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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知随机变量服从正态分布,且,则()A. B. C. D.2.在复平面内,复数(,)对应向量(O为坐标原点),设,以射线Ox为始边,OZ为终边旋转的角为,则,法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理:,,则,由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式:,已知,则()A. B.4 C. D.163.在平面直角坐标系中,已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边落在直线上,则()A. B. C. D.4.的展开式中的一次项系数为()A. B. C. D.5.已知函数,则下列判断错误的是()A.的最小正周期为 B.的值域为C.的图象关于直线对称 D.的图象关于点对称6.已知函数,若关于的不等式恰有1个整数解,则实数的最大值为()A.2 B.3 C.5 D.87.已知复数(为虚数单位)在复平面内对应的点的坐标是()A. B. C. D.8.设双曲线的左右焦点分别为,点.已知动点在双曲线的右支上,且点不共线.若的周长的最小值为,则双曲线的离心率的取值范围是()A. B. C. D.9.已知双曲线:(,)的右焦点与圆:的圆心重合,且圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为,则双曲线的离心率为()A.2 B. C. D.310.已知等差数列的前n项和为,且,,若(,且),则i的取值集合是()A. B. C. D.11.在复平面内,复数z=i对应的点为Z,将向量绕原点O按逆时针方向旋转,所得向量对应的复数是()A. B. C. D.12.已知某口袋中有3个白球和个黑球(),现从中随机取出一球,再换回一个不同颜色的球(即若取出的是白球,则放回一个黑球;若取出的是黑球,则放回一个白球),记换好球后袋中白球的个数是.若,则=()A. B.1 C. D.2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知椭圆Г:,F1、F2是椭圆Г的左、右焦点,A为椭圆Г的上顶点,延长AF2交椭圆Г于点B,若为等腰三角形,则椭圆Г的离心率为___________.14.某高校组织学生辩论赛,六位评委为选手成绩打出分数的茎叶图如图所示,若去掉一个最高分,去掉一个最低分,则所剩数据的平均数与中位数的差为______.15.在数列中,已知,则数列的的前项和为__________.16.已知双曲线的一条渐近线经过点,则该双曲线的离心率为_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,四棱锥的底面中,为等边三角形,是等腰三角形,且顶角,,平面平面,为中点.(1)求证:平面;(2)若,求二面角的余弦值大小.18.(12分)已知曲线,直线:(为参数).(I)写出曲线的参数方程,直线的普通方程;(II)过曲线上任意一点作与夹角为的直线,交于点,的最大值与最小值.19.(12分)已知分别是的内角的对边,且.(Ⅰ)求.(Ⅱ)若,,求的面积.(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求的值.20.(12分)已知均为正实数,函数的最小值为.证明:(1);(2).21.(12分)已知函数,为实数,且.(Ⅰ)当时,求的单调区间和极值;(Ⅱ)求函数在区间,上的值域(其中为自然对数的底数).22.(10分)如图,在正三棱柱中,,,分别为,的中点.(1)求证:平面;(2)求平面与平面所成二面角锐角的余弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
根据在关于对称的区间上概率相等的性质求解.【详解】,,,.故选:C.【点睛】本题考查正态分布的应用.掌握正态曲线的性质是解题基础.随机变量服从正态分布,则.2、D【解析】
根据复数乘方公式:,直接求解即可.【详解】,.故选:D【点睛】本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法,解题的关键是理解棣莫弗定理,将复数化为棣莫弗定理形式,属于基础题.3、C【解析】
利用诱导公式以及二倍角公式,将化简为关于的形式,结合终边所在的直线可知的值,从而可求的值.【详解】因为,且,所以.故选:C.【点睛】本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式,属于给角求值类型的问题,难度一般.求解值的两种方法:(1)分别求解出的值,再求出结果;(2)将变形为,利用的值求出结果.4、B【解析】
