9. (2008湖北理)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC

9.(2008湖北理)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥侧面A1ABB1（Ⅰ）求证：AB⊥BC；（Ⅱ）若直线AC与平面A1BC所成的角为θ,二面角A1-BC-A的大小为φ的大小关系，并予以证明.9.本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力.（满分12分）（Ⅰ）证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC侧面A1ABB1=A1B,得AD⊥平面A1BC,又BC平面A1BC，所以AD⊥BC.因为三棱柱ABC—A1B1C1则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC.又AA1AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1，又AB侧面A1ABB1，故AB⊥BC.（Ⅱ）解法1：连接CD，则由（Ⅰ）知是直线AC与平面A1BC所成的角，是二面角A1—BC—A的平面角，即于是在Rt△ADC中，在Rt△ADB中，由AB＜AC，得又所以解法2：由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1=a,AC=b,AB=c,则B(0,0,0),A(0,c,0),于是设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z)，则由得可取n=(0,-a,c)，于是与n的夹角为锐角，则与互为余角.所以于是由c＜b，得即又所以10.(2008湖南理)如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.10．解:解法一（Ⅰ）如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD,又AB∥CD,所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥BE.而AB=A,因此BE⊥平面PAB.又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.（Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连结PF.过点A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°，所以，AF=2AB=2=AP.在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG.则AG⊥PF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得，PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）.在等腰Rt△PAF中，在Rt△PAB中，所以，在Rt△AHG中，故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是解法二:如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2）,（Ⅰ）因为，平面PAB的一个法向量是，所以共线.从而BE⊥平面PAB.又因为平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB.(Ⅱ)易知设是平面PBE的一个法向量，则由得所以设是平面PAD的一个法向量，则由得所以故可取于是，故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是11．(2008湖南文)如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，E是CD的中点，PA底面ABCD，。（I）证明：平面PBE平面PAB；（II）求二面角A—BE—P和的大小。11．解：解法一（I）如图所示,连结由是菱形且知，是等边三角形.因为E是CD的中点，所以又所以又因为PA平面ABCD，平面ABCD，所以而因此平面PAB.又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.（II）由（I）知，平面PAB,平面PAB,所以又所以是二面角的平面角．在中,．故二面角的大小为解法二：如图所示,以A为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是（I）因为平面PAB的一个法向量是所以和共线.从而平面PAB.又因为平面PBE，所以平面PBE平面PAB.（II）易知设是平面PBE的一个法向量,则由得所以故可取而平面ABE的一个法向量是于是,．故二面角的大小为12．(2008江苏)记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，求的取值范围．12．解：由题设可知，以、、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则有,,,由，得，所以显然不是平角，所以为钝角等价于，则等价于即，得因此，的取值范围是13．(2008江西文、理)如图，正三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且长度均为2．、分别是、的中点，是的中点，过的平面与侧棱、、或其延长线分别相交于、、，已知．（1）求证：⊥面；（2）求二面角的大小．13．解：（1）证明：依题设，是的中位线，所以∥，则∥平面，所以∥。又是的中点，所以⊥，则⊥。因为⊥，⊥，所以⊥面，则⊥，因此⊥面。（2）作⊥于，连。因为⊥平面，根据三垂线定理知，⊥，就是二面角的平面角。作⊥于，则∥，则是的中点，则。设，由得，，解得，在中，，则，。所以，故二面角为。解法二：（1）以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则所以所以所以平面由∥得∥，故：平面(2)由已知设则由与共线得:存在有得同理:设是平面的一个法向量,则令得又是平面的一个法量所以二面角的大小为ABCDEFPQHG14．(2008辽宁文)如图，在棱长为1的正方体中，AP=BQ=b（0<b<1），截面ABCDEFPQHG（Ⅰ）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；（Ⅱ）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；（Ⅲ）若，求与平面PQEF所成角的正弦值．14．本小题主要考查空间中的线面关系和面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力．满分12分．解法一：（Ⅰ）证明：在正方体中，，，又由已知可得，，，所以，，所以平面．所以平面和平面互相垂直． 4分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是，是定值． 8分ABCDEFPQHGN（ABCDEFPQHGN因为平面，所以为与平面所成的角．因为，所以分别为，，，的中点．可知，．所以． 12分解法二：以D为原点，射线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D－xyz．由已知得，故ABCDEFPQHABCDEFPQHyxzG，，，，，．（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，可得，，．因为，所以是平面PQEF的法向量．因为，所以是平面PQGH的法向量．因为，所以，所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直． 4分（Ⅱ）证明：因为，所以，又，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形．在所建立的坐标系中可求得，，所以，又，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值． 8分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知是平面的法向量．由为中点可知，分别为，，的中点．所以，，因此与平面所成角的正弦值等于． 12分ABCDEFPQHG15．(2008辽宁理)如图，在棱长为1的正方体中，AP=BQ=b（0<b<1），截面ABCDEFPQHG（Ⅰ）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；（Ⅱ）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；（Ⅲ）若与平面PQEF所成的角为，求与平面PQGH所成角的正弦值．ABCDABCDEFPQHGNM考查空间想象能力与逻辑思维能力。满分12分．解法一：（Ⅰ）证明：在正方体中，，，又由已知可得，，，所以，，所以平面．所以平面和平面互相垂直． 4分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是，是定值． 8分（III）解：连结BC′交EQ于点M．因为，，所以平面和平面PQGH互相平行，因此与平面PQGH所成角与与平面所成角相等．与（Ⅰ）同理可证EQ⊥平面PQGH，可知EM⊥平面，因此EM与的比值就是所求的正弦值．设交PF于点N，连结EN，由知．因为⊥平面PQEF，又已知与平面PQEF成角，所以，即，解得，可知E为BC中点．所以EM=，又，故与平面PQCH所成角的正弦值为． 12分解法二：以D为原点，射线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D－xyz由已知得，故，，，，，，，ABCDEFPABCDEFPQHyxzG（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，可得，，．因为，所以是平面PQEF的法向量．因为，所以是平面PQGH的法向量．因为，所以，所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直． 4分（Ⅱ）证明：因为，所以，又，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形．在所建立的坐标系中可求得，，所以，又，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值． 8分（Ⅲ）解：由已知得与成角，又可得 ，即，解得．所以，又，所以与平面PQGH所成角的正弦值为． 12分ABCDEA1B1C1D116．(2008全国ⅡABCDEA1B1C1D1（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的大小．16．解法一：依题设，，．（Ⅰ）连结交于点，则．ABCDEA1B1CABCDEA1B1C1D1FHG在平面内，连结交于点，由于，故，，与互余．于是．与平面内两条相交直线都垂直，所以平面． 6分（Ⅱ）作，垂足为，连结．由三垂线定理知，故是二面角的平面角． 8分，，．，．又，．．ABCDEAABCDEA1B1C1D1yxz解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系．依题设，．，．----3分（