2023人教版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-131 空间直角坐标系

2023人教版新教材高中数学选择性必修第一册

1.3空间向量及其运算的坐标表示

1.3.1空间直角坐标系

1.3.2空间向量运算的坐标表示

基础过关练

题组一空间向量的坐标表示

1.(多选)(2022黑龙江齐齐哈尔八中期中)下列命题正确的是()

A.点(1,-2,3)关于平面Ozx的对称点为(1,2,3)

B.点出1,-3)关于y轴的对称点为G，L3)

C点(2,-1,3)到平面Oyz的距离为1

D.设i,j,k分别是x,y,z轴上的单位向量,若m=3i-2j+4k,则m=(3,-2,4)

2.(2022黑龙江绥化肇东四中期中)已知点A(l,1,-3妥B⑶1,-1),则线段AB的中

点M关于平面Oyz对称的点的坐标为()

A.(-2,1,-2)B.(2,1,-2)

C.(2,-1,-2)D.(2,1,2)

3.如图是一个正方体截下的一角P-ABC,其中PA=a,PB=b,PC=c.建立如图所示的空

间直角坐标系,则4ABC的重心G的坐标是_______.

题组二空间向量运算的坐标表示

4.(2021辽宁辽阳检测)若向量a=(2,0,-1),b=(0,1,-2),则2a-b=()

A.(-4,1,0)B.(-4,1,-4)

C.(4,-1,0)D.(4,-1,-4)

5.(2022河北任丘第一中学月考)设。为坐标原点，M⑸-1,2),A(4,2-1),若

加二荏，则点B的坐标为()

A.(-1,3,-3)B.(9,1,1)

C.(1,-3,3)D.(-9,-1,-1)

6.(2022河北石家庄第四中学月考)已知点A,B,C,D的坐标分别为

(0,1,2),(1,2,3),(1,3,1),(x,5,3),且A,B,C,D四点共面,则x=.

7.(2021天津静海检测)若向量a=(l,l,2),b=(l,2,l),c=(l,l,l),则

(c-a).2b=.

题组三利用空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题

8.(2020浙江台州期末)已知A(l,5,-2),B(2,4,l),C(a,3,b+2)三点在同一条直线

上,那么()

A.a=3,b--3B.a=6,b=-l

C.a=3,b-2D.a=~2,b=l

9.(多选)(2022河北部分名校期中)已知a=(l,-1,1)是直线的一个方向向

量,b<2,2,-2)是直线12的一个方向向量,则下列说法不正确的是()

A.a•b=(；2,-2,-2)

B.1八

C.11±12

D.直线11,12夹角的余弦值为，

10.在AABC中，NC=90。，A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则k=()

A.VToB.-VTO

C.2V5D.±V10

11.已知Ul=(l,2,3),赤(2,入，3),沆=(4,2,k),若OAL平面ABC,贝!)1+k的值

是()

4377

A.-B.-C.-D.-

3242

12.(2022天津河东期中)已知前=(-2,3,5),AC=(4,l,a),AD=(6,

b,-2).

⑴若四边形ABCD为平行四边形,求实数a,b的值；

(2)若四边形ABCD的对角线互相垂直,求实数a,b满足的关系式.

题组四利用空间向量的坐标运算求夹角和模

13.(2022河北沧州东光第一中学月考)已知向量a=(l,2,3),|c=V14,若a-c=-7,

则a与c的夹角为()

A.30°B,60°C.120°D.150°

14.若AABC的三个顶点分别为A(0,0,V2),V2),

C(-1。夜)，则角A的大小为.

15.(2022重庆万州第二高级中学月考)已知点A(l,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若

AP=2PB,贝！J|丽=.

16.已知点A(0,1,2),B(1,—1,3),C(1,5,-L).

⑴若D为线段BC的中点,求线段AD的长；

⑵若而=(2,a,1),且荏«而=1,求a的值，并求此时向量荏与刀夹角的余弦

值.

