2024-2025学年新教材高中数学第13章立体几何初步章末综合测评含解析苏教版必修第二册

PAGE章末综合测评(五)立体几何初步(满分：150分时间：120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中随意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3B[①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面冲突，故其中随意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面，所以②不正确；③明显不正确；④不正确．因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．]2．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥βB[对于A，若l∥α，l∥β，则α和β可能平行也可能相交，故错误；对于B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故正确；对于C，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故错误；对于D，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系有三种可能：l⊥β，l∥β，l⊂β，故错误．故选B．]3．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中相互垂直的平面有()A．1对B．2对C．3对D．5对D[∵DA⊥AB，DA⊥PA，∴DA⊥平面PAB．同理BC⊥平面PAB，又AB⊥平面PAD，∴DC⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面AC，平面PAB⊥平面AC，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5对．]4．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°A[∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝eq\f(1,2)，即∠ABO＝60°.]5．设三棱柱的侧棱垂直于底面，全部棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．πa2 B．eq\f(7,3)πa2C．eq\f(11,3)πa2 D．5πa2B[由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),3)a，OP＝eq\f(1,2)a，所以球的半径R＝OA满意R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))eq\s\up12(2)＝eq\f(7,12)a2，故S球＝4πR2＝eq\f(7,3)πa2.]6．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于A，C两点，过点P的直线n与α，β分别交于B，D两点，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为()A．16 B．24或eq\f(24,5)C．14 D．20B[由α∥β得AB∥CD．分两种状况：若点P在α，β的同侧，则eq\f(PA,PC)＝eq\f(PB,PD)，∴PB＝eq\f(16,5)，∴BD＝eq\f(24,5)；若点P在α，β之间，则有eq\f(PA,PC)＝eq\f(PB,PD)，∴PB＝16，∴BD＝24.]7．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E、F，则四边形D1EBF的形态是()A．矩形B．菱形C．平行四边形D．正方形C[因为过D1B的平面和左右两个侧面分别交于ED1、BF，所以ED1∥BF，同理D1F∥EB，所以四边形D1EBF是平行四边形．]8．如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点，将△ABF沿BF所在的直线进行翻折，将△CDE沿DE所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法错误的是()A．无论翻折到什么位置，A、C两点都不行能重合B．存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为60°C．存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为90°D．存在某个位置，使得直线AB与直线CD所成的角为90°D[在A中，点A与点C肯定不重合，故A正确；在B中，存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为60°，故B正确；在C中，当平面ABF⊥平面BEDF，平面DCE⊥平面BEDF时，直线AF与直线CE垂直，故C正确；在D中，直线AB与直线CD不行能垂直，故D错误．故选D．]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列命题为真命题的是()A．若两个平面有多数个公共点，则这两个平面重合B．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直C．垂直于同一条直线的两条直线相互平行D．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直BD[两个平面相交时，也有多数个公共点，A错；比如a⊥α，b⊂α，c⊂α，明显有a⊥b，a⊥c，但b与c也可能相交，C错．故选BD．]10．正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是()A．AC⊥BEB．B1E∥平面ABCDC．三棱锥E­ABC的体积为定值D．B1E⊥BC1ABC[因为AC⊥平面BDD1B1，故A正确；因为B1D1∥平面ABCD，故B正确；记正方体的体积为V，则VE­ABC＝eq\f(1,6)V，为定值，故C正确；B1E与BC1不垂直，故D错误.选ABC．]11．如图所示，在四个正方体中，l是正方体的一条体对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形为()ABCDAD[如图所示，正方体ABCD­A′B′C′D′.连接AC，BD．∵M、P分别为其所在棱的中点，∴MP∥AC．∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵BB′⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB′⊥AC，∵AC⊥BD，BD∩BB′＝B，∴AC⊥平面DBB′，∵DB′⊂平面DBB′，∴AC⊥DB′.∵MP∥AC，∴DB′⊥MP，同理，可证DB′⊥MN，DB′⊥NP，∵MP∩NP＝P，MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，∴DB′⊥平面MNP，即l垂直平面MNP，故A正确．在D中，由A中证明同理可证l⊥MP，l⊥MN，又∵MP∩MN＝M，∴l⊥平面MNP.故D正确．故选AD．]12.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝eq\f(2,3)BD1，则下面说法正确的是()A．MN∥平面APCB．C1Q∥平面APCC．A，P，M三点共线D．平面MNQ∥平面APCBC[如图，对于A，连接MN，AC，则MN∥AC，连接AM，CN，易得AM，CN交于点P，即MN⊂平面APC，所以MN∥平面APC是错误的．对于B，由①知M，N在平面APC内，由题易知AN∥C1Q，且AN⊂平面APC，C1Q⊄平面APC．所以C1Q∥平面APC是正确的．对于C，由①知，A，P，M三点共线是正确的．对于D，由①知MN⊂平面APC，又MN⊂平面MNQ，所以平面MNQ∥平面APC是错误的．选BC．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知正六棱柱的侧面积为72cm2，高为6cm，那么它的体积为________cm3.36eq\r(3)[设正六棱柱的底面边长为xcm，由题意得6x·6＝72，所以x＝2cm，于是其体积V＝eq\f(\r(3),4)×22×6×6＝36eq\r(3)cm3.]14．