根据多项式乘法法则得出的一次项系数,然后由等差数列的前项和公式和组合数公式得出结论.【详解】由题意展开式中的一次项系数为.故选:B.【点睛】本题考查二项式定理的应用,应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数.同时本题考查了组合数公式.5、D【解析】
先将函数化为,再由三角函数的性质,逐项判断,即可得出结果.【详解】可得对于A,的最小正周期为,故A正确;对于B,由,可得,故B正确;对于C,正弦函数对称轴可得:解得:,当,,故C正确;对于D,正弦函数对称中心的横坐标为:解得:若图象关于点对称,则解得:,故D错误;故选:D.【点睛】本题考查三角恒等变换,三角函数的性质,熟记三角函数基本公式和基本性质,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.6、D【解析】
画出函数的图象,利用一元二次不等式解法可得解集,再利用数形结合即可得出.【详解】解:函数,如图所示当时,,由于关于的不等式恰有1个整数解因此其整数解为3,又∴,,则当时,,则不满足题意;当时,当时,,没有整数解当时,,至少有两个整数解综上,实数的最大值为故选:D【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围,属于较难题.7、A【解析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简,求得的坐标得出答案.【详解】解:,在复平面内对应的点的坐标是.故选:A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,属于基础题.8、A【解析】
依题意可得即可得到,从而求出双曲线的离心率的取值范围;【详解】解:依题意可得如下图象,所以则所以所以所以,即故选:A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,属于中档题.9、A【解析】
由已知,圆心M到渐近线的距离为,可得,又,解方程即可.【详解】由已知,,渐近线方程为,因为圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为,所以圆心M到渐近线的距离为,故,所以离心率为.故选:A.【点睛】本题考查双曲线离心率的问题,涉及到直线与圆的位置关系,考查学生的运算能力,是一道容易题.10、C【解析】
首先求出等差数列的首先和公差,然后写出数列即可观察到满足的i的取值集合.【详解】设公差为d,由题知,,解得,,所以数列为,故.故选:C.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的求解,属于基础题.11、A【解析】
由复数z求得点Z的坐标,得到向量的坐标,逆时针旋转,得到向量的坐标,则对应的复数可求.【详解】解:∵复数z=i(i为虚数单位)在复平面中对应点Z(0,1),
∴=(0,1),将绕原点O逆时针旋转得到,
设=(a,b),,则,即,
又,解得:,∴,对应复数为.故选:A.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.12、B【解析】由题意或4,则,故选B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
由题意可得等腰三角形的两条相等的边,设,由题可得的长,在三角形中,三角形中由余弦定理可得的值相等,可得的关系,从而求出椭圆的离心率【详解】如图,若为等腰三角形,则|BF1|=|AB|.设|BF2|=t,则|BF1|=2a−t,所以|AB|=a+t=|BF1|=2a−t,解得a=2t,即|AB|=|BF1|=3t,|AF1|=2t,设∠BAO=θ,则∠BAF1=2θ,所以Г的离心率e=,结合余弦定理,易得在中,,所以,即e==,故答案为:.【点睛】此题考查椭圆的定义及余弦定理的简单应用,属于中档题.14、【解析】
先根据茎叶图求出平均数和中位数,然后可得结果.【详解】剩下的四个数为83,85,87,95,且这四个数的平均数,这四个数的中位数为,则所剩数据的平均数与中位数的差为.【点睛】本题主要考查茎叶图的识别和统计量的计算,侧重考查数据分析和数学运算的核心素养.15、【解析】
由已知数列递推式可得数列的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列,求其通项公式,得到,再由求解.【详解】解:由,得,,则数列的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列.,..故答案为:.【点睛】本题考查数列递推式,考查等差数列与等比数列的通项公式,训练了数列的分组求和,属于中档题.16、【解析】
