2021-2022学年数学苏教版必修第二册学案：第3课时 直线与平面垂直的判定

第3课时直线与平面垂直的判定

课程I.r解直线与平而垂直的定义及几何表示

标准2.掌握立线。平向垂直的判定定理

【概念认知】

1.直线与平面垂直

⑴定义：如果直线a与平面a内的任意一条直线都垂直，那么称直线

a与平面a垂直，记作a，a.直线a叫作平面a的垂线,平面a叫作

直线a的垂面.垂线和平面的交点称为垂足.

⑵画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如

图：

2.直线与平面垂直的判定定理

文字如果一条宜线与一个平面内的两条相交直线垂

唐肃立.那么该宜线与此平面垂直

a

图形

唐言

符号语言

【自我小测】

1.直线/J■平面a,直线mua，则/与m不可能（）

A.平行B.相交

C.异面D.垂直

选A.由直线与平面垂直的定义可知，/_Lm,/与m可能相交或异面,

但不可能平行.

2.若三条直线0A,OB,OC两两垂直，则直线OA垂直于（）

A.平面OABB.平面OAC

C.平面OBCD.平面ABC

选C.因为OA±OB,OA±OC,OBAOC=O,OB,OCu平面OBC,

所以OA_L平面OBC.

3.如图，BC是RtABAC的斜边，PA_L平面ABC,PD±BC于点D,

则图中直角三角形的个数是（）

Pi

A.3B.5C.6D.8

选D.由PA_L平面ABC，知△PAC,△PAD,△PAB均为直角三角形,

XPD1BC,PA±BC,PAAPD=P，所以BCJ_平面PAD.所以AD^BC,

易知△ADC,△ADB,△PDC,△PDB均为直角三角形.又^BAC

为直角三角形，所以共有8个直角三角形.

4.空间中直线/和三角形的两边AC,BC同时垂直，则这条直线和

三角形的第三边AB的位置关系是________.

因为Z±AC,/±BC,且ACPBC=C,

所以平面ABC,

又因为ABu平面ABC,所以Z±AB.

答案：垂直

5.在四面体P-ABC中，PA,PB,PC两两垂直.设PA=PB=PC=

3，则点P到平面ABC的距离为.

因为PA,PB,PC两两垂直,而PAAPB=P，故PC,平面PAB,

19199

XSAPAB=2X3x3=],VC-PAB=3x3x]=-.

又RtAPAB中，PA=PB=3,故AB=35,同理AC=BC=3-72,

故4ABC为等边三角形，故SAABC=乎x(3媳¥=竽，

故VP-CAB=|xXd,其中d为点P到平面ABC的距离，

因为VP.CAB=VC.PAB,故;xxd=|，故d=小.

答案：小

6.如图所示，正方体ABCD-AiBiGDi的棱长为1,线段BQi上有

两个动点E,F,且EF=；,则下列结论中正确的序号是________.

①AC_LBE；

②EF〃平面ABCD；

③三棱锥A-BEF的体积为定值；

©△AEF的面积与^BEF的面积相等.

对于①，由题意及图形知，AC,平面DDiBiB,故可得出AC±BE,

故①正确；

对于②，由于正方体ABCD-AiBiCDi的两个底面平行，EF在其一面

上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF〃平面ABCD,故②正

确；

对于③，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A

点到平面DD.BiB的距离等于AC的一半，故可得三棱锥A-BEF的

体积为定值，故③正确；

对于④，由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不

相等，故^AEF的面积与^BEF的面积不相等，故④错误.

答案：①②③

7如图,PA_L平面ABCD底面ABCD为矩形AE±PB于EAF_LPC

于F.

P

⑴求证：PC，平面AEF；

(2)设平面AEF交PD于G,求证：AG_LPD.

【证明】(1)因为PA_L平面ABCD,BCu平面ABCD,所以PA±BC.

又ABJ_BC,PAPAB=A,

所以BC平面PAB，因为AEu平面PAB所以AE_LBC.又AE±PB,

PBABC=B所以AE_L平面PBC，因为PCu平面PBC所以AE_LPC.

又因为PC±AF,AEAAF=A,所以PC_L平面AEF.