已知一圆锥的侧面绽开图是半径为2的半圆，则该圆锥的表面积为________，体积为________．3πeq\f(\r(3),3)π[设圆锥的底面半径为r，依据题意，得2πr＝2π，解得r＝1，依据勾股定理，得圆锥的高为eq\r(22－12)＝eq\r(3)，所以圆锥的表面积S＝eq\f(1,2)×π×22＋π×12＝3π，体积V＝eq\f(1,3)×π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.]15．棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各个面引垂线，垂线段分别为d1，d2，d3，d4，则d1＋d2＋d3＋d4的值为________．eq\f(\r(6),3)[设四面体的高为h，则h＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(\r(3),2)×1))eq\s\up12(2))＝eq\f(\r(6),3)，eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)S(d1＋d2＋d3＋d4)，∴d1＋d2＋d3＋d4＝h＝eq\f(\r(6),3).]16．已知棱长为eq\r(3)的正方体ABCD­A1B1C1D1内有一圆柱，此圆柱恰好以直线AC1为轴，则该圆柱侧面积的最大值为__________．eq\f(9\r(2)π,8)[由题意知，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的状况，由图形的对称性可知，侧面积最大时，圆柱的上底面必与过A点的三个面相切，且切点分别在线段AB1，AC，AD1上，如图所示，设线段AB1上的切点为E，AC1与平面A1BD的交点为O2，圆柱上底面的圆心为O1，半径即为O1E，记为r，设AB1与平面A1BD的交点为F.∵正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为eq\r(3)，∴AC1＝3，A1B＝BD＝A1D＝eq\r(6).由题意知，O2F＝eq\f(1,3)DF＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×eq\r(6)＝eq\f(\r(2),2)，AO2＝eq\f(1,3)AC1＝1.由O1E∥O2F知eq\f(O1E,\f(\r(2),2))＝eq\f(AO1,1)，∴AO1＝eq\r(2)O1E，则圆柱的高为3－2AO1＝3－2eq\r(2)r，S侧＝2πr(3－2eq\r(2)r)＝4eq\r(2)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2)r,4)－r2))＝－4eq\r(2)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r－\f(3\r(2),8)))eq\s\up12(2)＋eq\f(9\r(2)π,8)≤eq\f(9\r(2)π,8)，当r＝eq\f(3\r(2),8)时，圆柱的侧面积取得最大值，最大值为eq\f(9\r(2)π,8).]四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，正方体ABCD­A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A′­BC′D的表面积与正方体表面积的比值；(2)三棱锥A′­BC′D的体积．[解](1)∵ABCD­A′B′C′D′是正方体，∴六个面是相互全等的正方形，∴A′C′＝A′B＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝eq\r(2)a，∴S三棱锥＝4×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2)a)2＝2eq\r(3)a2，S正方体＝6a2，∴eq\f(S三棱锥,S正方体)＝eq\f(\r(3),3).(2)明显，三棱锥A′­ABD，C′­BCD，D­A′D′C′，B­A′B′C′是完全一样的，∴V三棱锥A′­BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′­ABD＝a3－4×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2×a＝eq\f(1,3)a3.18．(本小题满分12分)如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC．[证明](1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB．又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC．(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD．因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD．又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC．又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC．19．(本小题满分12分)如图，圆锥的轴截面SAB为等腰直角三角形，Q为底面圆周上一点．(1)若QB的中点为C，求证：平面SOC⊥平面SBQ；(2)若∠AOQ＝120°，QB＝eq\r(3)，求圆锥的表面积．[解](1)证明：∵SQ＝SB，OQ＝OB，C为QB的中点，∴QB⊥SC，QB⊥OC．∵SC∩OC＝C，∴QB⊥平面SOC．又∵QB⊂平面SBQ，∴平面SOC⊥平面SBQ.(2)∵∠AOQ＝120°，QB＝eq\r(3)，∴∠BOQ＝60°，即△OBQ为等边三角形，∴OB＝eq\r(3).∵△SAB为等腰直角三角形，∴SB＝eq\r(6)，∴S侧＝eq\r(3)·eq\r(6)π＝3eq\r(2)π，∴S表＝S侧＋S底＝3eq\r(2)π＋3π＝(3＋3eq\r(2))π.20．(本小题满分12分)如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．(1)求证：PA∥平面BDE；(2)求证：平面PAC⊥平面BDE；(3)若二面角E­BD­C为30°，求四棱锥P­ABCD的体积．[解](1)证明：连接OE，如图所示．∵O，E分别为AC，PC的中点，∴OE∥PA．∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE.(2)证明：∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD．在正方形ABCD中，BD⊥AC．又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥平面PAC．又∵BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE.(3)取OC中点F，连接EF.∵E为PC中点，∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO.又∵PO⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，∴EF⊥BD．∵OF⊥BD，OF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFO，∴OE⊥BD，∴∠EOF为二面角E­BD­C的平面角，∴∠EOF＝30°.在Rt△OEF中，OF＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(1,4)AC＝eq\f(\r(2),4)a，∴EF＝OF·tan30°＝eq\f(\r(6),12)a，∴OP＝2EF＝eq\f(\r(6),6)a.∴VP­ABCD＝eq\f(1,3)×a2×eq\f(\r(6),6)a＝eq\f(\r(6),18)a3.21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F为线段AC上一点．(1)求证：BD⊥EF；(2)若EF∥平面PBD，求eq\f(AF,FC)的值．[解](1)证明：因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD．又四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC．又