根据双曲线方程,可得渐近线方程,结合题意可表示,再由双曲线a,b,c关系表示,最后结合双曲线离心率公式计算得答案.【详解】因为双曲线为,所以该双曲线的渐近线方程为.又因为其一条渐近线经过点,即,则,由此可得.故答案为:.【点睛】本题考查由双曲线的渐近线构建方程表示系数关系进而求离心率,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2)【解析】
(1)设中点为,连接、,首先通过条件得出,加,可得,进而可得平面,再加上平面,可得平面平面,则平面;(2)设中点为,连接、,可得平面,加上平面,则可如图建立直角坐标系,求出平面的法向量和平面的法向量,利用向量法可得二面角的余弦值.【详解】(1)证明:设中点为,连接、,为等边三角形,,,,,,即,,,平面,平面,平面,为的中位线,,平面,平面,平面,、为平面内二相交直线,平面平面,平面DMN,平面;(2)设中点为,连接、为等边三角形,是等腰三角形,且顶角,,、、共线,,,,,平面平面.平面平面平面,交线为,平面平面.设,则在中,由余弦定理,得:又,,,,,为中点,,建立直角坐标系(如图),则,,,.,,设平面的法向量为,则,,取,则,,平面的法向量为,,二面角为锐角,二面角的余弦值大小为.【点睛】本题考查面面平行证明线面平行,考查向量法求二面角的大小,考查学生计算能力和空间想象能力,是中档题.18、(I);(II)最大值为,最小值为.【解析】试题分析:(I)由椭圆的标准方程设,得椭圆的参数方程为,消去参数即得直线的普通方程为;(II)关键是处理好与角的关系.过点作与垂直的直线,垂足为,则在中,,故将的最大值与最小值问题转化为椭圆上的点,到定直线的最大值与最小值问题处理.试题解析:(I)曲线C的参数方程为(为参数).直线的普通方程为.(II)曲线C上任意一点到的距离为.则.其中为锐角,且.当时,取到最大值,最大值为.当时,取到最小值,最小值为.【考点定位】1、椭圆和直线的参数方程;2、点到直线的距离公式;3、解直角三角形.19、(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ).【解析】
(Ⅰ)由已知结合正弦定理先进行代换,然后结合和差角公式及正弦定理可求;(Ⅱ)由余弦定理可求,然后结合三角形的面积公式可求;(Ⅲ)结合二倍角公式及和角余弦公式即可求解.【详解】(Ⅰ)因为,所以,所以,由正弦定理可得,;(Ⅱ)由余弦定理可得,,整理可得,,解可得,,因为,所以;(Ⅲ)由于,.所以.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、和角余弦公式,二倍角公式及三角形的面积公式的综合应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20、(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】
(1)运用绝对值不等式的性质,注意等号成立的条件,即可求得最小值,再运用柯西不等式,即可得到最小值.(2)利用基本不等式即可得到结论,注意等号成立的条件.【详解】(1)由题意,则函数,又函数的最小值为,即,由柯西不等式得,当且仅当时取“=”.故.(2)由题意,利用基本不等式可得,,,(以上三式当且仅当时同时取“=”)由(1)知,,所以,将以上三式相加得即.【点睛】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识,考查运算能力,属于中档题.21、(Ⅰ)极大值0,没有极小值;函数的递增区间,递减区间,(Ⅱ)见解析【解析】
(Ⅰ)由,令,得增区间为,令,得减区间为,所以有极大值,无极小值;(Ⅱ)由,分,和三种情况,考虑函数在区间上的值域,即可得到本题答案.【详解】当时,,,当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,故当时,函数取得极大值,没有极小值;函数的增区间为,减区间为,,当时,,在上单调递增,即函数的值域为;当时,,在上单调递减,即函数的值域为;当时,易得时,,在上单调递增,时,,在上单调递减,故当时,函数取得最大值,最小值为,中最小的,当时,,最小值;当,,最小值;综上,当时,函数的值域为,当时,函数的值域,当时,函数的值域为,当时,函数的值域为.【点睛】本题主要考查利用导数求单调区间和极值,以及利用导数研究含参函数在给定区间的值域,考查学生的运算求解能力,体现了分类讨论的数学思想.22、(1)证明见详解;(2).【解析】
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