17.已知正三棱柱ABC-AiBC中，AB=2,AB」BCi,点0,01分别是边AC,AC的中点,

建立如图所示的空间直角坐标系.

(1)求正三棱柱的侧棱长;

(2)求异面直线AB】与BC所成角的余弦值.

4

G

y

X

能力提升练

题组一空间向量的坐标运算

1.(2021山东师范大学附属中学月考)已知a=(l,2,2),b=(-2,1,1),则向量b在a

上的投影向量为()

44244

A--B

9-9-9-9-9-

21121

--D-

33-3-3-3-

2.(2022广东深圳宝安第一外国语学校月考)已知0为坐标原点，向量

a=(1,2,3),丽=(2,1,2),而=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当训•砺取得

最小值时，点Q的坐标为()

13134

---B/-1--

24323

\2

4847

/-4--/-4--

V333V333

3.(2022河南濮阳范县一中月考)已知向量2=(1,1,0)/=(-1,0,2),若向量a+kb

与2a+b所成角为锐角，则实数k的取值范围为.

题组二空间向量的平行和垂直问题

4.(2022福建A佳大联考)已知空间向量m=(-1,x,2),n=(l,3,y)

(x>0,y〉0),若则xy的最大值是()

1

V6一

-

66

c—12

5.（2021江西新余一中、宜春一中联考）如图所示，在正方体ABCD-ABCD中,0是

底面正方形ABCD的中心,M是DiD的中点,N是AB的中点,则直线NO,AM的位置关

系是（）

A.平行B.相交

C.异面垂直D.异面不垂直

6.（2022广东东莞四中期中）已知棱长为1的正方体ABCD-ABCD中,M为BC的中

点,N为侧面DCCD内的动点（包括边界），若MNLAiC,则三棱锥N-AAJ3的体积的最

小值为（）

A•得

7.（多选）（2020海南海口海南中学月考）如图所示,正方体ABCD-ABCD中,AB=1,

点P在侧面BCCB上运动,并且总是保持APLBDi,则以下结论正确的是（）

1

A.Vp-AA^二3B.点P必在线段BiC上

C.APXBCiD.AP〃平面AiCiD

题组三空间向量的夹角和模问题

8.（2022河南中原名校联考）如图,在三棱锥P-ABC中，ZXABC为等边三角形,APAC

为等腰直角三角形,PA=PC=4,平面PAC_L平面ABC,D为AB的中点，则异面直线AC

与PD所成角的余弦值为（

P

9.（2020四川内江三模）如图所示的几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体

底面直径BC=4,AB=AC,ZBAC=90°,D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB1所成

角的余弦值为|,则该几何体的体积为（）

A

A.16+8JiB.32+16Ji

C.32+8nD.16+16Ji

10.（2022山东省实验中学月考）在直三棱柱ABC-ARG

中，NBACg,AB=AC=AA1=1,G,E分别为AB,CG的中点,D,F分别为线段AC,AB上的

动点（不包括端点），若GDXEF,则线段DF的长度的取值范围为（）

A・偿，1）B.怜1]

C.呼,1）D.[等,1）

11.（2020山西太原第五中学月考）如图，以棱长为1的正方体的三条共顶点的棱

所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在线段AB上,点Q在线段DC

上.

⑴当PB=2AP,且点P关于y轴的对称点为M时，求|PM|;

⑵当点P是AB的中点，点Q在DC上运动时，探究|PQ|的最小值.

答案全解全析

基础过关练

1.ABD根据“关于谁对称谁不变”知A,B正确；（2,-1,3）到平面Oyz的距离为

2,，C错误;根据空间向量坐标的定义知D正确.

2.A由题意得M（2,1,-2）,.,.点M关于平面Oyz对称的点的坐标为（-2,1,-2）.故

选A.

3.答案《，!，()

解析由题意知A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c).由重心坐标公式得点G的坐标为

13，3，37,

4.C因为向量a《2,0,-1),所以2a=(4,0,-2),又向量b=(0,1,-2),所以

2a-b=(4,0,-2)-(0,1,-2)=(4,-1,0).故选C.