(2)由⑴知PC_L平面AEF，所以PC±AG，因为CD，平面PAD,AGu

平面PAD,

所以CD_LAG,PCnCD=C,所以AG，平面PCD,PDu平面PCD,

所以AG±PD.

》学情诊断•课时测评《

【基础全面练】

一、单选题

1,已知直线a,b和平面a,下列推理中错误的是()

a_La,

=a_Lb

bua

a〃b,

a_La

a±b,

=a〃a或aua

b±a.

a〃a,

na〃b

b〃a

选D.当a〃a,b〃a时，a与b可能平行，也可能相交或异面，即D

推理错误.

2.在正方体ABCD-A.BiCjDi中,E为棱CJ的中点，则()

A.AE±CCiB.AE±B,D1

C.AE±BCD.AE±CD

选B.如图所示.

连接AC,BD,因为ABCD-ABCD是正方体,

所以四边形ABCD是正方形，AC±BD,CE_L平面ABCD,所以

BD±CE,而ACnCE=C,

故BD_L平面ACE,因为BD〃BQi,故BQi_L平面ACE,故

BiDi±AE.

3.垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是()

A.垂直B.相交但不垂直

C.平行D.不确定

选A.因为梯形两腰所在直线为两条相交直线，所以由线面垂直的判

定定理知，直线与平面垂直.

4.直线/与平面a内的无数条直线垂直，则直线I与平面a的关系是

()

A.I和平面a相互平行B.I和平面a相互垂直

C./在平面a内D.不能确定

选D.如图所示，直线/和平面a相互平行，直线/和平面a相互垂直

或直线/在平面a内都有可能.故选D.

5.（2021.南京高一检测）如图所示，PAJ_平面ABC,NACB=90。,

EF〃PA，且CE与AB不垂直，则图中直角三角形的个数是（）

A.3B.4C.5D.6

选D.因为NACB=90。，所以△ACB是直角三角形.

由PA_L平面ABC,得PA_LAB,PA±AC,PA±BC,所以△PAB,

△PAC是直角三角形.

又BC_LAC,ACPPA=A,

所以BC_L平面PAC,所以BC±PC,所以△PCB是直角三角形.

因为EF/7PA,PA_L平面ABC,所以EF_L平面ABC,所以EF1BE,

EF1EC,

所以△BEF,△FEC是直角三角形，

所以△PAB,△PAC,△ACB,△PCB,△FEC,△BEF均为直角三

角形，共6个.

二、多选题

6.ABCD-ABCD为正方体，下列结论正确的是（）

A.BD〃平面CBQiB.ACilBD

C.A”平面CBiDiD.AC」BDi

选ABC.在正方体中BD/7B1D）,可知选项A正确；由BD±AC,

BDLCG可得BD_L平面ACG,从而BDLAG,即选项B正确；

由以上可得AC]_LBQ],同理ACiLDC,

因此AGJL平面CBD,即选项C正确；

由于四边形ABCQi不是菱形，所以AG_LBDi不正确.

7.（2021•永州高一检测）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是

正方形，PA,平面ABCD,PA=AB,点E为PA的中点，则下列判

断正确的是（）

A.PB与CD所成的角为60°

B.BDJ_平面PAC

C.PC〃平面BDE

D.VBCDE:VPABCD=1：4

选BCD对A,因为底面ABCD是正方形,

所以AB〃CD,则NPBA即为PB与CD所成的角，因为PA，平面

ABCD,

所以PA1AB,因为PA=AB,所以NPBA=45°,故A错误；

对B,连接AC,因为底面ABCD是正方形，

所以BD±AC,因为PAd_平面ABCD,BDu平面ABCD,所以

PA1BD,因为PAAAC=A,

所以BD_L平面PAC,故B正确；

对C,设BDnAC=O,连接OE,则。是AC中点，又点E为PA的

中点，所以PC/7OE，因为OEu平面BDE,PCd平面BDE，所以PC//

平面BDE,故C正确；

对D,因为VBCDE=VEBCD=SABCD,EA,VPABCD

=SABCD-PA=X2SABCDX2EA=4VB-CDE,

所以VBCDE:VPABCD=1：4,故D正确.

三、填空题

8.下列语句中正确的是.（填序号）

①/_Lan/与a相交；

②mua,nua,/±m,/J_nn/J_a；

③/〃m,m〃n,/J_a=n_l_a.

