2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-第三章 空间向量与立体几何

2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册

第三章空间向量与立体几何

(全卷满分150分,考试用时120分钟)

一、单项选择题体题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的)

1.在空间直角坐标系0-xyz中,P(2,0,-4),Q(-1,2,1),M是OP的中点,则

|QM|=()

A.V38B.—C.V17D.—

22

2.若平面a平面B,且平面a的一个法向量为好(-2,1j)，则平面B的法向

量可以是()

A.B.(2,-1,0)C.(1,2,0)D.&1,2)

3.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)//(2a—b),则()

11

A.x=-,y=lB.x=-,y=-4

1

C.x=2,y=—D.x=l,y=-l

4

4.平面a的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面a内，则点P(-

2,1,4)到平面a的距离为()

A.10B.3C.-D.-

33

5在空间直角坐标系0-xyz中，已知A(l,2,3),B(2,1,2),P(l,1,2),点Q在直线

0P上运动，当瓦•丽取得最小值时，点Q的坐标是()

A.B.

\333/\3337

C.D.

\333/\3337

6.如图，已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别是OA,CB的中点，点G

在线段MN上,且MG=3GN,用向量力I0B,左表示向量前,贝1]丽=()

K.-OA+-OB+-OC

633

^OA^OB^OC

633

C.^OA^OB^OC

844

]).^OA^OB^OC

888

7.在棱长为2的正四面体ABCD中，点M满足前=x^+y尼-(x+y-1)而，点N满

足丽=入成+(1-入)前，当AM、BN最短时-，丽•标=()

4「4八1

AA.——B.—C.——D.—

3333

8.如图，在四边形ABCD中,AB=BD=DA=2,BC=CD=V2.现将4ABD沿BD折起，当二面

角A-BD-C的大小处于旨罚范围内时,直线AB与CD所成角的余弦值的取值范围

是()

咨同B.恃啕。•暗D.[0,啕

二、多项选择题体题共4小题,每小题5分，共20分在每小题给出的选项中,有多项符合

题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)

9.已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,-2),则下列结论正确的是()

A.a+b=(10,-5,-6)B.a-b=(2,-l,-6)

C.a•b=10D.|a|=6

10.在空间直角坐标系0-xyz中，已知A(-1,2,3),B(0,-2,4),C(2,1,2),若存在一

点P,使得CP,平面0AB,则点P的坐标可能为()

A.(-12,-3,0)B.(7,2,-4)

C.(6,3,5)D.(-5,-1,1)

11.在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=2,AD=3,AA'=1,以D为原点,DA,DC,雨的方

向分别为x轴,y轴,z轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是(

A.W=(-3,-2,1)

B.异面直线A'D与BD'所成角的余弦值为等

C.平面A'C'D的一个法向量为(-2,-3,6)

D.二面角C'-A'D-D'的平面角的余弦值为,

12.在长方体ABCD-ABCD中,AB=2W,AD=AA尸2,P、Q、R分别是AB、BB1、A,C±

的动点，下列结论正确的是()

A.对于任意给定的点P,存在点Q,使得D,P±CQ

B.对于任意给定的点Q,存在点R,使得D,R±CQ

C.当ARLAC时,ARLDiR

D.当A,C=3A1R时,DR〃平面BDG

三、填空题(本题共4小题,每小题5分，共20分)

13.如图所示,在正方体ABCD-ABCD中,F是侧面CDDC的中心,若

福x而+y荏+z京,则x-y+z=.

劣D,

14.已知u=(3,a+b,a-b)(a,bwR)是直线1的方向向量,n=(l,2,3)是平面a的法

向量，若a,则a+b=.

15.如图,在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，点B到直线AC.的距离

为.

D______r

3

B,

16.将正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最

大时,异面直线AD与BC所成的角为.

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知空间中三点A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4),设

a=AB,b=Zc.

(1)若Ic|=3,且c//~BC,求向量c;

⑵已知向量ka+b与b互相垂直,求实数k的值.

18.（本小题满分12分）如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于

1,点E,F分别是AB,AD的中点，设｛a,b,c｝为空间的一组基,AB=a,AC=b,AD=c,

试用基向量法求解以下各题.

⑴求前•同的值；

⑵求异面直线CF与BD所成角的余弦值.

19.（本小题满分12分）如图所示为一个半圆柱,E为半圆弧CD上一点,CD=V5.

（1）若AD=2出,求四棱锥E-ABCD的体积的最大值；

(2)有三个条件:①4屁•DC=EC-DC;②直线AD与BE所成角的正弦值为

；；③当鬻二”•请你从中选择两个作为条件，求直线AD与平面EAB所成角的余

3smZEBA2

弦值.

