0为首项，以SKIPIF1<0为公比的等比数列SKIPIF1<0，再利用等比数列的通项公式求出SKIPIF1<0的通项整理可得SKIPIF1<0法二：当SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0时，由递推式得：SKIPIF1<0—①，SKIPIF1<0，两边同时乘以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0—②，由①②两式相减得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，构造等比数列。法三：递推公式为SKIPIF1<0（其中p，q均为常数）或SKIPIF1<0（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，引入辅助数列SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0），得：SKIPIF1<0，再结合第一种类型。6、取倒数法：an＋1＝eq\f(pan,qan＋r)(p，q，r是常数)，可变形为eq\f(1,an＋1)＝eq\f(r,p)·eq\f(1,an)＋eq\f(q,p)要点：①若p＝r，则eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，且公差为eq\f(q,p)，可用公式求通项；②若p≠r，则转化为an＋1＝san＋t型，再利用待定系数法构造新数列求解7、三项递推构造：适用于形如SKIPIF1<0型的递推式用待定系数法，化为特殊数列SKIPIF1<0的形式求解．方法为：设SKIPIF1<0，比较系数得SKIPIF1<0，可解得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0是公比为SKIPIF1<0的等比数列，这样就化归为SKIPIF1<0型．8、不动点法（1）定义：方程SKIPIF1<0的根称为函数SKIPIF1<0的不动点．利用函数SKIPIF1<0的不动点，可将某些递推关系SKIPIF1<0所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种求数列通项的方法称为不动点法．（2）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0已知，且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是常数），=1\*GB3①当SKIPIF1<0时，数列SKIPIF1<0为等差数列；=2\*GB3②当SKIPIF1<0时，数列SKIPIF1<0为常数数列；=3\*GB3③当SKIPIF1<0时，数列SKIPIF1<0为等比数列；=4\*GB3④当SKIPIF1<0时，称SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的一阶特征方程，其根SKIPIF1<0叫做特征方程的特征根，这时数列SKIPIF1<0的通项公式为：SKIPIF1<0；（3）形如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项SKIPIF1<0，其特征方程为SKIPIF1<0（*）．（1）若方程（*）有二异根SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则可令SKIPIF1<0（SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是待定常数）；（2）若方程（*）有二重根SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则可令SKIPIF1<0（SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是待定常数）．(其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0可利用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0求得)知识点3几种数列求和的常用方法1、公式法（1）等差数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0，推导方法：倒序相加法．（2）等比数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0，推导方法：乘公比，错位相减法．（3）一些常见的数列的前n项和：①SKIPIF1<0；SKIPIF1<0②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；=4\*GB3④SKIPIF1<02、分组转化法求和（1）适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．（2）常见类型：=1\*GB3①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列；=2\*GB3②通项公式为an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列.3、并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，SKIPIF1<0．4、倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．5、裂项相消法求和：如果一个数列的通项为分式或根式的形式，且能拆成结构相同的两式之差，那么通过累加将一些正、负项相互抵消，只剩下有限的几项，从而求出该数列的前n项和．6、错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求.一、已知Sn求an的三个步骤（1）利用a1＝S1求出a1.（2）当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表达式．（3）看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化．（1）利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．（2）利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．【典例1】（2023·山东烟台·校联考三模）已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．20B．19C．18D．17【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0①，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0②，①-②得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等差数列，公差SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：B【典例2】（2023·广东广州·高三校考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0的各项均为正数，记数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，因为SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，化简得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0的等差数列.所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，经检验SKIPIF1<0也成立，所以SKIPIF1<0，对于B：SKIPIF1<0，所以B正确.对于D：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以D错误.故选：B二、累加法求通项公式形如SKIPIF1<0型的递推数列（其中SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的函数）可构造：SKIPIF1<0【典例1】（2023·全国·高三专题练习）若数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0满足上式，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式．【答案】SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，原等式两边同除以SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），各式相加得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.则SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，综上所述，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.【典例3】（2023·全国·高三专题练习）若SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的极值点，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0是首项为2，公比为3的等比数列，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0三、累乘法求通项公式形如SKIPIF1<0SKIPIF1<0型的递推数列（其中SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的函数）可构造：SKIPIF1<0【典例1】（2023秋·江西宜春·高三校考开学考试）若SKIPIF1<0，则通项公式SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0满足上式，所以SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0满足上式，所以SKIPIF1<0.四、形如SKIPIF1<0的构造法形如SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的递推式，可构造SKIPIF1<0，转化为等比数列求解．也可以与类比式SKIPIF1<0作差，由SKIPIF1<0，构造SKIPIF1<0为等比数列，然后利用叠加法求通项．【典例1】（2023春·四川泸州·高三校考开学考试）若数列SKIPIF1<0满足，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是以3为公比的等比数列，其中首项SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.【典例2】（2023·全国·高三对口高考）已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0），则数列SKIPIF1<0的通项公式为．【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0由所以SKIPIF1<0，于是数列SKIPIF1<0是以首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列，因此SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0,此式满足SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式为.