①正确，由线面垂直的定义可知；②不正确，没有明确直线m,n的

情况；③正确，因为l//m,m〃n,所以///n,又Z±a,所以n±a.

答案：①③

9.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况：

①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两

条边.

能判定直线与此平面垂直的有.

由线面垂直的判定定理可知①③能判定，而②中线面可能平行、相交、

还可能线在平面内，④中由于正六边形的两边可能平行，所以也无法

判定线面垂直.

答案：①③

四、解答题

10.如图所示，在三棱柱ABC-AiBiCi中，侧棱AA」底面ABC,

AB=AC=1,AAi=2,NB|AiG=90。，D为BB］的中点.求证：

AD_L平面AiDCi.

【证明】因为AA」底面ABC,平面A1B1G〃平面ABC,

所以AAi_L平面ABC-显然AiGu平面A1BC1,所以AC」AAi.

又NB|AQ=90°，所以A£」AB,而AiB£AA尸A1，所以A©_L

平面AAiB]B,ADu平面AA[B]B，所以AC】J_AD.由已知计算得AD

=yj2,AiD=V2,AAi=2.所以AD?+AQ2=AA；,

所以A】D_LAD.

因为AiGnAQ=A],

所以AD_L平面AiDG.

11.如图，在四棱锥S-ABCD中，AB〃CD,BC±CD，侧面SAB为

等边三角形，AB=BC=2,CD=SD=1.求证：SD,平面SAB.

【证明】因为AB〃CD,BC±CD,AB=BC=2,CD=1,所以底面

ABCD为直角梯形，

AD=q(2-1)2+22二书.

因为侧面SAB为等边三角形,

所以SA=SB=AB=2.

又SD=1,所以AD2=SA2+SD2,所以SD±SA.

连接BD,则BD=[22+y=木,

所以BD2=SD2+SB2,

所以SD±SB.

又SAASB=S,

所以SD_L平面SAB.

【综合突破练】

一、选择题

1.空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC,BD的关系

是（）

A.垂直且相交

B.相交但不一定垂直

C.垂直但不相交

D.不垂直也不相交

选C.取BD中点O,连接AO,CO,则BD±AO,BD±CO,所以

BD_L平面AOC,BD1AC，又BD,AC异面，所以选C.

A

2.如图，在正方形ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点，G是

EF的中点，现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,

使B,C,D三点重合，重合后的点记为H,那么，在这个空间图形

中必有（）

A.AGJ_z^EFH所在平面

B.AH1AEFH所在平面

C.HFJ_4AEF所在平面

D.HG_LaAEF所在平面

选B.根据折叠前、后AHJ_HE,AH_LHF不变，所以AH_L平面EFH,

B正确；

因为过A只有一条直线与平面EFH垂直，所以A不正确；

因为AG±EF,EF±AH,所以EF_L平面HAG,所以平面HAG±^

面AEF,过H作直线垂直于平面AEF,一定在平面HAG内，所以C

不正确；因为HG不垂直于AG,所以HG,平面AEF不正确，D不

正确.

3.如图所示是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中①BM〃平

面ADE；②DELBM；③平面BDM〃平面AFN；④AM_L平面BDE.

以上四个命题中，真命题的序号是（）

A.①②③④B.①②③

C.①②④D.②③④

选A.把正方体的平面展开图还原成正方体ABCDEFMN如图1所示；

对于①，平面BCMF〃平面ADNE,BMu平面BCMF,

所以BM〃平面ADNE,①正确；

对于②，如图2所示，连接AN,则AN/7BM,又ED1AN,所以

DE1BM,②正确；

对于③，如图2所示，

BD//FN,BDQ平面AFN,FNu平面AFN,所以BD〃平面AFN；

同理BM〃平面AFN,且BDABM=B,所以平面BDM〃平面AFN,

③正确；

对于④，如图3所示，连接AC,则BD1AC,又MCJ_平面ABCD,

BDu平面ABCD,

所以MC_LBD,XACAMC=C所以BD_L平面ACM所以BD^AM,

同理得ED±AM,EDABD=D,所以AM,平面BDE,所以④正确.