20.体小题满分12分)如图，在正方体ABCD-ABCD中，E为BB.的中点.

(1)求证:BG〃平面AD,E;

⑵求直线AA.与平面ADF所成角的正弦值；

⑶求点C到平面ADE的距离.

21.(本小题满分12分)如图1,在RtAABC中，ZACB=30°,NABC=90°,D为AC的中

点,AE1BD于点E,延长AE交BC于点F,将4ABD沿BD折起,使平面ABD_L平面

BCD,如图2所示.

图1

⑴求证:AE_L平面BCD;

(2)求二面角A-DC-B的平面角的余弦值.

22.(本小题满分12分)如图，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边形ABCD所

在平面互相垂直,AF〃DE,DE1AD,AD±BE,AF=AD=|DE=1,AB=VI

(1)求二面角B-EF-D的平面角的余弦值;

⑵判断线段BE上是否存在点Q,使得平面CDQ_L平面BEF?若存在,求出警的值;

BE

若不存在,请说明理由.

答案与解析

1.C由题意得,M(l,0,-2),又Q(-

1,2,1),A|QM|=7(-1-1)2+(2-0)2+(1+2)2=V17.故选C

2.C)•平面a_L平面B,

.••平面a的法向量与平面B的法向量垂直，即它们的数量积为0.

对于A.（-1弓,{）•92,1,%2+}#0,故A错误；同理C正确,B,D错误.

3.B由题意可得,a+2b=（l+2x,4,4-y）,2a-b=（2-x,3,-2y-2）.

V(a+2b)//(2a-b),

.,.3入£R，使a+2b=、(2a-b),

1+2x=A(2-x),

得4=3A,解得＜％=1故选B.

A-y=A(-2y-2),2'

=一4,

4.D由题意得刀2,4）,则点P到平面a的距离

•乔|」2X(：l)+(-2)X(-2)+lX4|_10

.故选D.

\n\J(-2)2+(-2)2+123

5.D设的=入而（入£R）,则Q（入，入，2人）,

.•面•丽=（1-入，2-入，3-2入）•（2-入，1-入，2-2人）

=(1-X)(2-入)+(2_入)(1一入)+(3-2人)(2_2人)

=6入2—16入+10=6(九§2一|,

/.当入号时,QA•而取得最小值,此时点Q的坐标为(1A

故选D.

6.DOG=OM+MG=OM+-MN=OM+-(MO+OC+CN)

44

J0M+-0C+-CN=-XA07+-OC+-X^CB

44442442

=-0A+-0C+-(OB-OC)=-0A+-0B+-OC.

848888

故选D.

7.A由共面向量定理和共线向量定理可知,M金平面BCD,N£直线AC,当AM、BN

最短时,AM,平面BCD,BN_LAC,

所以M为ABCD的中心,N为AC的中点，

此时,2|证|一.2-竽,

:AM,平面BCD,MCu平面BCD,

Z.AMIMC,

^\AC\2-\MC\

\'MA\=2

2

22_(钓号

又丽三(流+雨)，

：.AM•丽三(丽•MC+AM•MA)

=-1|MA12=-1.故选A.

8.D在四边形ABCD中，连接AC,交BD于点0,如图①所示:

VAB=BD=DA=2,BC=CD=V2,

AC垂直平分BD,

：.\0=y/AB2-BO2=y/3,C0=V5C2-BO2=l.

翻折后如图②所示,BD±AO,BD±CO,

...二面角A-BD-C的平面角为NAOC,设NA0C=。，贝!j0^1,

.66.

以0为坐标原点,OC,0D所在直线分别为X轴、y轴建立如图所示的空间直角坐

标系,

则A(V5cos0,0,代sin9),B(0,-1,0),C(l,0,0),D(0,1,0),

.*.AB=(-V3cos9,-l,-V3sin9),CD=(-1,1,0),

V^cos^-l

cos<AB,CD>=-AB•CD

\AB\\CD\2V2

A|cos<^,CD>|e[o,^].故选D.

9.AD因为a=(4,-2,—4),b=(6,-3,-2),

所以a+b=(10,-5,-6),a-b=(-2,1,-2),a•b=4X6+(-2)X(-3)+(-4)X(-

2)=38,|aI力42+(—2尸+(—4产6.故选AD.

10.AD设P(x,y,z),则而=(x-2,y-1,z-2),OA=(-1,2,3),OB=(0,-2,4),

若CPJ_平面OAB,贝ijCP10A,CP±OB,即而•雨=0,CP•OB=0,

斫以(CP,OA=—(x-2)+2(y-l)+3(z-2)=0,„J-x+2y+3z-6=0,

物[cP•OB=-2(y-l)+4(z-2)=0,112y+4z-6=0,

只有A,D项满足该方程组,故选AD.