【答案】SKIPIF1<0【解析】∵SKIPIF1<0，等式两侧同除SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是以2为首项，2为公比的等比数列，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.五、形如SKIPIF1<0的构造法形如SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的递推式，当SKIPIF1<0时，两边同除以SKIPIF1<0转化为关于SKIPIF1<0的等差数列；当SKIPIF1<0时，两边人可以同除以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，转化为SKIPIF1<0．【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式．【答案】SKIPIF1<0【解析】解法一：因为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；解法二：因为SKIPIF1<0，两边同时除以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）设数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0．求数列SKIPIF1<0的通项公式．【答案】SKIPIF1<0．【解析】∵SKIPIF1<0，两边同时除以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．两边同时加上SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．∴数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，六、形如SKIPIF1<0的构造法通过配凑转化为SKIPIF1<0，通过待定系数法确定SKIPIF1<0的值，转化成以SKIPIF1<0为首项，以SKIPIF1<0为公比的等比数列SKIPIF1<0，再利用等比数列的通项公式求出SKIPIF1<0的通项整理可得SKIPIF1<0【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的通项公式．【答案】SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是以3为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【典例2】（2022秋·河北保定·高三校考期中）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；【答案】SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是一个以SKIPIF1<0为首项，以2为公比的等比数列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【典例3】（2023·全国·高三专题练习）设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式为.【答案】SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0，化简后得SKIPIF1<0，与原递推式比较，对应项的系数相等，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0七、取倒数法求通项对于SKIPIF1<0，取倒数得SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，数列SKIPIF1<0是等差数列；当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可用待定系数法求解．【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公差的等差数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：A.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在数列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的通项公式为．【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，两边取倒数得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0的等差数列，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.八、裂项相消法求数列的前n项和1、用裂项法求和的裂项原则及规律（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项．2、裂项相消法中常见的裂项技巧（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）【典例1】（2023·江西景德镇·统考三模）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：D.【典例2】（2023秋·宁夏石嘴山·高三校考阶段练习）数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．97B．98C．99D．100【答案】C【解析】SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：C【典例3】（2023·四川绵阳·校考模拟预测）设数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求证数列SKIPIF1<0为等比数列，并求数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0．（2）若数列SKIPIF1<0的前m项和SKIPIF1<0，求m的值，【答案】（1）证明见解析，SKIPIF1<0；（2）7【解析】（1）因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是首项为2，公比为2的等比数列，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前m项和SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故m的值为7．九、错位相减法求数列的前n项和1、解题步骤2、注意解题“3关键”①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解．3、等差乘等比数列求和，令SKIPIF1<0，可以用错位相减法．SKIPIF1<0①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0．整理得：SKIPIF1<0．【典例1】（2023秋·福建三明·高三三明一中校考阶段练习）设SKIPIF1<0是首项为1的等比数列，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列.（1）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；（2）记SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前n项和，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【解析】（1）设SKIPIF1<0的公比为q，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，得SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【典例2】（2023秋·河南郑州·高三校考阶段练习）记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，已知SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；经检验：SKIPIF1<0满足上式，所以SKIPIF1<0的通项公式是SKIPIF1<0.（2）由（1）得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【典例3】（2023秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0.（1）证明数列SKIPIF1<0是等比数列，并求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】（1）证明见解析，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）由题意：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0是以2为首项，2为公比的等比数列，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）可得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两边同乘SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，作差得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.易错点1由SKIPIF1<0求SKIPIF1<0时忽略对“SKIPIF1<0”检验点拨：在数列问题中，数列的通项SKIPIF1<0与其前n项和SKIPIF1<0之间关系如下SKIPIF1<0，在使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数列｛SKIPIF1<0｝的SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关系时，先令SKIPIF1<0求出首项SKIPIF1<0，然后令SKIPIF1<0求出通项SKIPIF1<0，最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令SKIPIF1<0求出通项SKIPIF1<0，也不对SKIPIF1<0进行检验。【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0令SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，由①-②可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：C【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不满足上式.故SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【典例3】（2022秋·全国·高三校联考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则数列SKIP