4.（多选）在正方体中ABCDAiBQDi中，点E,F,G分别为棱AD,

DQ,AIBI的中点，则下列结论正确的是（）

A.ACilEGB.GC/7ED

—1―7T

C.B1F,平面BGGD.EF和BB1所成角为a

选AD如图，

对于A,连接BQ】,A1C1,则AQ_LEG,又AA」平面ABCD,

EGu平面AiBiCiDi,

所以AA」EG,又AAinAiG=A_所以EG_L平面AA©,又AiCu

平面AA.Ci,

所以AGLEG,故A正确；

对于B,取BQ的中点M,连接CM,EM,可得四边形CDEM为平

行四边形,

所以CM〃ED,又GCACM=C,因此GC//ED不成立，故B错误；

对于C，假设BF_L平面BGCi,则B]F_LGC_连结BQ-

因为DF_L平面AiBiGDi,GCg平面AiBiGD],

所以D.F1GC,,又B,FAD|F=F,所以GC」平面DBF,又DBu

平面D1B1F,

所以GGLDIBI,显然不成立，故C错误；

对于D,因为D1D//B.B,所以NDFE为异面直线EF和BBi所成的

角，

兀

在等腰直角△D,EF中，ZD,FE=4,所以异面直线EF和BB1所成

的角为彳，故D正确.

二、填空题

5如图在四棱锥P-ABCD中底面ABCD是矩形PAJ_平面ABCD,

则四个侧面△PAB,△PBC,△PCD,△PAD中，有个直角

三角形.

因为PA_L平面ABCD,

所以PALAB,PA±AD,

所以△PAB,△PAD为直角三角形,

因为BC±PA,BC±AB,所以BC_L平面PAB,

所以BC±PB,所以△PBC为直角三角形，

同理,△PDC为直角三角形，

所以四个侧面三角形均为直角三角形.

答案：4

6.已知正方体ABCD-AIBCQI的棱长为a，则点Ai与面对角线BC1

所在直线间的距离是_______.

如图所示：

连接BCi,B]C交于点O,连接A|O,

因为BC)±BiC,BCi±AiBi,B1CAA1B1=B1

所以BC」平面ABO,

所以BC.1A.O,

所以A.O的长度即为所求.

因为A]Bi=a,B]O=2a,

所以AO=[AB；+BQ2=乎a.

答案:坐a

7.（2021嘉兴高一检测）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为

正方形，且SA=SB=SC=SD,其中E,M,N分另（］是BC,CD,SC

的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP_LAC；

②EP〃BD；③EP〃面SBD；④EP_L面SAC,其中恒成立的有

因为底面ABCD为正方形，且SA=SB=SC=SD,故四棱锥SABCD

为正四棱锥，

设AC与BD的交点为F,则SFJ_底面ABCD,

又ACu平面ABCD，故SF_LAC，又AC_LBD,SFnBD=F，故AC_L

平面SBD,

又E,M又分别是BC,CD,SC的中点，故EN〃SB.ENU平面SBD,

SBu平面SBD，故EN〃平面SBD同理可证EM〃平面SBD^MHEN

=E，则平面EMN〃平面SBD，则AC_L平面EMN，又EPu平面EMN,

故AC_LEP,①正确；当P与M重合时，才满足EP〃BD，故②错误；

由平面EMN〃平面SBD,EPu平面EMN,可得EP〃面SBD,故③

正确；由BD±AC,BD±SF得BD_L平面SAC,只有当P与M重合

时,满足EP//BD,EP_L面SAC,故④错误.

答案：①③

8.已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为4的正方形，PD_L平

面ABCD,PD=6,E为棱PD上一点，且ED=2PE,过EB作平面

PM

a分别与线段PA,PC交于点M,N,且AC〃a，则的=,

四边形EMBN的面积为.

如图，延伸平面a,交平面ABCD于RS,

因为B£平面an平面ABCD,

所以B£RS,

即R,S,B三点共线，

又AC〃a,由线面平行的性质可得AC〃RS,

TV

则NARB=NABR=4，即AR=AB,

所以A是RD的中点，

过M作MK±PD,垂足为K,

则在△PDA中,6=丽，

.,MKEK

在4EDR中，方=ED，

所以需DA=普DR,

PKPK-2

即-4=—--8,解彳导PK=3,

所以K是PD中点，则M是PA中点，

所以鬻4.

则器=鬻=2，MN〃AC,

因