2022年高中数学选择性必修第二册：函数的最大(小)值及其应用

2022年高中数学选择性必修第二册：函数的最大(小)值及其

应用

一、选择题

1.(2020江西南昌二中高二上期末,#?)函数f(x)=2x2《x3在区间[0,6]上

的最大值是()

A.-B.-

33

C.12D.9

2.(2019四川泸州高三上诊断性考试,*；)已知函数f(x)=ln

*-如2+伯_1以+29〉0)的值域与函数y=f(f(x))的值域相同,则实数a的取

值范围为()

A.(0,l]B,(l,+oo)

c.(词D-[?+°°)

3.(2019浙江镇海中学高二上期末,")已知函数f(x)=xeX,g(x)=xlnx,若

f(Xl)=g(X2)=t,其中t>0,则型的最大值为()

%1%2

A.-B.-

ee

c，4ezD，4ez

4.(2019安徽十校高三联考,")已知函数f(x)=--+2g(x)=^gU(e是自

1—XXX

然对数的底数)，若Vx1e(0,l),3X2hl,3],使得f(xi)》g(X2)成立，则正

实数k的最小值为()

1

A.-B.1

2

C.4-2V3D.4+2V3

5.(多选)(*)已知函数f(x)==^，则下列结论正确的是()

ex

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A.函数f(x)存在两个不同的零点

B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值

C.当-e<k<0时，方程f(x)=k有且只有两个实根

D.若当X£[t,+oo)时，f(X)max=*则t的最小值为2

6.(多选)(*9已知函数f(x)=x2(lnx-a)+a,则下列结论正确的是()

A.3a>O,Vx>0,f(x)20

B.3a>0,2x>0,f(x)WO

C.Va>O,Vx>0,f(x)20

D.Va>0,3x>0,f(x)WO

二'填空题

7.(*：)若不等式ex-l^kx+lnx对于任意的x£(0,+8)恒成立，则k的最

大值为.

8.(2020福建师范大学附中高二上期末,")若函数f(x)=3x-x3在区间

(a-1,a)上有最小值,则实数a的取值范围是.易错

三'解答题

9.(2019山东烟台高三上期中,*?)某工厂加工一批零件，加工过程中会

产生次品,根据经验可知，其次品率p与日产量x(万件)之间满足函数关

仔,lWx<4,

系式p=H3已知每生产1万件合格品可获利2万元，但生

匕G+l，x之4,

产1万件次品将亏损1万元(次品率=次品数/生产量).

(1)试写出加工这批零件的日盈利额y(万元)与日产量x(万件)的函数

关系式；

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(2)当日产量为多少时，可获得最大利润?最大利润为多少?

10.(2020北京石景山高三上期末,*)已知函数f(x)=eX-ax(a£R).

⑴求函数f(x)的单调区间；

⑵若a=3,f(x)的图象与y轴交于点A,求曲线y=f(x)在点A处的切线

方程；

(3)在(2)的条件下，证明:当x>0时一，f(x)>x?-3x+l恒成立.

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11.(2020天津和平高三上期末设函数f(x)=aeX,g(x)=lnx+b,其中

a,b£R,e是自然对数的底数.

⑴设F(x)=xf(x),当a=e-1时，求F(x)的最小值;

⑵证明:当a=e”,b<1时，总存在两条直线和曲线y=f(x)与y=g(x)都相切;

(3)当a吟时,证明:f(x)>x[g(x)-b].

12.(2019福建三明高二上期末,")已知函数f(x)=ax+lnx(a£R).

(1)讨论f(x)的单调性；

⑵当a=l时,不等式xex+l>f(x)+m对任意的x£(0,+8)恒成立，求实数

m的取值范围.

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13.(2019湖南浏阳一中、醴陵一中高二月考,")已知函数f(x)=ln

x-*g(x)=f(x)+ax-61nx,其中a£R.

⑴讨论f(x)的单调性；

(2)设函数h(x)=x2-mx+4,当a=2时，若mxie(0,l),VX2£[l,2],总有

g(xi)Nh(X2)成立,求实数m的取值范围.

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答案全解全析

一'选择题

1.Af(x尸2x2-1x3,，f(x)=4x-x2,

令f(x)=0,得x=0或x=4.

列表如下：

X0(0,4)4(4,6)6

f(x)0+0-

f(x)0/0

3

因此f(x)在［0,6］上的最大值为拳故选A.

2.D由题可知，函数f(x)的定义域为(0,+oo).

f(x)=lnx-|ax2+(a-1)x+a(a>0),

..f(x)=—ax+a-l=-------

XX

.,.当x>l时f(x)<0;当0<x<l时f(x)〉0,

，f(x)在(0,l)上单调递增，在(l,+oo)上单调递减，

•••f(x)max=f(l)=|a-l,即f(x)的值域为.

要使y=f(f(x))的值域也为(-oo,|a-J,则只要f(X)max2l,

则即a咨故选D.

3.A由题意可知「1，”t①短记m=lnX2,则②式可化为

lx2ln%2=t②，

em,m=mem=t,因为f(x)=xe'在(0,+oo)上单调递增，故xi=m,即xi=lnX2,

代入①式，可得xielnX2=t^>xiX2=t,Ki］-^-=—.