5.B设B(x,y,z),由加二通得(5,-1,2)=(x-4,y-2,z+1),

x-4=5,(x=9,

Ay-2=-1,：.\y=1,••.点B的坐标为(9,1,1).

.z+1=2,(z=1.

6.答案3

解析由A,B,C,D四点共面，知三人，u£R,使得荏二入方+口布,

又费=(1,1,1),前二(1,2,-1),而=(x,4,1),

X+X[i=1,(X3；

故2A+4/z=1,解得-2,

-A+[1=1,g.

7.答案-2

解析易得c-a=(0,0,-1),2b=(2,4,2),A(c-a)-2b=0+0-2=-2.

8.C易得丽二(1,T,3),前=(a-l,-2,b+4),

,乐与前共线,.•.正入福

(a-l,~2,b+4)=(入，一入，3人)，

a-l=A,fa=3,

•,>-2=-2,解得b=2,故选C.

力+4=3A,(.2=2.

9.ABCa•b=lX2+(-1)X2+1X(-2)=-2,所以A中说法不正确；

(1=22,

设a=入b,则(1,T,1)=入(2,2,-2),即-1=2九无解,所以B中说法不正确;

.1=~2A,

因为a•b=-2#0,所以li与L不垂直,所以C中说法不正确；

cos<a,b>|=2=|,所以D中说法正确.

V3X2V33

故选ABC.

10.D由题意得而=(-6,1,2k),CA=(-3,2,-k).

VZC=90°,CB•?1=-6X(-3)+lX2+2kX(-k)=-2k2+20=0,.*^=±710.故选

D.

11.D易得荏=(1,入-2,0),就=(3,0,k-3).

若0AJ_平面ABC,^\\OA±AB,OA±AC,

即反•四二1+2(入-2)=0,a•芯=3+3(k-3)=0,所以人=|,k=2,故人+k=(.故选

D.

12.解析⑴因为屈=(-2,3,5),AC=(4,1,a),且「月,所以南,而不共线.

41

由四边形ABCD为平行四边形,知前=荏+前，

所以(4,l,a)=(-2,3,5)+(6,b,-2),

所以a=3,b=—2.

(2)由题意得前二通-前二(8,b-3,-7).

因为四边形ABCD的对角线互相垂直，所以前•AC=0,即32+b-3-7a=0,亦即

7a-b-29=0.

13.C|a|=，12+22+32=04所以cos〈a,6=$巳=」,

a||c|2

所以〈a,c〉=120°.

14.答案30°

解析由题意知而=(-*|,0),就=(-1,0,0),所以\AB\=1,\AC\=1,所以

—>—>叵！-

C°SA=3年二日喙故角人的大小为3。。•

15.答案?

解析设P(x,y,z),则族=(x-1,y-2,zT),~PB=(T-x,3-y,4-z).

由据2方,得(x-1,y-2,z-l)=2(-1-x,3-y,4-z),

/-X="Py=?z』葭3)

故而=Ci，-2)，，F=¥

16.解析⑴由题意得D(l,2,1),.•.通=(1,1,-1),

AD|=V1+1+1=V3,即线段AD的长为百.

(2)易矢口通=(1,一2,1),.•.南•荷=2-2a+l=l,解得a=l,

：.AD=(2,1,1).

cos<M而>=

\AB\\AD\V6XV66

即向量荏与而夹角的余弦值为士

6

17.解析(1)设正三棱柱的侧棱长为h.

由题意得A(0,-1,O),B(g,0,0),C(0,l,O),Bi(g,O,h),G(O,l,h),则

砧二(g,l,h),跖=(Sl,h).因为AB」BCi,所以福•BQ=-3+l+h=0,所以

h=&(负值舍去).故正三棱柱的侧棱长为VI

⑵由(1)可知砧=(旧,1,虎),1,0),

所以福•就=-3+1=-2,|AB7l=V6,|就|二2,

所以cos〈福,

2V66

所以异面直线AB】与BC所成角的余弦值为粤.

