2022-2023学年高中数学 苏教版必修第二册 12-1 复数的概念教案(二)

一、教学目标

1.理解复数的概念及其基本性质。

2.掌握复数的表示方法，加减、乘除、帚运算的实际操作。

3.发现和理解复数的几何意义。

二、教学重点难点

1.复数的概念及其基本性质。

2.手工绘制复平面、复数加减乘除法的实际操作。

3.较为抽象的符号运算。

三、教学方法

1.教师讲授和举例说明相结合。

2.学生课前预习、课堂听讲和课后练习相结合。

3.使用多媒体教具，辅以图示和演示。

四、教学内容

1.复数的定义及其基本性质。

2.复数的表示方法。

3.复数的加减法、乘除法及其性质。

4.复数的模长和辐角，复数的三种主值。

5.复数的共匏与倒数。

6.复数的黑运算及其公式。

7,复数的几何意义。

五、教学过程

1.引入

提问：你们知道复数是什么吗？它有什么特殊的性质和应用？

2.教学

(1)复数的定义及其基本性质：

定义：形如a+bi(其中a,b均为实数，i是一个虚数单位，即i2=-l),叫做复数。

性质：

①复数相等的条件是它们的实部和虚部分别相等。

②若a和b都是实数，则a+bi也是实数；若a和b中有一个不是实数，则a+bi是复数。

③复数有运算，即加、减、乘、除、鬲运算等。

(2)复数的表示方法

①普通式表示法，也叫笛卡尔式表示法：a+bio

②三角式表示法，也叫极式表示法：r(cos9+isin。)，其中r表示模长，9表示辐角。

③指数式表示法：reA(i6)o

(3)复数的加减法、乘除法及其性质

①加减法：

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)io

②乘法：

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)io

③除法：

2222

(a+bi)/(c+di)=[(ac+bd)/(c+d)]+[(bc-ad)/(c+d)]io

(4)复数的模长和辐角，复数的三种主值

①模长：

22

r=V(a+b)o

②辐角:

0=arctan(b/a)o

③复数主值：

对于复数z=a+bi,其主值有三种：owe<2n的e；-TT<ewn的e；-TT/2<6W3TT/2的0o

(5)复数的共匏与倒数

①共瓶：

z*=a-bio

②倒数：

l/(a+bi)=[(a-bi)/(a2+b2)]o

(6)复数的寻运算及其公式

①公式：

n

(a+bi)n=r(cosn0+isinn0)o

②作图法求解：

将复数转换为三角式表示后，可以利用平面上旋转同一角度的方法，得到复数的n次骞所

在的位置。或者直接运用代数公式进行计算。

(7)复数的几何意义

复数z=a+bi可以看作是平面内的一个点P(x,y),其中x=a,y=b。这个点就叫做复平面上

的点P,x坐标a就叫做P的实部，y坐标b就叫做P的虚部。因此，我们可以用复平面

上的点来表示复数，也可以用复数来表示复平面上的点。

3.知识拓展

(1)复数的欧拉公式：

eA(ix)=cosx+isinx。

(2)解方程x2+l=0。

4.课堂练习

练习一：

(1)把如下复数化为普通式：(2+3i)(4-7i),(l-i)/(2+3i)；

⑵求下列复数的模长及辐角：2+3i,-4+3i,-5i,3-4i；

⑶求下列复数的共匏:7+2i,6-8i,lli,-4i；

⑷将复数z=-2+3i表示成三角式，求它的主值。

练习二：

⑴计算(l+2i)2,(l-i)3；

(2)求下列复数的倒数：2+3i,-4+3i,-5i,3-4i；

⑶给出2的1/3方根的极坐标式；

(4)解方程z2-2z+2i=0。

五、教学反思

本节课的复数概念