%1%2t

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t己w(t)=^(t>。),贝Ijw'(t)=i^,

令w'(t)>0,得0<t<e;令w'(t)<0,得t>e,故w(t)在(0,e)上单调递增，在(e,+co)

上单调递减，当t=e时,w(t)max=w(e)=士故选A.

e

4.CVxie(0,l),3X2hl,3］,使得f(xi)与g(X2)成立等价于

f(x)min三g(x)min,

1k徂、_1k_(l-k)x2+2kx-k

由f(x)=

付(X)-q.%)2-,一-%2(i・x)2-,

当0<k<l时，令F(x)=O,得X3;当(舍去),X4=离,

，f(x)在(0刈上单调递减，在［X4,D上单调递增,.•.f(X)min=f(X4)=(遍+1)2.

当k=l时，令f(x)=O,解得x=|,

f(X)min=fG)=4=(V^+1)2.

当k>l时，f(X)在(0,X4］上单调递增，在［X4,l)上单调递减,

当Xf0时,f(x)f+8,且当X-*1时，f(x)f+oo,f(x)无最小值.

由或刈=竺詈=4-萼，

得小)=喈2

令g'(x)=0,得x=e,

g(x)在［1⑶上单调递减，在［e,3］上单调递增,g(x)min=g(e)=3,

.•.(4+l)223,，k24-2B.故选C.

5.ABC由f(x)=0得x2+x-l=0,解得*=三£所以A正确；

心/、X2-X-2(X+1)(X-2)

F(x)=-==1^，

当-l<x<2时，f(x)>0,当x<-l或x>2时,f(x)<0,

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所以函数的单调递减区间为(-00,-1),(2,+8),函数的单调递增区间为

(-1,2),所以f(-l)是函数的极小值，f(2)是函数的极大值，所以B正确；

当Xf+CO时,f(x)f0,根据B可知，函数的最小值是f(-l尸-e,再根据单调

性可知，当-e<k<0时，方程f(x)=k有且只有两个实根，所以C正确；

画出f(x)的大致图象如图，因为f(2)=言所以t的最大值是2,所以D不

正确.故选ABC.

6.ABD当a=j时，f(x)=x2(ln%-m+去函数的定义域为(0,+oo),

F(x)=2x(ln%-0+x2,：=2xlnx-x+x=2xlnx,

令f(x)=0,得x=l,当x>l时，f(x)>0,此时函数单调递增，当0<x<l时，

f(x)<0,此时函数单调递减，

故当x=l时，函数f(x)取得极小值,也是最小值，f(l)=-荆=0,

则Vx>0,f(x)2f⑴=0,故A正确.

当a=5时，f(x)=x2(lnx-5)+5,

贝1Jf(e)=e2(lne-5)+5=-4e2+5<0,

故ma>0,3x>0,f(x)W0,故B正确,C错误.

因为f(l)=12(lnl-a)+a=-a+a=0,所以Va>0,2x=l>0,使f(x)W0成立，因

此D正确.故选ABD.

二、填空题

7.答案e-1

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解析由题意得,kW亨当寸任意x£(0,+oo)恒成立，

构造函数h(X)="4

X

贝h，(x)=e，(*+l\

易得h(x)在(0,1)上单调递减，在(l,+oo)上单调递增，故当x=l时,h(x)取到

极小值，也是最小值，且最小值为e-1,故k的最大值为e-1.

8.答案(-1,0)

解析,/f(x)=3x-x3,/.f(x)=3-3x2,

令f(x)=0,得3-3x2=。,解得x=±l,

X(-00,-1)-1(-1,1)1(1,+co)

f(x)-0+0-

f(x)、极小值/极大值

•；f(x)在(a-l,a)上有最小值,

...一心<；l‘解得-l<a<0,①

VUx>一1,

易得f(-1)=-3-(-1)=-2,

令f(x)=-2,得x3-3x-2=0,

即(x+l)2(x-2尸0,解得x=-l或x=2.

因此aW2.②

由①②知a的取值范围是(-1,0).

易错警示由函数的最大(小)值确定参数的取值范围不仅要考虑极

值点,而且要考虑端点的函数值.

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三'解答题

9.解析⑴当lWx<4时,y=2x(l—^-x•*=2x-/,

当x>4时,丫=2*卜-(妥-|+1)40l)x=9-x-p

所以日盈利额y(万元)与日产量x(万件)的函数关系式为

(r2

2『T，1WX<4,

y=\9

9—x—,x之4.

IX

y21

⑵当lWx<4时,y=2xg=-#x-2)2+2,

所以当x=2时一,y取得最大值2;

当x24时,y=9-x-g,y'=-l+姿=^1-<0,

所以函数在［4,+oo)上单调递减，

所以当x=4时,y取得最大值*

又?>2,所以当日产量为4万件时可获得最大利润,最大利润为?万元.

10.解析⑴依题意得f(x)=eX-a,

当aWO时;f(x)20恒成立，所以f(x)在R上单调递增，

当a>0时，令f(x)=O,得x=lna.