11.ACD由题意可得D(0,0,0),B(3,2,0),D'(0,0,1),A'(3,0,1),C'(0,2,1),则

^=(-3,-2,1),57=(3,0,l),DC=(0,2,1),可知A正确.

滔KK?、DA'•BD'-8-4A/35

COS<DA,BD>=―>―>-二「i—二----------,

|。4||町V1OXA/I435

所以异面直线A'D与BD'所成角的余弦值为个胃,故B不正确.

设平面A'C'D的一个法向量为n=(x,y,z),

n,DA'=0,3x+z=0,

则所以｛

n•DC=0,2y+z=0,

取z=6,得n=(-2,-3,6),故C正确.

易知平面A'DD'的一个法向量为m=(0,1,0),

则c"m＞湍汨，

易知二面角C'-A'D-D'的平面角为锐角，故其余弦值为意故D正确.

故选ACD.

12.ABD如图所示，建立空间直角坐标系,

则

A⑵0,0),B(2,2g,0),C(0,2^3,0),D(0,0,0),At(2,0,2),G(0,2百,2),。(0,0,

2).

设P(2,a,0),aQ[0,2V3],Q(2,2^3,b),be[0,2],

易知碇=(-2,28,-2).

设R(xbybzi),^R=入碇，入£[0,1],即(x[2,y„z「2)=人(-2,2遮,一2),

贝！JR(2-2入，28入，2-2人)，

易得万了=(2,a,-2),CQ=(2,0,b),则印•CQ=4~2b,当b=2时,D(P±CQ,A正确;

^R=(2-2X,2V3X,-2X),,\-CQ=2(2-2X)-2Xb,由DR_LCQ得辛•

CQ=0,即4-4X-2Xb=0,得人=喜，

•.•0WbW2,

1,即工W入Wl,

22+b2

故当]W入时,存在点R使得D,R1CQ,B正确；

AR=(-2X,2V3X,2-2X).

若人区，人。贝!)族・不二(一2入，28人，2—2人)・(-2,2V3,-2)=4X+12X-4+4X=0,

解得人

止匕时AR-D^R=/22V38\82732=­W0,C错误;

5/5)广5

•.•A£=3AR，R42V34

3'3'3.

，DiR=42V32

3’3‘3.

设平面BDC,的一个法向量为n=(x,y,z),BD=(-2,-2g,0),鬲=(0,2疯2),则

n,BD=0,C-2x-2V3y=0,

n•DC；=0,'(2V3y+2z=0,

令y=-l,贝ijx=z=V3,/.n=(V3,-1,V3),

...DiR•n=0,，D]R〃平面BDCbD正确.

故选ABD.

13.答案1

解析AF=AD+DF=AD+^(DDi+DC)=AD+^(AA^+AB)=AD+^AB+^AAl，故

X=l,y=-1,z=-1,则x-y+z=l.

14.答案6

解析Vl±a,,«.n//u,,-,a+b=6.

15.答案f

解析以D,为坐标原点,DA,DC,D,D所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所

示的空间直角坐标系，则A(1,O,1,1),G(O,1,0),••.南=(0,1,0),温=(-

1,t-1),

取a=^=(0,l,0),u=焉孚-1,1,-1)=(《，今一多,

贝！Ja2=l,a,u=?

/.点B到直线AC.的距离为Ja2一色,划2=',智

16.答案

解析根据题意可知，当VAABC最大时，平面DAC_L平面ABC,

设AC的中点为0,连接OB,0D,建立空间直角坐标系,如图所示.

令令=0C=0D=l,则A(0,-l,0),D(0,0,l),B(l,0,0),C(0,1,0),

所以而二(0,1,1),近=(-1,1,0),

AD•~BC11

因止匕cos<AD,BC>=-

\AD\\BC\V2xV22'

所以异面直线AD与BC所成的角为今

17.解析A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4),

，a=AB=b=Zc=(l,0,-2),BC=(2,1,-2).(3分)

(l)；c〃前，可设c=m或(m£R),

c=mBC=m(2,1,-2)=(2m,m,-2m),

|c|=7(2m)2+m2+(-2m)2=3|m=3,/.m=±1,(5分)

.•.c=(2,1,-2)或c=(—2,T,2).(7分)

(2)ka+b=k(-1,-1,0)+(1,0,-2)=(l-k,-k,-2),(8分)

,向量ka+b与b互相垂直,

(ka+b),b=l-k+4=0,解得k=5.(10分)

18.解析由题意得|a|=|b|=|c|=l,<a,b>=〈b,c>=<c,a>=60°,

故a,b=b,c=c,a=lXIXcos60°=|.(3分)

(1)VEF=1fiD=|®-^)=|(c-a),

/.EF-AJB=-(c-a)•a=-c.a--a2=-X(6分)

2222224

(2)由题意可知而加+据而-而=衿瓦BD=AD-AB=c-a.

