3．6　圆内接四边形

第页3.6圆内接四边形1．圆内接四边形的对角________．2．圆内接四边形的外角等于内对角．A组基础训练1．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠C＝80°，则∠A等于()A．120°B．100°C．80°D．90°第1题图如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝80°，则∠ABC的度数为()第2题图A．100°B．120°C．140°D．160°3．圆内接四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C＝1∶2∶5，则∠D等于()A．60°B．120°C．140°D．150°4．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．若∠BOD＝120°，则∠BCD的度数为()A．120°B．90°C．60°D．30°第4题图5.如图，已知∠BAE＝125°，则∠BCD＝________度．第5题图6．平行四边形ABCD为圆内接四边形，则此平行四边形是________．7．⊙O的内接四边形ABCD，∠AOC＝140°，∠D＞∠B，则∠D＝________．8．如图，已知四边形ABCD内一点E，若EA＝EB＝EC＝ED，∠BAD＝70°，则∠BCD＝________．第8题图9．如图，已知AD是△ABC的外角平分线，与△ABC的外接圆交于点D.(1)求证：DB＝DC；(2)若过D作DP⊥AC于点P，DQ⊥BA于点Q，求证：△CDP≌△BDQ.第9题图10．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于点E，交eq\o(BC,\s\up8(︵))于点D.(1)请写出四个不同类型的正确结论；(2)连结CD，设∠CDB＝α，∠ABC＝β，试找出α与β之间的一种关系式，并予以证明．第10题图B组自主提高如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是eq\o(CD,\s\up8(︵))上一点，且eq\o(DF,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，连结CF并延长交AD的延长线于点E，连结AC.若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为()第11题图A．45°B．50°C．55°D．60°12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形ABCD的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD的度数为________．第12题图13．如图所示，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连结ED、BE.(1)试判断DE与BD是否相等，并说明理由；(2)如果BC＝6，AB＝5，求BE的长．第13题图C组综合运用14.如图，正方形ABCD，E、F分别为CD、DA的中点，BE、CF相交于P.(1)BE、CF有怎样的数量关系和位置关系？(2)判断点P，F，A，B共圆吗？(3)直接写出∠FPA相等的角．(4)求证：AP＝AB.第14题图

3．6圆内接四边形【课堂笔记】1．互补【课时训练】1－4.BCBA125矩形7.110°8.110°(1)∵AD是∠EAC的平分线，∴∠DAC＝∠DAE.∵四边形ABCD内接于圆，∴∠DCB＝∠DAE，∵∠DAC＝∠DBC，∴∠DCB＝∠DBC，∴DB＝DC；(2)∵AD平分∠EAC，DP⊥AC，DQ⊥BA，∴DP＝DQ，又∵DB＝DC，∴△CDP≌△BDQ(HL)．(1)不同类型的正确结论有：①BE＝CE；②eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))；③∠BED＝90°；④∠BOD＝∠A；⑤AC∥OD；⑥AC⊥BC；⑦OE2＋BE2＝OB2；⑧S△ABC＝BC·OE；⑨△BOD是等腰三角形等；(2)α与β的关系式主要有如下两种形式：①α－β＝90°.证明如下：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°①.又∵四边形ACDB为⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠CDB＝180°②.②－①，得∠CDB－∠ABC＝90°，即α－β＝90°.②α>2β.证明如下：∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.又∵∠OBD＝∠ABC＋∠CBD，∴∠ODB>∠ABC.∵OD⊥BC，∴eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，∴CD＝BD，∴∠CDO＝∠ODB＝eq\f(1,2)∠CDB，∴eq\f(1,2)∠CDB>∠ABC，即α>2β.B60°(1)连结AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴∠CAD＝∠BAD，即∠EAD＝∠BAD，∴DE＝BD；(2)∵AD⊥BC，AB＝AC，∴BD＝CD＝eq\f(1,2)BC＝3，∴AD＝eq\r(AB2－BD2)＝4，∵S△ABC＝eq\f(1,2)×BC·AD＝eq\f(1,2)AC×BE，∴eq\f(1,2)×6×4＝eq\f(1,2)×5×BE，∴BE＝eq\f(24,5).(1)BE＝CF，BE⊥CF，理由：证△BCE≌△CDF(SAS)得BE＝CF，∠CBE＝∠DCF，∵∠DCF＋∠BCF＝90°，∴∠CBE＋∠BCF＝90°，即BE⊥CF；(2)点P，F，