当x发生变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：

X(-oo,Ina)Ina(Ina,+oo)

f(x)-0+

f(x)\极小值/

所以当@>。时一，1?仪)在600,111a)上单调递减，在(Ina,+8)上单调递增.

综上所述，当aWO时-，f(x)的单调递增区间为R,无单调递减区间，

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当a>0时，，f(x)的单调递增区间为(Ina,+00),单调递减区间为(-00,Ina).

(2)当a=3时,f(x)=ex-3x.

令x=0,得y=l,则A(0,l),

因为f(x)=eX-3,所以f(0)=l-3=-2,

所以曲线y=f(x)在A点处的切线方程为y-l=-2(x-0),即y=-2x+l.

(3)证明:令g(x)=f(x)-(x2-3x+l)=e'-x2-l,则g'(x)=ex-2x.

令h(x)=e、-2x,则h'(x)=ex-2,

当0<x<ln2时,h，(x)<0,h(x)单调递减，

当x>ln2时,h，(x)>0,h(x)单调递增,

所以h(x)2h(ln2)=eln2-21n2=2-21n2>0,即g，(x)>0恒成立.

所以g(x)在(0,+oo)上单调递增，

所以g(x)>g(0)=l-0-l=0,所以ex-x2-l>0,

即当x>0时,f(x)>x?-3x+l恒成立.

11.解析⑴由题可得,F(x)=xeR

贝!JF'(x)=(x+l)ex-1,

当x£(-oo,-l)时,F(x)<0,F(x)单调递减;当x£(-l,+oo)时,F(x)>0,F(x)单

调递增，

.,.当x=-l时,F(x)取得极小值也是最小值，且最小值为F(-l)=-e2.

(2)证明:由题可得,f(x)=ex-1,F(x)=ex-1,

曲线y=f(x)在点⑺声点处的切线方程为y=em-|x+(l-rn)em-1.

1

:g(x)=lnx+b,/.g'(x)=-,

曲线y=g(x)在点(n,lnn+b)处的切线方程为y=，x+lnn+b-1.

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人fe"i=

令1n

l(l-m)em_1=Inn+b-1,

则(m-1把"*1"-m+b=O.

令h(m)=(m-l)eml-m+b,

贝1Jh'(m)=mem_1-l,

由⑴得当m<-l时,h〈m)单调递减，且h'(m)<0,

又h'(l)=O,m<l时,h，(m)<0,

.,.当m<l时,h'(m)<O,h(m)单调递减；

当m>l时,h'(m)〉O,h(m)单调递增.

易得h(b-1)=(b-2)eb-2+l>--+1>0,

e

又h(3-b)=(2-b)e2-b+2b-3>(2-b)(3-b)+2b-3=(h-|了+|>0,

11(1)=，1<0,，函数虫01)在(，1,1)和(1,34)内各有一个零点,

当a=e-1,b<l时，总存在两条直线和曲线y=f(x)与y=g(x)都相切.

(3)证明:f(x)>x[g(x)-b]=(--lnx〉0.

令G(x)=--Inx(x>0),以下证明当a>4时,G(x)的最小值大于0.

求导得6(刈=写过]

_a(x-l)ex-x

①当0<xWl时G(x)<0,G(x)2G(l)=ae>0;

②当x>l时，

G'(x)=a#i)\ex-x

x2a(x-Y)y

令H(x)=ex-—^―,

uQX-1)

1

H'(x尸ex+许>0,

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H(2尸e2-2=空文>0,取1£(1,2)且使七*2,即

aaa(t-l)ae2-l

贝！JH(t)=el-<e2-e2=0,

a(t-l)

,/H(t)H(2)<0,H(x)存在唯一零点xoe(1,2),

即G(x)有唯一的极值点且为极小值点x()£(l,2),又G(xo)=竺上-Inx0,

x0

且H(xo)=ex0--^-=O,

Q(%oj)

即e%。一^,

a(x0-l)

G(x())=^--InXo,

%0-l

11

•••G'(xo)=-zV。，

xo

...G(xo)是(1,2)上的减函数.

工G(xo)>G(2)=1-ln2>0,G(x)>0.

综上，当a■时,f(x)>x[g(x)-b].

12.解析⑴函数f(x)的定义域为(0,+oo),

»、1ax+1八

f(x)=a+-=----,x>0.

XX

当a20时，f(x)>0,所以f(x)在(0,+oo)上单调递增；

当a<0时，由ax+l=0得x=--,

则函数f(x)在(0,—J上单调递增，在(4+8)上单调递减.

综上所述，当a20时,f(x)在(0,+oo)上单调递增;当a<0时,f(x)在(0,-：

上单调递增，在(1,+8)上单调递减.

⑵当a=l时,f(x)=x+lnx.设g(x)=xe'+l-f(x)=xeX-x-lnx+l(x>0),

则由题意可知当x>0时,g(x)>m恒成立，即g(x)min>m恒成立.

1

gf(x)=(x4-l)ex-l--

_(x+l)(xex-l)

x

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设h(x)=x