2022届高中数学新人教A版必修第一册 3.3幂函数

3.3幕函数

内容标准学科素养

1.通过实例，了解累函数的概念.

11数学抽象

2.结合函数y=x、y=x2>y=x3>y=叼、y=［的图象，了解它

直观想象

们的变化情况及性质.数学运算

3.会利用幕函数解决一些问题.

课前•自主探究自主预习基础认知

授课提示：对应学生用书第44页

［教材提炼］

知识点一幕函数的定义

预习教材，思考问题

函数y（x）=x、y（x）=N、1Ax）=%以前叫什么函数，它们有什么共同特征？

知识梳理（1）一般地，函数v=由叫做幕函数（powerfunction）,其中x是自变量，a是常

数.

（2）募函数解析式的结构特征

①指数为常数；

②底数是自变量，自变量的系数为1;

③嘉产的系数为1；

④只有1项.

知识点二幕函数的图象和性质

预习教材，思考问题

函数y=x,y=N、的图象在第一象限都过什么点？单调性如何？

知识梳理常见幕函数

y—x2>y=/、y=g、,二工一】的图象

(2)性质

函数

i1

尸Xy=/y=x产吗y=x]

性

{小£R且

定义域RRR「0,+8)

xWO}

{x|yeR且

值域R[0,+°°)R[0,+°°)

尸。}

x£［0,+8)XG(O,+8)

在R上为时，单调递增在R上为增函在［0,+8)上时，单调递减

单调性

增函数xe(-oo,0)数为增函数xe(—oo,o)

时，单调递减时，单调递减

(0,0),

定点(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(1,1)

(1,1)

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

［自主检测］

1.下列函数为累函数的是()

A.y=2x3B.y=2x2—1

13

c-产嚏D.尸丁

答案：C

2.已知累函数y=/U)的图象过(4,2)点，则娘=()

A啦B.g

D也

=42

答案：D

3.幕函数丫二长伍^^恒过定点.

答案:（1,1）

4.已知事函数式x）满足式2）=/则於）=.

答案：；

课堂•互动探究以例示法核心突破

授课提示：对应学生用书第45页

探究一哥函数的概念

［例1］函数|%）=（机2—加一1）式加2+加一3是幕函数，且当工£（0,十8）时，月入）是增函数,

求1A©的解析式.

［解析］由源一m—i=i得，

m2-m-2=0,

解得m=2或m=—1.

当m=2时，m2+m—3=3,

7（%）=%3符合要求，

当根=-1,m2+m—3=-3V0,

3在（0,+8）为减函数，不符合要求.

综上，y（x）=x3.

「方法提升■■

判断事函数的依据

形如丁=y的函数叫寨函数，它具有三个特点：

（1）系数为1.

（2）指数为常数（也可以为0）.

（3）后面不加任何项.

一同源异考重在触类旁通

若函数段）=（2加+3）加？一3是幕函数，则相的值为（）

A.11B.0

C.1D.2

解析：森函数是形如人劝=k的函数，所以2"?+3=1,.*.717=-1.

答案:A

探究二基函数的图象

［例2］幕函数丁=12可=/1,｝；=1,3；=%—3在第一象限内的图象依次是图中的曲线()

A.。2，C1，。3，。4

B.C4,CifC3,C2

C.C3，C2,Ci,C4

D.Ci，C4,C2,C3

［解析］由于在第一象限内直线x=l的右侧时，氟函数的图象从上到下相应的指数

a由大变小，故幕函数y=x2在第一象限内的图象为Ci,同理，y=/1在第一象限的图象为

y=3■在第一象限内的图象为C2,y=x—g在第一象限内的图象为。3,故选D.

［答案］D

「方法提升

嘉函数在第一象限内指数变化规律：在第一象限内直线x=l的右侧，图象从上到下，相

应的指数由大变小；在直线x=l的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小.