6

能力提升练

l.BVa=(l,2,2),b=(-2,1,1),

.*.a•b=lX(-2)+2Xl+2Xl=2,

向量a方向上的单位向量e=£=G，|,|),

\a\\333/

•••向量b在a上的投影向量为审6=花，2,勺.故选B.

Ia|3\333/\999/

2.C因为点Q在直线0P上运动,所以加〃市.

设丽=t而，则Q(t,t,2t),

所以训=(1-1,2-t,3-2t),QB=(2-t,1-t,2-2t),

所以碗•QB=(l-t)(2-t)+(2-t)(l-t)+(3-2t)(2-2t)=6t-16t+10

2

=6(t-|)-|,故当时，(诃•Q5)min=-|,止匕时Q《，I，I).故选C.

3.答案｛k区>-1且女工?

解析易得a+kb=(l-k,1,2k),2a+b=(l,2,2).

由题意得(a+kb),(2a+b)>0且a+kb,2a+b不共线，

l-k+2+4k>0,且甘［子不成立,

解得k>-l且k#|,

•••实数k的取值范围为｛々|k>-1且kH

4.D由题意得m±n=-lXl+3x+2y-0,即3x+2y=l.

因为x>0,y>0,所以l=3x+2y，2j3%X2y,角军得xyW(，当且仅当3x=2y=；,即

x=gy=；时取等号.故选D.

64

5.C建立空间直角坐标系，如图所示.设正方体的棱长为2,则

A(2,0,0),M(0,0,1),0(1,1,0),N(2,1,2),而=(-1,0,-2),AM=(-2,0,1).V

而«俞=0,.•.直线NO,AM的位置关系是异面垂直.故选C.

6.B以D为坐标原点,DA,DC,DDi所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐

标系，则4(1,0,1),C(0,1,0),，1,0).

设N(0,a,b),OWaWl,OWbW1,•,•布=(-1,1,T),而=(6,aT,b).

VMN±A1C,：.^4N・J^C=|+a-l-b=O,即a-b=1,

易知点N到平面AAxD的距离为其纵坐标的绝对

a=

值，，KV-AAID=],S"A]D*ll-|a|-

•二祗故选B.

7.BDP在侧面BCCB上运动，平面BCCiBi〃平面AADD,，P到平面AADD的距

离即为C到平面AADD的距离，即为正方体的棱

长，.•.I/P_4AID=1SA44ID*CD=|X|X1X1X1=：,故A中结论错误.

以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(1,O,O),P(x,l,z)(OWxWl,OWzWl),B(l,l,O),Di(O,0,1),

B^l,1,l),C(0,1,0),.,.IP=(x-l,l,z),W=(-l>-hD,^C=(-l,0,-l).

VAPXBDj,：.AP・西=l—xT+z=0,.\x=z,

.*.P(x,1,x),.•.济(x,0,x),：.CP=~xB^C,即Bi,P,C三点共线，，P必在线段BiC

上，故B中结论正确.

易知Ci(0,1,1),•••跖=(-1,0,1),又据(X-1,l,x),

：.AP•BQ=l-x+x=l,AAP与BG不垂直,故C中结论错误.

易知4(1,0,l),D(0,0,0),J病=(-1,1,0),两=(1,0,1),又

IP=(x-l,1,x),.,.正x两+1^(其中OWxWl),两,4c共面,又APQ平

面ACD,，AP〃平面ACD,故D中结论正确.故选BD.

8.B取AC的中点0,连接OP,0B.

VPA=PC,.*.AC±OP.

平面PAC平面ABC,平面PACA平面ABC=AC,

.•.OP,平面ABC.

VAB=BC,.*.AC±OB.

以0为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,

「△PAC是等腰直角三角形,PA=PC=4,AABC为等边三角形，

.*.A(2V2,0,0),C(-2V2,0,0),P(0,0,2V2),D(V2,V6,0),

.=(-4V2,0,0),~PD=(V2,V6,-2V2),

COS〈前,而Y-二-丝