/.CF•丽=(；c-b)•(c-a)=1c2-b,c-1a•c+a•b

(9分)

22424

记异面直线CF与BD所成的角为e,

V|^D|=1,Acos0==4—•

2|CF||BD|V36

2

因此异面直线CF与BD所成角的余弦值为”.(12分)

19.解析⑴在平面EDC内作EF±CD于点F,因为平面ABCD,平面EDC,平面

ABCDG平面EDC=DC,所以EF_L平面ABCD.(2分)

因为E为半圆弧CD上一点,所以CE±ED,

=

所以VE-ABCD-•S四边形ABCD•EF=-XV5X2V5X・CE•ED,（4分）

JJ（-<LrD

因为CE2+ED2=CD2=5,

所以4AKW2X空坦之空X包吧

32323

当且仅当CE=ED』?时,等号成立，

所以四棱锥E-ABCD的体积的最大值为卓.（6分）

fi:

AG

⑵由条件①,得4|反||觉|cosNCDE=|既||而IcosNDCE,即4DE2=CE2,

所以2DE=CE,又因为DE2+CE2=5,所以DE=1,CE=2.

由条件②,得因为AD/7BC,BC_L平面DCE,所以NCBE为直线AD与BE所成角，且

sinZCBE=^=—,—=tanZCBE=—.

3BEBC5

由条件③，得列W詈詈¥，设AD=x,则头券1.

若选条件①②,则DE=1,CE=2,且登=tanNCBE多,所以AD=BC=V5.

BC5

若选条件①③,则DE=1,CE=2,且三嚅片,所以AD=BC=«.

若选条件②③,则竺=tanNCBE=*,且警DE2+CE2=5,

x5xz+DE22

所以AD=BC=V5.

即从①②③任选两个作为条件,都可以得到AD=BC=V5,（9分）

下面求AD与平面EAB所成角的正弦值.

以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为z轴,过点A且与AB垂直的直线

为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系，则

所以於（Y，?，灼，屈=（倔0,0）,而=（0,0,遍）,

设平面EAB的一个法向量为m=（x,y,z）,

即段x+等y+快=。，

（V5x=0,

令z=l,则x=0,y=-|,所以m=（o,-|,l）,（10分）

所以cos<AD,m>=—（11分）

通X皇29

因为直线AD与平面EAB所成角音-<而,m>,

所以直线AD与平面EAB所成角的余弦值为察.（12分）

29

20.解析⑴证明：AB〃CD,且AB=CD,...四边形ABCD为平行四边

形，.-.BC./ZADH（2分）

•.•BCQ平面ADE,ADq平面ADE,

...BG〃平面ADE（4分）

（2）以A为原点,AD,AB,AAi所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空

间直角坐标系,

y

X

设正方体的棱长为2,则

A(0,0,0),A.(0,0,2),口⑵0,2),E(0,2,1),可=(0,0,2),砧=⑵0,2),AE=(0

,2,1).(6分)

设平面AD.E的一个法向量为n=(x,y,z),则卜."i=2x+2z=°,

(九•AE=2y+z=0,

令z=2,则x=-2,y=T,，n=(-2,T,2).(8分)

设直线AAi与平面ALE所成的角为0,

则sin0=|cos<n,力力；〉|=?i'^2.1=14—

1InllAAtllIV4+1+4X23

故直线AAl与平面ADiE所成角的正弦值为|.(10分)

(3)由⑵知,平面ADF的法向量为n=(-2,-l,2),C(2,2,0),

则m=(2,2,0),(11分)

点C到平面AD.E的距离d=曾=—=2.(12分)

21.解析(1)证明：\•平面ABD,平面BCD,平面ABDA平面BCD=BD,AE±BD,AEu

平面ABD,.・・AE_L平面BCD.(3分)

(2)•・・AE_L平面BCD,EFc平面BCD,/.AE±EF.(4分)

由题意知EF±BD,AE±BD,

如凰以E为坐标原点,EF,ED,EA所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐

标系E-xyz,

设设=2,则BD=DC=AD=2,BE=ED=1,

.,.AE=V3,BC=2V3,EF=y,(5分)

则E