L同源异考重在触类旁通

m

已知幕函数y=y，y=xf>=请的图象如图，贝！］()

A.m>ri>p

B.m>p>n

C.n>p>m

D.p>n>m

答案：c

探究三幕函数的性质

［例3］(1)求下列函数的定义域，并指出其奇偶性和单调性.

23__3

①y=否；②尸q；③尸x2；④y=x-7

［解析］①函数'=《，即〉=去，其定义域为R;是偶函数；它在［0,+oo)上为增函数，

在(-8,0］上为减函数.

②函数>=或，即y=y^,其定义域为［0,+°°)；既不是奇函数，也不是偶函数；它在

［0,+8)上为增函数.

③函数y=x~2,即y=m，其定义域为(一8,0)U(0,+°°);是偶函数；它在(0,+°°)

上为减函数，在(一8,0)上为增函数.

31

④函数y=x—7,即)=---,其定义域为(0,+°°);既不是奇函数，也不是偶函数；它

依

在(0,+8)上为减函数.

「■■方法提升

要类比常见嘉函数的性质，利用其共性.对于单调性、奇偶性按一般函数的判断方法.

⑵比较幕值大小：

①3-,和3.1—1；

②—8—*和—熊

③(一1H和(一IH；

223

@4.1^,3.8—§和(一1.9)亍

［解析］①函数y=x一,在(0,+8)上为减函数，

55

又3<3.1,.*.3—2>3.1—2-

②一8一1=-(jK函数y='在(0,+8)上为增函数，又岂，则(我>(战

从而

函数y=x一,在(0,+8)上为减函数,

2、2

3-

22223

④4.与>1§=1,0<3.8一铲1—§=1,(―1.9)不0,

322

・・・(一1.9)不3.8一铲(4.1)亍

—■■■方法提升

幕值大小比较常用的方法

要比较的两个基值，若指数相同，底数不同时，考虑应用嘉函数的单调性；考虑借助中

间量“r’“o”"一1”进行比较.

(3)已知哥函数>=/m-9(加£N*)的图象关于y轴对称，且在(0,+8)上函数值随元的增大

而减小，求满足3+1)—］V(3—2〃)一可的a的取值范围.

［解析］，.,函数在(0,+8)上单调递减，

A3m-9<0,解得机V3.

又根£N*,・••根=1,2.

又函数图象关于y轴对称，

・・・3加一9为偶数，故m=1.

由题意得(。+1)一,V(3—2〃)一

•.，=x—g在(一8,0),(0,+8)上均单调递减，

1>3一2〃>0或0>Q+1>3—2〃或〃+lV0V3—2〃,

23、

解得或a<—\.

(<—■■■方法提升

利用幕函数解不等式的步骤

利用福函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与嘉函数

的单调性、奇偶性等综合命题.求解步骤如下：

(1)确定可以利用的呆函数;

(2)借助相应的惠函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系;

(3)解不等式求参数范围，注意分类讨论思想的应用.

课后•素养培优素养拓展能力提升

授课提示：对应学生用书第46页

“塞异形同”的基函数家族——塞函数图象性质的拓展

对于累函数尸"zCR)时，可视为尸学型3，g互异)根据最简分数加直，来类比常

见幕函数的图象.

(1)当a>0时，

①图象都通过点(0,0),(1,1)；

②在第一象限内，函数值随x的增大而增大；

③在第一象限内，a>l时，图象是向下凸的；

0<«<1时，图象是向上凸的；

④在第一象限内，过点(1,1)后，图象向右上方无限伸展.

(2)当a<0时，

①图象都通过点(1,1);

②在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象是向下凸的；

③在第一象限内，图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近；

④在第一象限内，过点(1,1)后，磔越大，图象下降的速度越快.

(3)幕函数的奇偶性.y=^,当a=3p,qGZ)是最简分数时，当p,4均为奇数时，>=十

是奇函数；当"为偶数，q为奇数时，y=K是偶函数；当q为偶数时，为非奇非偶函数.

4

［典例］l.y=x—§的图象是()

44

［解析］:一铲0,・••次x)=